高考數(shù)學 試題分類解析 考點2630

高考數(shù)學試題分類解析 考點26-30考點26 隨機變量及其分布第1題圖【1】（A，湖北，理4）設(shè)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是A.B.C.對任意正數(shù)，D.對任意正數(shù)，【2】（B，上海，理12）賭博有陷阱.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）.若隨機變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則= （元）.【3】（A，重慶，理17）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(I)求這三種粽子各取到1個的概率；(II)設(shè)表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.【4】（A，四川，理17）某市兩所中學的學生組隊參加辯論賽，中學推薦了3名男生、2名女生，學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【5】（A，福建，理16）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(I)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(II)設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望【6】（B，天津，理16）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(I)設(shè)為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件發(fā)生的概率；(II)設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【7】（B，安徽，理17）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結(jié)束(I)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(II)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)表示直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求的分布列和均值(數(shù)學期望).【8】（B，湖南，理18）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎. 每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球. 在摸出的2球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.(I)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(II)若某顧客有3次抽獎的機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【9】（C，山東，理19）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分(I)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；(II)若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學期望考點27 導數(shù)的應用【1】（C，新課標，理12）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，則使得成立的的取值范圍是A.B. C.D. 【2】（C，安徽，文10）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是A. B. C. D.【3】（C，福建，文12）“對任意，”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【4】（C，福建，理10）若定義在上的函數(shù) 滿足，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是A. B. C. D.【5】（A，新課標，文13）已知函數(shù)的圖像過點，則 .【6】（A，新課標，文16）已知曲線在點 處的切線與曲線相切，則 .【7】（B，天津，文11）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為的導函數(shù).若，則的值為 .【8】（B，陜西，文15）函數(shù)在其極值點處的切線方程為 .【9】（B，陜西，理15）設(shè)曲線在點處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為 .【10】（C，安徽，理15）設(shè)，其中均為實數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 （寫出所有正確條件的編號）.;；;【11】（A，新課標I，文21）設(shè)函數(shù).(I)討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；(II)證明：當時.【12】（A，浙江，自選模塊3-2）設(shè)函數(shù)R)，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【13】（B，重慶，文19）已知函數(shù)在處取得極值.(I)確定的值；(II)若，討論函數(shù)的單調(diào)性.【14】（B，重慶，理20）設(shè)函數(shù).(I)若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；(II)若在上為減函數(shù)，求的取值范圍.【15】（B，廣東，理19）設(shè)，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：在上僅有一個零點；(3)若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是坐標原點）,證明：【16】（C，新課標I，理21）已知函數(shù)，.(I)當為何值時，軸為曲線的切線；(II)用 表示，中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點的個數(shù).