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1、
高考大題標準練(七)
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1．(20xx·新課標全國卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解：(1)利用正弦定理轉(zhuǎn)化得：＝＝.
(2)由誘導公式可得sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.由(1)知2sin∠B＝sin∠C，
所以tan∠B＝，∠B＝30°.
2．(20xx·浙江卷)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，
2、an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an與bn；
(2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn.
解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由題意知：
當n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2.
當n≥2時，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－
3、2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
3．(20xx·新課標全國卷Ⅲ)如圖是我國至生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．
注：年份代碼1～7分別對應年份20xx～20xx.
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；
(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測我國生活垃圾無害化處理量．
附注：
參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
參考公式：相關系數(shù)r＝，
回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
4、：＝，＝－.
解：(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以，y關于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t.
將對應的t＝9代入回歸方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以預測我國生活垃圾無害化
5、處理量將約為1.82億噸．
4．(20xx·浙江卷)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求證：BF⊥平面ACFD；
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值．
證明：(1)延長AD，BE，CF相交于一點K，如圖所示．
因為平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCK，
因此，BF⊥AC.
又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2
6、)解：因為BF⊥平面ACK，
所以∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角．
在Rt△BFD中，BF＝，DF＝，得cos∠BDF＝，
所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為.
5．(20xx·新課標全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．
解：由題意知F.設l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R.
記過A，B兩點的直線為l，
則l的方
7、程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.
記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則
k1＝＝＝＝＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)設l與x軸的交點為D(x1,0)，
則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
由題設可得2×|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
設滿足條件的AB的中點為E(x，y)．
當AB與x軸不垂直時，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．
當AB與x軸垂直時，E與D(1,0)重合．
所以，所求軌跡方程為y2＝x－1.
6．(
8、20xx·新課標全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)·ln x－a(x－1)．
(1)當a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；
(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍．
解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．
當a＝4時，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.
故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0.
(2)當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0等價于ln x－>0.
設g(x)＝ln x－，
則g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①當a≤2，x∈(1，＋∞)時，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，因此g(x)>0；
②當a>2時，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故當x∈(1，x2)時，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(x)<0.
綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．
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