萬變不離其宗：高中數學課本典例改編之必修四、五：專題六 不等式 Word版含解析

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1、 專題六 不等式 一、題之源：課本基礎知識 1．實數大小順序與運算性質之間的關系 a－b>0a>b；a－b＝0a＝b；a－b<0a0 直線Ax

2、＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 4.二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構成的有序數對(x,y),叫做二元一次不等式(組)的解,所有這樣的有序數對(x,y)構成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集． 5．線性規(guī)劃的有關概念 名稱 意義 約束條件 由變量x,y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標函數 關于x,y的函數解析式,如z＝x＋2y 線性目標函數 關于x,y的一次解析

3、式 可行解 滿足線性約束條件的解(x,y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題 6．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0． (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． 7．算術平均數與幾何平均數 設a>0,b>0,則a,b的算術平均數為,幾何平均數為,基本不等式可敘述為：兩個正實數的算術平均數不小于它們的幾何平均數． 8．利用基本不等式求最值問題 已知x>0,y>0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x＝y(tǒng)時,x＋y有最小值是

4、2．(簡記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p,那么當且僅當x＝y(tǒng)時,xy有最大值是．(簡記：和定積最大) 二、題之本：思想方法技巧 1.理解不等關系的意義、實數運算的符號法則、不等式的性質,是解不等式和證明不等式的依據和基礎. 2.一般數學結論都有前提,不等式性質也是如此.在運用不等式性質之前,一定要準確把握前提條件,注意放寬條件和加強條件與其結論的關系,以及條件與結論間的相互聯(lián)系.如：同向不等式相加,方向不改變；都是正數的同向不等式相乘,方向不改變；異向不等式相減,方向與被減不等式方向相同；都是正數的異向不等式相除,方向與被除不等式方向相同；兩個正數的n次(n∈N＋,n＞1)

5、方(開n次方),當這兩個正數相等時,它們的冪(方根)相等；而不等的兩個正數,它們的冪(方根)不等,較大的正數冪(方根)較大. (1)在應用傳遞性時,注意等號是否傳遞下去,如a≤b,bb?ac2>bc2；若無c≠0這個條件,a>b?ac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時,取“＝”)． 3．不等式中的倒數性質 (1)a>b,ab>0?<； (2)a<0b>0,0； (4)0

6、說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質,常見的反例構成方式可從以下幾個方面思考： (1)不等式兩邊都乘以一個代數式時,考察所乘的代數式是正數、負數還是0； (2)不等式左邊是正數,右邊是負數,當兩邊同時平方后不等號方向不一定保持不變； (3)不等式左邊是正數,右邊是負數,當兩邊同時取倒數后不等號方向不變等． 5.不等式性質包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種,前者一般是證明不等式的理論基礎,后者一般是解不等式的理論基礎. 6.比較兩個實數的大小,有作差法和作商法兩種方法.一般多用作差法,注意當這兩個數都是正數時,才可以用作商法.作差法是比較作差后的式子與“0”的大小

7、關系；作商法是比較作商后的式子與“1”的大小關系. 7.對于實際問題中的不等量關系,還要注意實際問題對各個參變數的限制. 8.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的確定,受二次項系數a的符號及判別式Δ＝b2－4ac的符號制約,且與相應的二次函數、一元二次方程有密切聯(lián)系,可結合相應的函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象,數形結合求得不等式的解集；二次函數y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的條件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0,則a＞0且Δ≤0.若二次項系數中含參數且未指明該函數是二次函數時,必須考慮二次項系數為0這一特殊情形. 9.解分式不等式要

8、使一邊為零；求解非嚴格分式不等式時,要注意分母不等于0,轉化為不等式組.(注：形如≥0或≤0的不等式稱為非嚴格分式不等式). 10.解含參數的不等式的基本途徑是分類討論,能避免討論的應設法避免討論.對字母參數的邏輯劃分要具體問題具體分析,必須注意分類不重、不漏、完全、準確. 11.解不等式的過程,實質上是不等式等價轉化的過程.因此保持同解變形是解不等式應遵循的基本原則. 12.各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來解,這體現(xiàn)了轉化與化歸的數學思想. 13.對給定的一元二次不等式,求解的程序框圖是： 14.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是什么？（一般要寫

9、成集合的表達式） 15.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法 (1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是：“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式組．若滿足不等式組,則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域；否則就對應與特殊點異側的平面區(qū)域； (2)當不等式中帶等號時,邊界為實線,不帶等號時,邊界應畫為虛線,特殊點常取原點． 16.如果可行域是一個多邊形,那么一般在其頂點處目標函數取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是多邊形的某個頂點,到底是哪個頂點為最優(yōu)解,有三種解決方法： 第一種方法：將目標函數的直線平行移動,最先通過或最后通過的