【17】（C，新課標，文21）函數(shù).(I)討論的單調(diào)性；(II)當有最大值，且最大值大于時，求a的取值范圍【18】（C，新課標，理21）設(shè)函數(shù).(I)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(II)若對于任意都有，求的取值范圍.【19】（C，北京，文19）設(shè)函數(shù)，(I)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(II)證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【20】（C，北京，理18）已知函數(shù)(I)求曲線在點處的切線方程；(II)求證：當時，；(III)設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值【21】（C，天津，文20）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數(shù)，都有;(3)若方程（為實數(shù)）有兩個實數(shù)根且求證：.【22】（C，天津，理20）已知函數(shù)，其中,且(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有(III)若關(guān)于的方程（為實數(shù)）有兩個正實根，求證： 【23】（C，四川，文21）已知函數(shù)，其中(1)設(shè)是的導函數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)證明：存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.【24】（C，四川，理21）已知函數(shù)，其中(1)設(shè)是的導函數(shù)，討論的單調(diào)性；(2)證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.【25】（C，廣東，文21）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)(1)若，求的取值范圍；(2)討論的單調(diào)性；(3)當時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)【26】（C，山東，文20）設(shè)函數(shù)，已知曲線在點處的切線與直線平行.(I)求的值；(II)是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；(III)設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值.【27】（C，山東，理21）設(shè)函數(shù)，其中(I)討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；(II)若，成立，求的取值范圍【28】（C，江蘇，文理19）已知函數(shù) (R).(1)試討論的單調(diào)性；(2)若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.【29】（C，福建，文22）已知函數(shù)(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(II)證明：當時，；(III)確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當時，恒有【30】（C，湖南，理21）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點. 證明:(I)數(shù)列是等比數(shù)列；(II)若，則對一切，恒成立.【31】（C，陜西，文21）設(shè),，(I)求;(II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.【32】（C，福建，理20）已知函數(shù)，.(I)證明：當時；(II)證明：當時，存在,使得對任意的，恒有；(III)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有考點28 定積分與微積分基本定理【1】（A，天津，理11）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為 .【2】（A，湖南，理11） .第3題圖【3】（B，陜西，理16）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為 .考點29 推理與證明【1】（A，山東，理11）觀察下列各式：；照此規(guī)律，當時，= .【2】（B，陜西，文16）觀察下列等式：； 據(jù)此規(guī)律，第個等式可為 .【3】（，福建，理15）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運算 定義為：現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定等于 .【4】（B，湖北，文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù). (I)求，的解析式，并證明：當時，；(II)設(shè)，證明：當時，.【5】（C，湖北，理22）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大?。?II)計算，由此推測計算的公式，并給出證明；(II)令，數(shù)列，的前項和分別記為, 證明：. 【6】（C，江蘇，理23）已知集合，（N*），設(shè)整除或整除，令表示集合所含元素個數(shù).(1)寫出的值；(2)當時，寫出的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.考點30 復數(shù)【1】（A，新課標I，文3）已知復數(shù)滿足，則A. B. C. D.【2】（A，新課標I，理1）設(shè)復數(shù)滿足，則A. B. C. D.【3】（A，新課標，文2）若為實數(shù)，且，則A. B. C.3 D.【4】（A，新課標，理2）若為實數(shù)，且，則A.-1 B.0 C.1 D.【5】（A，北京，理1）復數(shù)A. B. C. D.【6】（A，湖北，文1）i為虛數(shù)單位，A. B. C. D.1【7】（A，湖北，理1）i為虛數(shù)單位，的共軛復數(shù)為A. B. C.1 D.-1【8】（A，四川，理2）設(shè)是虛數(shù)單位，則復數(shù)A. B. C. D.【9】（A，廣東，文2）已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)A.2i B.