高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標(biāo)數(shù)學(xué) 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當(dāng)方程不易求解時(shí)的三種策略 Word版含答案

當(dāng)方程不易求解時(shí)的三種策略 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往需要解方程.若該方程不易求解時(shí)，如何繼續(xù)解題呢？本文將介紹三種策略解決這種問題.1 策略1猜猜出方程的根例1 求函數(shù)的最小值.解 可得.接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解.易知是增函數(shù)，所以方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且可觀察出此實(shí)數(shù)解就是ln2，所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，得.例2 設(shè).(1)若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 (1)(過程略)所求實(shí)數(shù)的取值范圍是(0,1).(2)方程即.設(shè)，可得所求實(shí)數(shù)的取值范圍即函數(shù)的值域.得.接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解：可得，且，所以函數(shù)在上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，得.進(jìn)而可得函數(shù)的值域是，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.2 策略2設(shè)設(shè)出方程的根例3 (高考新課標(biāo)全國卷文科第21題)設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值.解 (1).當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù).(2)可得題設(shè)即恒成立.令，得.由(1)的結(jié)論知，函數(shù)是增函數(shù).又，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)(也可把該零點(diǎn)叫做函數(shù)的隱零點(diǎn)，這種設(shè)法類似于解析幾何中的“設(shè)而不求”的解法).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.又由，得，所以.由，得.所以所求的最大值是2.注 由此解法，還可求得：整數(shù)的取值范圍是不大于2的整數(shù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中是方程的正數(shù)解.例4 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍.解 (1)得，所以方程即.設(shè)，得.進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由此作出函數(shù)的圖象如圖1所示：圖1因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以由圖1可得的取值范圍是.(2)由，得，所以由圖1可得的取值范圍是(0,1)，進(jìn)而可得的取值范圍是(0,1).同理可得，由圖1可得的取值范圍是，進(jìn)而可得的取值范圍是.例5 (北京市朝陽區(qū)高三文科二模第20題)已知函數(shù)，其中 (1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性； (2)當(dāng)時(shí)，若不等式對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解 (1)因?yàn)?，所以所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù) (2)令，得.因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以方程在上必有一根，記為.得因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.得又因?yàn)椋?，所以?所以依題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立.即時(shí)，恒成立令，得 即解得或所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.3 策略3證證明方程無根例6 若存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解 .題設(shè)即存在使不等式成立.設(shè)，得題設(shè)即使不等式成立.設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值.得，須解方程，但此方程不易求解.可大膽猜測方程無解(若方程無解，則的值恒正或恒負(fù)(否則由勘根定理知方程有解)，得是增函數(shù)或減函數(shù)，此時(shí)研究函數(shù)就很方便)，證明如下：進(jìn)而可得，所以函數(shù)是增函數(shù)，得其最小值為. 所以題設(shè)即，由此可得答案.例7 已知R，函數(shù).(1)求函數(shù)的極小值；(2)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解 (1)(過程略)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取極小值，且極小值是1.(2)(過程略)所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)題意即關(guān)于的不等式在上有解，也即關(guān)于的不等式有解.設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值.得，但不易求解方程.可大膽猜測方程無解，證明如下：由，可得，所以，得是減函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，進(jìn)而可得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.