高考數(shù)學(xué) 廣東專用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第五篇 數(shù)列 第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法含答案

第五篇數(shù)列(必修5)第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)數(shù)列的概念與表示法3、5由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)4、8遞推公式的應(yīng)用2、6、9an與Sn的關(guān)系1、10、11、13數(shù)列與函數(shù)7、12、14、15、16A組一、選擇題1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為(A)(A)15(B)16(C)49(D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故選A.2.(20xx華師大附中高三模擬)數(shù)列an中,a1=1,an=1an-1+1,則a4等于(A)(A)53(B)43(C)1(D)23解析:由a1=1,an=1an-1+1得,a2=1a1+1=2,a3=1a2+1=12+1=32,a4=1a3+1=23+1=53.故選A.3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(C)(A)1,12,13,14,(B)-1,-2,-3,-4,(C)-1,-12,-14,-18,(D)1,2,3,n解析:根據(jù)定義,屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào)),屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D,故滿足要求的是選項(xiàng)C.故選C.4.下列關(guān)于星星的圖案中,星星的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是(C)(A)an=n2-n+1(B)an=n(n-1)2(C)an=n(n+1)2(D)an=n(n+2)2解析:從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律,n=1時(shí),有1個(gè);n=2時(shí),有3個(gè);n=3時(shí),有6個(gè);n=4時(shí),有10個(gè);an=1+2+3+4+n=n(n+1)2,故選C.5.下面五個(gè)結(jié)論:數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的;數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的;數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式;將數(shù)列看做函數(shù),其定義域是N*(或它的有限子集1,2,n).其中正確的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的,中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一,故選B.6.(20xx東莞模擬)數(shù)列an滿足:a1+3a2+5a3+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=(C)(A)3n-1(B)(2n-1)·3n(C)3n(D)(2n-1)·3n-1解析:當(dāng)n2時(shí),有a1+3a2+5a3+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減得(2n-1)an=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)an=(2n-1)·3n,故an=3n.又a1=3滿足an=3n,故選C.7.(20xx太原一模)已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x>7,若數(shù)列an滿足an=f(n)(nN*),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)(A)94,3)(B)(94,3)(C)(2,3)(D)(1,3)解析:由題意,an=f(n)=(3-a)n-3,n7,an-6,n>7,要使an是遞增數(shù)列,必有3-a>0,a>1,(3-a)×7-3<a8-6,解得,2<a<3.故選C.二、填空題8.數(shù)列-21×2,42×3,-83×4,164×5,的一個(gè)通項(xiàng)公式為. 解析:觀察各項(xiàng)知,其通項(xiàng)公式可以為an=(-2)nn(n+1).答案:an=(-2)nn(n+1)9.(20xx廣西一模)數(shù)列an中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(nN*),則a7=. 解析:由an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1.答案:110.(20xx清遠(yuǎn)調(diào)研)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n-1,則a1+a25=. 解析:Sn=n2+2n-1,a1=S1=2.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-(n-1)2+2(n-1)-1=2n+1.an=2(n=1),2n+1(n2).a1+a25=2+51=53.答案:5311.(20xx東莞市高三模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-3n,若它的第k項(xiàng)滿足2<ak<5,則k=. 解析:a1=S1=1-3=-2,當(dāng)n2時(shí)an=Sn-Sn-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),an=2n-4,由2<ak<5得2<2k-4<5,則3<k<92,所以k=4.答案:4三、解答題12.數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)?若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),它是第幾項(xiàng)?(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)?解:(1)當(dāng)n=4時(shí),a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).13.(20xx潮州期末質(zhì)檢)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2an+b,若a1=12,a2=56.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)bn=ann2+n-1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由S1=a1=12,得1a+b=12;由S2=a1+a2=43,得42a+b=43.a+b=2,2a+b=3,解得a=1,b=1.故Sn=n2n+1.(2)當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2n+1-(n-1)2n=n3-(n-1)2(n+1)n(n+1)=n2+n-1n2+n由于a1=12也適合an=n2+n-1n2+n.an=n2+n-1n2+n.(3)bn=ann2+n-1=1n(n+1)=1n-1n+1.數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+bn-1+bn=1-12+12-13+1n-1-1n+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.B組14.對(duì)于數(shù)列an,a1=4,an+1=f(an),依照下表則a20xx=(D)x12345f(x)54312(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由題意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.則數(shù)列an的項(xiàng)周期性出現(xiàn),其周期為4,a20xx=a4×503+3=a3=5.故選D.15.已知數(shù)列an的通項(xiàng)an=n2(7-n)(nN*),則an的最大值是. 解析:設(shè)f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,當(dāng)x>0時(shí),由f(x)=-3x2+14x=0得,x=143.當(dāng)0<x<143時(shí),f(x)>0,則f(x)在0,143上單調(diào)遞增,當(dāng)x>143時(shí),f(x)<0,f(x)在143,+上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)max=f143.又nN*,4<143<5,a4=48,a5=50,所以an的最大值為50.答案:5016.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30.(1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)?(2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0?(3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說(shuō)明理由.解:(1)由an=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.設(shè)an=60,則60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).60是此數(shù)列的第10項(xiàng).(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).當(dāng)n>6(nN*)時(shí),an>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.當(dāng)0<n<6(nN*)時(shí),an<0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-122-3014,(nN*)知an是遞增數(shù)列,且a1<a2<<a5<a6=0<a7<a8<a9<,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.