-2i C.2 D.-2【10】（A，廣東，理2）若復數(shù) ( i是虛數(shù)單位)，則A. B. C. D.【11】（A，山東，理2文2）若復數(shù)滿足i，其中i為虛數(shù)單位，則=A. B. C. D.【12】（A，安徽，文1）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)A. B. C. D.【13】（A，安徽，理1）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【14】（A，福建，文1）若（，是虛數(shù)單位），則的值分別等于A. B. C. D.【15】（A，福建，理1）若集合（ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于A. B. C D. 【16】（A，湖南，文1理1）已知（為虛數(shù)單位），則復數(shù)=A. B. C. D.【17】（A，北京，文9）復數(shù)的實數(shù)為.【18】（A，天津，文9）是虛數(shù)單位，計算的結(jié)果為 .【19】（A，天津，理9）是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 .【20】（A, 上海，文3理2）若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則= .【21】（A，重慶，文11）復數(shù)的實部為_.【22】（A，重慶，理11）設(shè)復數(shù)的模為，則 .【23】（A，四川，文11）設(shè)是虛數(shù)單位，則復數(shù).【24】（A，江蘇，文理3）設(shè)復數(shù)滿足i（i是虛數(shù)單位），則的模為 .【25】（A，浙江，自選模塊3-1）已知i是虛數(shù)單位，R,復數(shù)滿足，求的值.考點26 隨機變量及其分布【1】（A，湖北，理4）、C解析：隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象分別關(guān)于，對稱，所以.又越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，.因而選C.【2】（B，上海，理12）、0.2解析：當賭金分別為時，其概率都是，.的分布律如下：1.42.84.25.6，所以【3】（A，重慶，理17）解析：(I)令表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有(II)X的所有可能的取值為0,1,2，且，.綜上知，X分布列為012故（個）.【4】（A，四川，理17）解析：(1)由題意，參加集訓的男、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取的概率為.因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為.(2)根據(jù)題意，的可能取值為1，2,3.所以的分布列為123因此，的數(shù)學期望為.【5】（，福建，理16）解析：(I)設(shè)“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則(II)依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，又，所以X的分布列為X123P所以【6】（B，天津，理16）解析：(I)由已知，有所以，事件發(fā)生的概率為(II)隨機變量的所有可能值為：1，2，3，4.所以，隨機變量的分布列為1234隨機變量的數(shù)學期望.【7】（B，安徽，理17）解析：(I)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，(II)的可能取值為200,300,400.，故的分布列為200300400【8】（B，湖南，理18）解析：(I)記事件=從甲箱中摸出的一個球是紅球，=從乙箱中摸出的一個球是紅球，顧客抽獎一次獲一等獎，顧客抽獎一次獲二等獎，C顧客抽獎一次能獲獎.由題意與相互獨立，與互斥，與互斥，且 ，=+，. 又因為，所以，故所求概率為.(II)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復實驗，由(I)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以，于是 由此求得X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望為.【9】（C，山東，理19）解析：(I)個位數(shù)字是的“三位遞增數(shù)”分別是：，(II)由題意知全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為甲得分，因此，故甲得分的分布列為：01所以考點27 導數(shù)的應用【1】（C，新課標，理12）、A解析：設(shè)，則，由已知得，當時，所以當時，即在上單調(diào)遞減；又為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，且.當時，當時，綜上所述，使得成立的的取值范圍是.【2】（C，安徽，文10）、A解析:由函數(shù)圖象可知；又是的兩個正數(shù)解，則故【3】（C，福建，文12）、B解析：當時，構(gòu)造函數(shù),則.故在單調(diào)遞增,故,則；當時，不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，則，故在單調(diào)遞增，故，則. 綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件,故選B.【4】（C，福建，理10）、C解析：由已知條件,構(gòu)造函數(shù),則,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且,故,所以,即，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D不確定；構(gòu)造函數(shù),則,故函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且,故,所以，即,選項A，B無法判斷，故選C.【5】（A，新課標，文13）、解析：由已知得，解得.【6】（A，新課標，文16）、解析：法1 設(shè)曲線，曲線，由求得曲線在點處的切線斜率 ，故切線方程，當時，為直線，不符合題意，當時，設(shè)切線與曲線相切于點，根據(jù)題意可列方程組，解得，又，解得.法2 由求得曲線在點處的切線斜率 ，故切線方程，當時，為直線，不符合題意，當時，由得，依據(jù)解得.