高考復習方案大二輪全國新課標數學 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當方程不易求解時的三種策略 Word版含答案

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1、 當方程不易求解時的三種策略 導數是研究函數的有力工具，其核心又是由導數值的正、負確定函數的單調性.用導數研究函數的單調性，往往需要解方程.若該方程不易求解時，如何繼續(xù)解題呢？本文將介紹三種策略解決這種問題. 1 策略1——猜——猜出方程的根 例1 求函數的最小值. 解 可得. 接下來，須求函數的單調區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解. 易知是增函數，所以方程至多有一個實數解，且可觀察出此實數解就是ln2，所以函數在上分別是減函數、增函數，得. 例2 設. (1)若函數在上有極值，求實數的取值范圍； (

2、2)若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍. 解 (1)(過程略)所求實數的取值范圍是(0,1). (2)方程即. 設，可得所求實數的取值范圍即函數的值域. 得. 接下來，須求函數的單調區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解： 可得，且，所以函數在上分別是增函數、減函數，得.進而可得函數的值域是，所以所求實數的取值范圍是. 2 策略2——設——設出方程的根 例3 (高考新課標全國卷文科第21題)設函數. (1)求的單調區(qū)間； (2)若為整數，且當時，，求的最大值. 解 (1). 當時，恒成立，所以函數在上是增函數；當時，，所

3、以函數在上分別是減函數、增函數. (2)可得題設即恒成立. 令，得. 由(1)的結論知，函數是增函數.又，所以函數的唯一零點(也可把該零點叫做函數的隱零點，這種設法類似于解析幾何中的“設而不求”的解法). 當時，；當時，.所以. 又由，得，所以.由，得. 所以所求的最大值是2. 注 由此解法，還可求得：整數的取值范圍是{不大于2的整數}，實數的取值范圍是，其中是方程的正數解. 例4 已知函數有兩個極值點. (1)求的取值范圍； (2)求的取值范圍. 解 (1)得，所以方程即. 設，得. 進而可得出函數的單調區(qū)間，再由此作出函數的圖象如圖1所示： 圖1 因

4、為當且僅當時，，所以由圖1可得的取值范圍是. (2)由，得，所以 由圖1可得的取值范圍是(0,1)，進而可得的取值范圍是(0,1). 同理可得，由圖1可得的取值范圍是，進而可得的取值范圍是. 例5 (北京市朝陽區(qū)高三文科二模第20題)已知函數，其中． (1)當時，判斷在區(qū)間上的單調性； (2)當時，若不等式對于恒成立，求實數的取值范圍． 解 (1)因為，，所以． 所以在區(qū)間上是單調遞增函數． (2)令，得. 因為在區(qū)間上，所以． 因為，，且函數在上單調遞增，所以方程在上必有一根，記為. 得． 因為在上單調遞減，所以當時，；當時，

5、． 所以在上單調遞增，在上單調遞減.得． 又因為，且，所以，. 所以． 依題意得，當時，恒成立. 即時，恒成立． 令，得 即 解得或． 所以所求實數的取值范圍是. 3 策略3——證——證明方程無根 例6 若存在使不等式成立，則實數的取值范圍是 . 解 .題設即存在使不等式成立. 設，得題設即使不等式成立. 設，下面須求函數的最小值. 得，須解方程，但此方程不易求解. 可大膽猜測方程無解(若方程無解，則的值恒正或恒負(否則由勘根定理知方程有解)，得是增函數或減函數，此時研究函數就很方便)，證明如下： 進而可得，所以函數是增函數，得其最小值為. 所以題設即，由此可得答案. 例7 已知R，函數. (1)求函數的極小值； (2)若函數在上是增函數，求實數的取值范圍； (3)設，若使得，求實數的取值范圍. 解 (1)(過程略)當且僅當時，取極小值，且極小值是1. (2)(過程略)所求實數的取值范圍是. (3)題意即關于的不等式在上有解，也即關于的不等式有解. 設，下面須求函數的最小值. 得，但不易求解方程. 可大膽猜測方程無解，證明如下： 由，可得，所以，得是減函數，所以函數的值域是，進而可得所求實數的取值范圍是.