10、一個便是. 第二種方法：利用圍成可行域的直線斜率來判斷. 特別地,當線性目標函數的直線與可行域某條邊重合時,其最優(yōu)解可能有無數組. 第三種方法：將可行域所在多邊形的每一個頂點Pi逐一代入目標函數ZPi＝mx＋ny,比較各個ZPi,得最大值或最小值. 17. 辨明兩個易誤點 (1)畫出平面區(qū)域,避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)； (2)線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的,即可行域內使目標函數取得最值的點不一定只有一個,也可能有無數多個,也可能沒有． 18．求z＝ax＋by(ab≠0)的最值步驟 將函數z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：y

11、＝－x＋,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值． (1)當b>0時,截距取最大值時,z也取最大值；截距取最小值時,z也取最小值； (2)當b<0時,截距取最大值時,z取最小值；截距取最小值時,z取最大值． 19.利用線性規(guī)劃解決實際問題的求解步驟如下： (1)審題：仔細閱讀材料,抓住關鍵,準確理解題意,明確有哪些限制條件,主要變量有哪些．由于線性規(guī)劃應用題中的量較多,為了了解題目中量與量之間的關系,可以借助表格或圖形； (2)設元：設問題中起關鍵作用的(或關聯(lián)較多的)量為未知量x,y,并列出相應的不等式組和目標函數； (3)作圖：準確作圖,平移找點(最優(yōu)解)； (4)求解：代入

12、目標函數求解(最大值或最小值)； (5)檢驗：根據結果,檢驗反饋． 20.要熟悉基本不等式的變式和推廣,這對提高解題能力是有幫助的,常見的基本不等式和推廣有： ①a2＋b2≥； ②ab≤； ③ab≤(a＋b)2； ④≤； ⑤(a＋b)2≥4ab； ⑥≥； ⑦≥； ⑧abc≤等. ⑨a、b、cR,（當且僅當時,取等號）； 對于上面的式子,要明了其成立的條件和取“＝”的條件. 21.在利用基本不等式求最值時,要注意一正,二定,三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(必要時,還要考慮常數項)必須是正數；“二定”是指含變數的各項的和或積必須是常數；“三相等”是指具備等號成立

13、的條件,使待求式能取到最大或最小值. 22.基本不等式的應用在于“定和求積,定積求和；和定積最大,積定和最小”,必要時可以通過變形(拆補)、運算(指數、對數運算等)構造“和”或者“積”為定值. 23.求＋型最值問題,常通過“1”來進行轉化,但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決,有一些看似可以通過基本不等式解決的問題,由于條件的限制,等號不能夠成立,這時就不能用基本不等式來解決,而要借助于其他求值域的方法來解決. 24.對于形如f(x)＝的最值問題,只要分母x＋d＞0,都可以將f(x)轉化為f(x)＝a(x＋d)＋＋h(這里ae＞0；若ae＜0,可以直接利用單調性等方法求最值),再利用

14、基本不等式求其最值. 25. 一般地,對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉化為恒成立問題,對于“恒成立”的不等式,一般的解題方法是先分離然后求函數的最值.另外,要記住幾個常見的有關不等式恒成立的等價命題： (1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max； (2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min； (3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max. 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修5第75頁習題3.1A組第2題）改編 若試比較與的大小. 【解析】平方作差可得：. 2.原題（必修5第80頁習題3.2A組第3題）改編 已

15、知方程有兩個不等正實根,求實數的取值范圍. 【解析】依題意有：,故或. 3.原題（必修5第81頁習題3.2B組第二題）改編1 若函數的定義域為,則的取值范圍是 ． 【解析】要使有意義,即對恒成立,則 ,即. 改編2 若恒成立,則的取值范圍是 ． 【解析】當時,不等式等價于：,即不是恒成立, 要使恒成立,則,即. 改編3 若函數的定義域不是,則的取值范圍是 ． 【解析】要使函數有意義,則存在,使得（*） 當時,（*）等價于：,即,滿足題意；當時,,即；當 時,,即；綜上,． 改編4 若函數的值域是,

16、則的取值范圍是 ． 4.原題（必修5第80頁習題3.2A組第四題）改編 已知不等式的解集為A,不等式的解集是B. （1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集. 【解析】（1）解得,所以. 解得,所以. ∴ . （2）由的解集是,所以,解得 ∴ ,解得解集為R. 5.原題（必修5第87頁例題）改編 橫坐標、縱坐標都是整數的點是整點坐標．若直線（為正整數）,與坐標軸圍成三角形內的整點坐標（含周界）的個數是100,則等于（ ） A．9 B．18 C．11 D．22 【解析】B. 6.原題（必修5第100頁練習題第1題）改編 求函數的值域.