【7】（B，天津，文11）、解析：.【8】（B，陜西，文15）、解析：由得.又因為當時，；當時，.所以為函數(shù)的極值點，由導數(shù)的幾何意義知，切線斜率，而切點為，所以切線方程為.【9】（B，陜西，理15）、解析：設(shè)，由導數(shù)的幾何意義知，曲線在點處的切線斜率，曲線上點處的切線斜率，因為兩切線垂直，所以，即，又，所以，所以.【10】（C，安徽，理15）、解析:令，當時，單調(diào)遞增，符合題意；當時，分析可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值為，極小值為，因為三次方程僅有一個實根，所以或，即或 【11】（A，新課標I，文21）解析：(I)法1 的定義域為， ， 令，得 令，則在上是增函數(shù)，從而當時，有一個零點，當時，沒有零點；法2 的定義域為當時，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又，當滿足且時，故當時，存在唯一零點.(II)由(I)，可設(shè)在的唯一零點為，當時，；當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，. 【12】（A，浙江，自選模塊3-2）解析：對求導，得，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【13】（B，重慶，文19）解析：(I)對求導得,因為在處取得極值,所以,即，解得.(II)由(I)得.故，令解得，或.當時，故為減函數(shù);當時, ，故為增函數(shù)；當時,，故為減函數(shù)；當時，故為增函數(shù).綜上知在和內(nèi)為減函數(shù),在和內(nèi)為增函數(shù).【14】（B，重慶，理20）解析：(I)對求導得因為在處取得極值，所以=0，即.當時，故，從而在點處的切線方程為，化簡.(II)由(I)知.令，由解得,.當時，即，故為減函數(shù)；當時，即，故為增函數(shù)；當時，即，故為減函數(shù).由在上為減函數(shù)，知，解得，故的取值范圍為.【15】（B，廣東，理19）解析：(1)依題意， 在上是單調(diào)增函數(shù).(2) ，且在上有零點;又由（1）知在上是單調(diào)函數(shù)，故在上僅有一個零點.（3）由（1）知，令得，又，即，即.又，令，則由得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.函數(shù)，即在上恒成立， 即.故【16】（C，新課標I，理21）解析：(I)設(shè)曲線與軸相切與點則，即解得，因此，當時，軸為曲線的切線.(II)當時，從而，故在無零點.當時，若，則，故是的零點；若，則，故不是的零點.當時，所以只需考慮在的零點個數(shù).(i)若或，則在的無零點，故在單調(diào)，而，所以當時，在有一個零點；當時，在沒有零點(ii)若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在中，當時，取得最小值，最小值為.若，即，在無零點；若，即，則在有唯一零點；若，即，由于，所以當時，在有兩個零點；當時，在有一個零點.綜上，當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點.【17】（C，新課標，文21）解析：(I)的定義域為，.若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當時，；當時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(II)由(I)得，當時，則在上沒有最大值；若，則在上的最大值為.從而，構(gòu)造函數(shù)則在上單調(diào)遞增，結(jié)合得，所求a的取值范圍是.【18】（C，新課標，理21）解析：(I) 法1依題意.若,則當時, ,；當時,.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.若，則當時，；當時，.所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.法2 依題意設(shè)，則在R上恒成立，即在R上單調(diào)遞增又所以當時，當時，.所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.(II)由(I)知,對任意的,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在處取得最小值. 所以,對于任意,的充要條件是即 設(shè)函數(shù),則.當時,；當,.故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又，,故當時,當時,即式成立當時,由的單調(diào)性,即時, ,即.綜上,的取值范圍是.【19】（C，北京，文19）解析：(I)由，得.由解得與在區(qū)間上的情況如下：-0+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是在處取得極小值（）由（I）知，在區(qū)間上的最小值因為存在零點，所以，從而當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點綜上所述，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【20】（C，北京，理18）解析: (I)因為，所以，又因為，所以曲線在點處的切線方程為(II)令，則.因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增所以,即當時，(III)由(II)知，當時，對恒成立當時，令，則.所以當時，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減當時，即所以當時，令并非對恒成立綜上可知，的最大值為2【21】（C，天津，文20）解析：（I）由得當即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(II)設(shè)點的坐標為點則曲線在點處的切線方程為，即.令函數(shù)即則由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減.又因為所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意實數(shù)，即對任意實數(shù)，都有.