精編高中數(shù)學(xué) 3.1第2課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修21

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第三章　3.1　第2課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 一、選擇題 1．已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(3,0)，則橢圓的方程為(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．＋x2＝1 [答案]　C [解析]　(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意可知，a＝3，b＝1，此時(shí)橢圓的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， ∵橢圓過(guò)點(diǎn)M(3,0)，得b＝3， ∴a＝9， 此時(shí)橢圓的方程為＋＝1. 2．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A．

2、 B． C． D． [答案]　B [解析]　本題考查了離心率的求法，這種題目主要是設(shè)法把條件轉(zhuǎn)化為含a，b，c的方程式，消去b得到關(guān)于e的方程，由題意得：4b＝2(a＋c)?4b2＝(a＋c)2?3a2－2ac－5c2＝0?5e2＋2e－3＝0(兩邊都除以a2)?e＝或e＝－1(舍)，故選B． 3．(2014濰坊二中調(diào)研)如果方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(3，＋∞)∪(－∞，－2) D．(3，＋∞)∪(－6，－2) [答案]　D [解析]　由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以即 解得a>3或－6

3、2，故選D． 4．設(shè)F1、F2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　本題考查了橢圓的定義，幾何性質(zhì)及離心率的求法． △F2PF1是底角為30的等腰三角形?|PF2|＝|F2F1|?2(a－c)＝2c?e＝＝.注意數(shù)形結(jié)合思想是解析幾何的核心． 5．橢圓＋＝1與＋＝1(0

4、,16<25－k<25， ∴25－k－9＋k＝16，故兩橢圓有相等的焦距． 6．某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面n千米，地球半徑為k千米，則飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為(　　) A．2　　 B． C．mn D．2mn [答案]　A [解析]　由題意可得a－c＝m＋k，a＋c＝n＋k，故(a－c)(a＋c)＝(m＋k)(n＋k)．即a2－c2＝b2＝(m＋k)(n＋k)，所以b＝，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為2，故選A． 二、填空題 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A，B兩

5、點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)_______________． [答案]　＋＝1 [解析]　本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)． 依題意：4a＝16，即a＝4， 又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 8．以正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A，C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過(guò)正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________________． [答案]　 [解析]　如圖所示，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m，則c＝m，設(shè)橢圓與正方形在第一象限的交點(diǎn)為M，則M點(diǎn)坐標(biāo)為，由M在橢圓上，所以＋＝1，又m2＝2c2，化簡(jiǎn)得c4－6a2c2＋4a4＝0，方程兩邊同除a4得：e4－

6、6e2＋4＝0，解得e2＝3－，∴e＝. 三、解答題 9．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.求橢圓的方程． [分析]　本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力． [解析]　由e＝＝，得3a2＝4c2， 再由c2＝a2－b2，得a＝2B． 由題意可知2a2b＝4，即ab＝2. 解方程組得a＝2，b＝1， 所以橢圓的方程為＋y2＝1. 10．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為. (1)求C的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為

7、的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． [解析]　(1)將(0,4)代入C的方程得＝1， ∴b＝4，又由e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5，∴C的方程為＋＝1. (2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)． 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，即x2－3x－8＝0，x1＋x2＝3， ∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)為(，－)． 一、選擇題 1．(2014全國(guó)大綱理)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△

8、AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　本題考查了橢圓的定義，離心率的計(jì)算，根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，∴a＝，b2＝2，故橢圓的方程為＋＝1. 2．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A、B，左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D．－2 [答案]　B [解析]　∵A、B分別為左右頂點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左右焦點(diǎn)，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F

9、1B|成等比數(shù)列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以離心率e＝. 3．我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)＋＝1(a>b>0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于(　　) A．60 B．75 C．90 D．120 [答案]　C [解析]　cos∠ABF＝＝ ＝＝＝0 ∴∠ABF＝90，選C． 4．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 [答案]　C [解析]　由題意，得F(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)， 則y＝

10、3(1－)(－2≤x0≤2)， 所以＝x0(x0＋1)＋y ＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－) ＝(x0＋2)2＋2， 所以當(dāng)x0＝2時(shí)，取得最大值6. 二、填空題 5．若橢圓＋＝1的離心率為，則k＝________________. [答案]　或－1 [解析]　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝k＋4，b2＝4，∴c2＝k，∵e＝，∴＝，即＝，∴k＝，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝4，b2＝k＋4，∴c2＝－k，∵e＝，∴＝，即＝，∴k＝－1.綜上可知，k＝或k＝－1. 6．橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A、B．當(dāng)△FAB的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FAB的面積是_________

11、_______． [答案]　3 [解析]　如圖，當(dāng)直線x＝m，過(guò)右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，△FAB的周長(zhǎng)最大， 由解得y＝，∴|AB|＝3. ∴S＝32＝3. 三、解答題 7．如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． [解析]　(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝. (2)a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程可為：y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2

12、＝12c2，得B(c，－c)． 所以|AB|＝|c－0|＝C． 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin∠F1AB＝ac＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 8．(2014江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C． (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)，且BF2＝，求橢圓的方程； (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值． [解析]　(1)由題意，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)， |BF2|＝＝a＝， 又C(，)，∴＋＝1，解得b＝1. ∴橢圓方程為＋y2＝1. (2)直線BF2方程為＋＝1， 與橢圓方程＋＝1聯(lián)立方程組， 解得A點(diǎn)方程為(，b－)， 則C點(diǎn)坐標(biāo)為(，－b)， kF1C＝＝，又kAB＝－， 由F1C⊥AB得(－)＝－1， 即b4＝3a2c2＋c4，∴(a2－c2)2＝3a2c2＋c4， 化簡(jiǎn)得e＝＝.