萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一：專題六 函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1.函數(shù)的零點(diǎn) 使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)。 注：函數(shù)有零點(diǎn) 函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 方程有實(shí)根 2.函數(shù)零點(diǎn)的判定： 如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在。 3．函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，注意它是數(shù)而不是點(diǎn)． 4.基本函數(shù)模型： 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 二次函數(shù)模型 指數(shù)型函數(shù)模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0) 對數(shù)型函數(shù)模型 f(x)＝

2、blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0) 冪型函數(shù)模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 5.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟 (1)審題：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的文字?jǐn)⑹鲩L，數(shù)量關(guān)系分散且難以把握，因此，要認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，收集整理數(shù)據(jù)信息，這是解答數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)． (2)建模：在明確了問題的實(shí)際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的抽象概括，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，合理引入自變量，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式(也叫目標(biāo)函數(shù))，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)

3、學(xué)模型． (3)解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù))予以解答，求得結(jié)果． (4)還原：將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原為實(shí)際問題的意義，回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問題． 以上過程可以用示意圖表示為： 模擬函數(shù)的過程可以用下面框圖表示： 二、題之本：思想方法技巧 1.判斷函數(shù)在給定區(qū)間零點(diǎn)的步驟 (1)確定函數(shù)的圖象在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)計(jì)算f(a)，f(b)的值并判斷f(a)f(b)的符號； (3)若f(a)f(b)＜0，則有實(shí)數(shù)解． 除了用上面的零點(diǎn)存在性定理判斷外，有時(shí)還需結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象來作出判斷． 2．確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f

4、(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法： (1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對應(yīng)的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷． (2) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有f(a)f(b)＜0時(shí)，函數(shù)在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但不能確定究竟有多少個(gè)．要更準(zhǔn)確地判斷函數(shù)在(a，b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還得結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進(jìn)行判斷．如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題． (3)若函數(shù)f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)． (

5、4)對于解析式較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，可根據(jù)解析式特征，利用函數(shù)與方程思想化為f(x)＝g(x)的形式，通過考察兩函數(shù)圖像交點(diǎn)來確定零。 3.“實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？例如：對一切恒成立，求a的取值范圍，你討論了a＝2的情況了嗎？ 4.數(shù)模型的選擇 解題過程中選用哪種函數(shù)模型，要根據(jù)題目具體要求進(jìn)行抽象和概括，靈活地選取和建立數(shù)學(xué)模型．一般 來說：如果實(shí)際問題的增長特點(diǎn)為直線上升，則選擇直線模型；若增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù) 值增大的速度越來越快(指數(shù)爆炸)，則選

6、擇指數(shù)型函數(shù)模型；若增長的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值的 增大速度越來越慢，則選擇對數(shù)型函數(shù)模型；如果實(shí)際問題中變量間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式表示， 則選擇分段函數(shù)模型等。另外，常見的出租車計(jì)費(fèi)問題、稅收問題、商品銷售等問題，通常用分段函數(shù)模 型；面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題常選擇冪型函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型；而對于利率、細(xì)胞分裂、 物質(zhì)衰變，則常選擇指數(shù)型函數(shù)模型． 三、題之變：課本典例改編 26.原題（必修1第八十八頁例1）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 改編1 函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】

7、【解析】易知函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|＝＝x的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B． 改編2 已知函數(shù),若在區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),不等式恒成立，且在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ) 【答案】 改編3函數(shù)y＝x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別做出y1＝，y2＝的圖象，根據(jù)圖象可以看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選B. 27.原題（必修1第

8、九十頁例2）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確度0.1）. 改編1 用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________． 【解析】　∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)<0，f(0.5)>0，則f(x)在x∈(0,0.5)上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號． 改編2 為了求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量和函數(shù)的部分對應(yīng)值（精確度0.1）如下表所示 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5

9、 1.5625 －0.8716 －0.5788 －0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 則方程的近似解（精確到0.1）可取為（ ） A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3 【答案】C. 28.原題（必修1第九十五頁例1）假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？ 改編1 某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了三

10、種領(lǐng)獎方式，這三種領(lǐng)獎方式如下：方式一：每天到該商場領(lǐng)取獎品，價(jià)值為40元；方式二：第一天領(lǐng)取的獎品的價(jià)值為10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天領(lǐng)取的獎品的價(jià)值為0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。若商場的獎品總價(jià)值不超過600元，則促銷獎的領(lǐng)獎活動最長設(shè)置為幾天？在領(lǐng)獎活動最長的情況下，你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎方式讓領(lǐng)獎?wù)呤芤娓啵? 【解析】設(shè)促銷獎的領(lǐng)獎活動為天，三種方式的領(lǐng)取獎品總價(jià)值分別為。 則；； 要使獎品總價(jià)值不超過600元，則 解得 又 ，故 答：促銷獎的領(lǐng)獎活動最長可設(shè)置10天，在這10天內(nèi)選擇方式二會讓領(lǐng)獎?wù)呤芤娓? 改編2 某家庭

11、進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元． (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系； (2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？ 29.原題（必修1第一百一十二頁復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第七題） 改編1 如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．

12、 (1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． 改編2 已知線段的長為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，若橢圓以為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的離心率的范圍． 【解析】梯形為圓內(nèi)接梯形，故其為等腰梯形，設(shè)，則在中， 由橢圓的定義知 離心率，其中，所以，故橢圓離心率 30.原題（必修1第一百一十三頁復(fù)習(xí)參考習(xí)A組第九題）某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場供應(yīng)，若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始x月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應(yīng)在多長時(shí)間后開始？ 改編1 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時(shí)間的市場供應(yīng)，

13、在存貨量變?yōu)?的前一個(gè)月，公司進(jìn)行下次生產(chǎn)。若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應(yīng)在 月后開始． 【答案】兩個(gè)月. 改編2研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據(jù)測，2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比單位．若用一個(gè)函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)g(x)＝abx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個(gè)可比單位，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？ 【解析】：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模擬函數(shù)，則依題意得： 解得p＝，q＝，r＝0，所以f(x)＝x2＋x. 若以g(x)＝abx＋c作模擬函數(shù)，則 解得a＝，b＝，c＝－3. 所以g(x)＝－3. 利用f(x)，g(x)對2014年的CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(5)＝15可比單位，g(5)＝17.25可比單位， ∵|f(5)－16|＜|g(5)－16|，故選f(x)＝x2＋x作為模擬函數(shù)較好．