(III)由（II）知設(shè)方程的根為，可得因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由（II）知因此類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得對于任意的有即設(shè)方程的根為可得因為在上單調(diào)遞增，且因此由此可得【22】（C，天津，理20）解析：(I)由可得其中,且下面分兩種情況討論(1)當為奇數(shù) 令解得或當變化時，的變化如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當為偶數(shù)當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.(II)設(shè)的坐標為即，曲線在點處的切線方程為，即 令 ，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減.又因為，所以當時，當時，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意正實數(shù)，都有即對任意正實數(shù)，都有.(III)不妨設(shè)由(II)知. 設(shè)方程的根為，可得當時，在上單調(diào)遞減.又由(II)知，可得類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為可得當，即對任意的，設(shè)方程的根為，可得因為在上單調(diào)遞增，且因此由此可得因為，所以，故所以，【23】（C，四川，文21）解析：(1)由已知，函數(shù)的定義域為，所以.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.(2)由，解得，令，則.于是，存在，使得.令，其中.由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.當時，有.由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，；當時，；又當時，所以，當時，.綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.【24】（C，四川，理21）解析：(1)由已知，函數(shù)的定義域為，所以.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)由，解得.令則故存在，使得.令，由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.當時，有，.由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，；當時，；所以，當時，.綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.【25】（C，廣東，文21）解析：，因為，所以，當時，顯然成立；當，則有，所以，所以綜上所述，的取值范圍.（2）對于，其對稱軸為，開口向上，所以在單增；對于，其對稱軸為，開口向上，所以在單減.綜上，在單增，在單減.（3）由（2）得在單增，在單減，所以.(i)當時，令=0，即.因為在單減，所以而在單增，所以與在無交點.當時，即，所以，所以，因為，所以，即當時，有一個零點.(ii)當時，當時， ，而在單增，當時，.下面比較與的大小：因為，所以.第25題圖結(jié)合圖像不難得當，與有兩個交點. 綜上，當時，有一個零點；當，與有兩個零點.【26】（C，山東，文20）解析：(I)由題意知，曲線在點處的切線斜率為2.所以，又，所以.(II)時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)當時， 又.所以存在，使得因為所以當時，時，所以當時，單調(diào)遞增.所以，使得方程在內(nèi)存在唯一的根.(III)由(II)知方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，時，所以當時，若若，由可知. 故.當時，由可知當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；可知，且綜上可知函數(shù)的最小值為.【27】（C，山東，理21）解析：(I)函數(shù)的定義域是，令，則(1)當時，此時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，無極值點；(2)當時，當時，此時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，無極值點；當時，設(shè)方程的兩根為和（），因為，所以,由知,所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個極值點(3)當時,.由知.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；因此函數(shù)有一個極值點綜述：當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點(II)(1)當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，符合題意；(2)當時，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以，符合題意；(3)當時，由得，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以時，不合題意；(4)當時，設(shè)因為時，所以在上單調(diào)遞增因此當時，即所以，當時，此時，不合題意綜上所述，的取值范圍是【28】（C，江蘇，文理19）解析：(1)，令，解得，.當時，因為，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當時，當或時，當時，；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，當或時，當時，；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)法1 ，當時，.由函數(shù)有三個不同的零點知且，即；又因為的解集是.因此，可得，是的所有根；又因為肯定有一個根為.因此，將，分別代入解得的其他解進行檢驗.最后得：時，其他均不符合，所以.法2 由(1)知，函數(shù)的兩個極值為，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或.又，所以當時，或當時，.設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此.此時，因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以 ，且，解得. 綜上.