【學(xué)霸優(yōu)課】數(shù)學(xué)理一輪對點(diǎn)訓(xùn)練：82 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 Word版含解析

1若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我們知道正三角形的三個頂點(diǎn)滿足兩兩距離相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面體的四個頂點(diǎn)也滿足兩兩距離相等，于是排除A，故選B.2若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由“m且lm”推出“l(fā)或l”，但由“m且l”可推出“l(fā)m”，所以“l(fā)m”是“l(fā)”的必要而不充分條件，故選B.3.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面下列說法正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n答案B解析A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面，C選項(xiàng)也可以n，D選項(xiàng)也可以n或n與斜交根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案C解析解法一：取BC的中點(diǎn)Q，連接QN，AQ，易知BMQN，則ANQ即為所求，設(shè)BCCACC12，則AQ，AN，QN，cosANQ，故選C.解法二：如圖，以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1B1，C1A1，C1C所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BCCACC11，可知點(diǎn)A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，M.，.cos，.根據(jù)與的夾角及AN與BM所成角的關(guān)系可知，BM與AN所成角的余弦值為.5如圖，在三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如下圖所示，連接ND，取ND的中點(diǎn)E，連接ME，CE，則MEAN， 則異面直線AN，CM所成的角即為EMC.由題可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，則cosCME.6. 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則cos的最大值為_答案解析取BF的中點(diǎn)N，連接MN，EN，則ENAF，所以直線EN與EM所成的角就是異面直線EM與AF所成的角在EMN中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時，EMAF，所以當(dāng)點(diǎn)M逐漸趨近于點(diǎn)Q時，直線EN與EM的夾角越來越小，此時cos越來越大故當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時，cos取最大值設(shè)正方形的邊長為4，連接EQ，NQ，在EQN中，由余弦定理，得cosQEN，所以cos的最大值為.7如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值解(1)證明：連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因?yàn)镋G平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，|為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.8如下圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)證明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值解(1)證明：由PDPC4知，PDC是等腰三角形，而E是底邊CD的中點(diǎn)，故PECD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，故PE平面ABCD，又FG平面ABCD，故PEFG.(2)平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，ADCD，AD平面PDC，而PD平面PDC，故ADPD，故PDC為二面角PADC的平面角在RtPDE中，PE，tanPDC，故二面角PADC的正切值是.(3)連接AC.由AF2FB，CG2GB知，F(xiàn)，G分別是AB，BC且靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，從而FGAC，PAC為直線PA與直線FG所成的角在RtADP中，AP5.在RtADC中，AC3.在PAC中，由余弦定理知，cosPAC，故直線PA與直線FG所成角的余弦值是.