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1、
高考大題標準練(三)
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1．已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，設函數(shù)f(x)＝ab.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(sinx，cos2x)
＝cosxsinx－cos2x
＝sin2x－cos2x
＝cossin2x－sincos2x
＝sin.
(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π，
即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.
當2x－＝，即x＝時，f
2、(x)取得最大值1.
當2x－＝－，即x＝0時，f(0)＝－，
當2x－＝π，即x＝時，f＝，
∴f(x)的最小值為－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
2．(20xx安徽卷)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)由題設知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，
可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比為q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋
3、b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
3．(20xx湖南卷)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球．若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎．
(1)用球的標號列出所有可能的摸出結(jié)果；
(2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率．你認為正確嗎？請說明理由．
解：(1)所有可能的摸出結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{
4、B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
(2)不正確．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為＝，不中獎的概率為1－＝>，故這種說法不正確．
4.
(20xx北京卷)如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點．
(1)求證：VB∥平面MOC；
(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱錐V－ABC的體積．
(1)解：因為O，M分別為AB
5、，VA的中點，所以OM∥VB.
又因為VB?平面MOC，OM?平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以OC⊥AB.
又因為平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.又因為OC?面MOC.
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝，
又因為OC⊥平面VAB，
所以VC－VAB＝OCS△VAB＝.
又因為三棱錐V－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等，
所以三棱錐V－ABC的體積為.
5．(20xx天津卷)設橢圓＋＝
6、1(a＞)的右焦點為F，右頂點為A.已知＋＝，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直線l的斜率．
解：(1)設F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝k(x－2)．
設B(xB，yB)，由方程組
消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x
7、＝2或x＝.
由題意得xB＝，從而yB＝.
由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝，.
由BF⊥HF，得＝0，
所以＋＝0，
解得yH＝.
因此直線MH的方程為y＝－x＋.
設M(xM，yM)，由方程組消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO?|MA|＝|MO|，
即(xM－2)2＋y＝x＋y，
化簡得xM＝1，即＝1，
解得k＝－或k＝.
所以直線l的斜率為－或.
6．已知函數(shù)f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解：(1)對f(x)求導得f ′(x)＝－－，由f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知f ′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，
則f ′(x)＝，
令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，故舍去．
當x∈(0,5)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當x∈(5，＋∞)時，f ′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．由此知函數(shù)f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln5.
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