【29】（C，福建，文22）解析：(I)，由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是(II)令，則有當時，所以在上單調(diào)遞減.故當時，即當時，(III)由(II)知，當時，不存在滿足題意當時,對于,有,則，從而不存在滿足題意當時，令，則有由得，解得，當時，故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當時，即.綜上，的取值范圍是.【30】（C，湖南，理21）解析：(I)，其中，.令，由得 ，即，. 對，若，即，則;若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是，當，時，取得極值，所以，. 此時，易知，且是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.(II)由(I)知，于是對一切，恒成立，即恒成立，等價于 （*）恒成立（因為a>0）.設(shè)，則得，當時，所以在上單調(diào)遞減；當時，所以在上單調(diào)遞增.從而當時，函數(shù)取得最小值.因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需. 而當時，由且由知，. 于是，且當時，因此，對一切，所以，故（*）式也恒成立.綜上所述，若，則對一切，恒成立.【31】（C，陜西，文21）解析：(I)法1由題設(shè)= = -得，.所以.法2 當時，則，可得.(II)因為，,所以在內(nèi)至少存在一個零點.又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此在內(nèi)有且僅有一個零點.由于，所以，由此可得.故，所以.【32】（C，福建，理20）解析：(I)令，則有.當時，所以在上單調(diào)遞減；故當時，即當時，(II)令，則有當時,所以在上單調(diào)遞增，.故對任意正實數(shù)均滿足題意.當時，令得取對任意，恒有，所以在上單調(diào)遞增, ，即.綜上，當時，總存在，使得對任意的，恒有(III)當時，由(I)知，對于，故.，令，則有.故當時，,在上單調(diào)遞增，故，即，所以滿足題意的不存在.當時，由(II)知存在,使得對任意的任意的恒有此時，令，則有，故當時，,在上單調(diào)遞增，故，即.記與中較小的為，則當時,恒有.故滿足題意的不存在.當，由(I)知，當時，.令，則有.當時，所以在上單調(diào)遞減，故.故當時，恒有，此時，任意實數(shù)滿足題意.綜上，.考點28 定積分與微積分基本定理【1】（A，天津，理11）、解析：聯(lián)立，得或，曲線與直線的交點坐標為，.曲線與直線所圍成的圖形面積.【2】（A，湖南，理11）、解析：【3】（B，陜西，理16）、1.2第3題圖解析：如圖，以為原點建立直角坐標系，則，因為拋物線過,兩點，易知其方程為，由題意可知原始的最大流量與當前最大流量的比值為，又因為，由定積分的幾何意義可知，所以，故答案應填1.2.考點29 推理與證明【1】（A，山東，理11）、解析：觀察等式右邊的指數(shù)與中的關(guān)系，可知答案為【2】（B，陜西，文16）、解析：觀察得知，等式左邊有2項，各項分子都是1，分母從1依次遞增至2，并且各項正負相間；等式右邊有項，各項分子都是1，分母從+1依次遞增至2.所以，第個等式為.【3】（，福建，理15）、解析：由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運算后為0,不同數(shù)字運算后為1.由可知后4個數(shù)字出錯；由可知后2個數(shù)字沒錯，即出錯的是第4個或第5個；由可判斷出錯的是第5個.綜上，第5位發(fā)生碼元錯誤. 【4】（B，湖北，文21）解析：(I)由, 的奇偶性及得：.聯(lián)立上述兩式解得，.當時，故 又由基本不等式，有，即 (II)由(I)得，.當時，等價于；等價于 不妨設(shè)函數(shù) ，則有 .當時，需要分情況討論：(1)若，得，故在上為增函數(shù),從而,即，故成立.(2)若，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故成立. 綜合可得.【5】（C，湖北，理22）解析：(I)的定義域為，.當，即時，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當時，即.令，得，即. (II)；.由此推測： 下面用數(shù)學歸納法證明. (1)當時，左邊右邊，成立. (2)假設(shè)當時，成立，即.當時，由歸納假設(shè)可得所以當時，也成立. 根據(jù)（1）（2），可知對一切正整數(shù)n都成立. (III)由的定義，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及得 . 即. 【6】（C，江蘇，理23）解析：(1).(2)當時，N*下面用數(shù)學歸納法證明：當時，結(jié)論成立；假設(shè)時結(jié)論成立，那么時，的基礎(chǔ)上新增加的元素在，中產(chǎn)生，分以下情形討論：1)若，則，此時有 ，結(jié)論成立；2) 若，則，此時有，結(jié)論成立；3)若，則，此時有，結(jié)論成立；4)若，則，此時有，結(jié)論成立；5)若，則，此時有，結(jié)論成立；6) 若，則，此時有，結(jié)論成立；.綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立.考點30 復數(shù)【1】（A，新課標I，文3）、C解析：由題，得.【2】（A，新課標I，理1）、A解析：由題，得.【3】（A，新課標，文2）、D解析：由已知得，所以.【4】（A，新課標，理2）、B解析：由已知得，故，解得.【5】（A，北京，理1）、A解析：.【6】（A，湖北，文1）、A解析：因為，故選A.【7】（A，湖北，理1）、A解析：由i的性質(zhì)知，則.【8】（A，四川，理2）、C解析：，選C.【9】（A，廣東，文2）、A解析：.【10】（A，廣東，理2）、A解析：因為，.【11】（A，山東，理2文2）、A解析：由得，故.【12】（A，安徽，文1）、C解析：【13】（A，安徽，理1）、B解析：【14】（A，福建，文1）、A解析：由已知得，所以【15】（A，福建，理1）、C解析：由已知得，故，故選C【16】（A，湖南，文1理1）、D解析：.【17】（A，北京，文9）、-1解析：復數(shù)，其實部為-1【18】（A，天津，文9）、解析：.【19】（A，天津，理9）、解析：，為純虛數(shù).【20】（A, 上海，文3理2）、解析：設(shè)，則，解得，所以.【21】（A，重慶，文11）、-2解析： =.【22】（A，重慶，理11）、3解析：.【23】（A，四川，文11）、解析：.【24】（A，江蘇，文理3）、解析：因為，所以.【25】（A，浙江，自選模塊3-1）解析：由題意得ii，解得,故.