高中數(shù)學(xué) 第1章 1歸納與類比課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 1歸納與類比課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1.下面幾種推理是合情推理的是(  ) ①由圓的周長為C=πd類比出球的表面積為S=πd2; ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180; ③某次考試,張軍的成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分; ④三角形的內(nèi)角和是180,四邊形的內(nèi)角和是360,五邊形的內(nèi)角和是540,歸納出n邊形的內(nèi)角和是(n-2)180. A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ [答案] C

2、[解析] 由合情推理的概念知①②④符合題意. 2.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 4569+7等于(  ) 19+2=11, 129+3=111, 1239+4=1 111, 1 2349+5=11 111, 12 3459+6=111 111, …… A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113 [答案] B [解析] 利用歸納推理,由已知可推測等號右側(cè)應(yīng)有7個1. 3.三角形的面積為S=(a+b+c)r,a,b,c為三角形的邊長,r為三角形內(nèi)切圓的半徑,利用類比推理可以得出四面體的體積為(  ) A.V=abc B

3、.V=Sh C.V=(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4為四個面的面積,r為內(nèi)切球的半徑) D.V=(ab+bc+ac)h(h為四面體的高) [答案] C [解析] 設(shè)△ABC的內(nèi)心為O,連接OA、OB、OC,將△ABC分割為三個小三角形,這三個小三角形的高都是r,底邊長分別為a、b、c;類比:設(shè)四面體A-BCD的內(nèi)切球的球心為O,連接OA、OB、OC、OD,將四面體分割為四個以O(shè)為頂點,以原來面為底面的四面體,高都是r,所以有V=(S1+S2+S3+S4)r. 4.已知扇形的弧長為l,半徑為r,類比三角形的面積公式S=,可推知扇形面積公式S扇等于(  ) A.  

4、 B.   C.   D.不可類比 [答案] C [解析] 由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高,可得扇形的面積公式. 5.平面幾何中,有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值a,類比上述命題,棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為(  ) A.a(chǎn)  B.a(chǎn)  C.a(chǎn)  D.a(chǎn) [答案] B [解析] 將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個面上的高a,由正三角形“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”,方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明. 二、填空題 6.(2015陜西文,16)觀察下

5、列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為____________________________________________. [答案] 1-+-+…+-=++…+ [解析] 觀察等式知:第n個等式的左邊有2n個數(shù)相加減,奇數(shù)項為正,偶數(shù)項為負,且分子為1,分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是++…+.故答案為1-+-+…+-=++…+. 7.觀察下列等式: ①cos2α=2cos2α-1; ②cos4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos8α=1

6、28cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推測,m-n+p=________. [答案] 962 [解析] 觀察每一個等式中最高次冪的系數(shù):2,8,32,128,m,構(gòu)成一個等比數(shù)列,公比為4,故m=1284=512. 觀察每一個等式中cos2α的系數(shù):2,-8,18,-32,p,規(guī)律是12,-24,36,-48,故p=510=50. 每一個式子中的系數(shù)和為1,故m-1 280+1 120+n+p-1=1, 代入m和p,可求得n=-40

7、0, 故m-n+p=512+400+50=962. 8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實,由歸納推理可得: 當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________. [答案]  [解析] 本題主要考查了歸納推理及分析解決問題的能力. 依題意:f1(x)==, f2(x)==, f3(x)==, f4(x)==. ∴當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)=. 三、解答題 9.已知Sn=+++…+,寫出

8、S1,S2,S3,S4的值,并由此歸納出Sn的表達式. [分析] 在Sn中分別令n=1,2,3,4,可以求得S1,S2,S3,S4的值,再進行歸納推測. [解析] S1==1-=; S2=+=(1-)+(-)=1-=; S3=++=(1-)+(-)+(-)=1-=; S4=+++=(1-)+(-)+(-)+(-)=1-=; 由此猜想:Sn=(n∈N+). [點評] 本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達式,有兩點應(yīng)注意:①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義;②在對特殊值進行規(guī)律觀察時,有時需要將所得結(jié)果作變形處理,以顯示隱藏的規(guī)律性. 10.在△ABC中,余弦定理可敘述為a2=

9、b2+c2-2bccosA,其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊,類比上述定理,給出空間四面體性質(zhì)的猜想. [解析]  如圖,S1,S2,S3,S分別表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面積,α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面ABP之間所成二面角的大小.故猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式為: S2=S+S+S-2S1S2cosα-2S2S3cosβ-2S2S1cosγ. [點評] 我們常將空間幾何體與平面圖形之間的性質(zhì)進行類比:如四面體?三角形,長方體?矩形,圓?球.注意:線?面,平面角?空間角,面積?體積之間具有類

10、比關(guān)系. 一、選擇題 1.(2014三峽名校聯(lián)考)觀察式子:1+<,1++<,1+++<,…,則可歸納出第n-1個式子為(  ) A.1+++…+< B.1+++…+< C.1+++…+< D.1+++…+< [答案] C [解析] 觀察可得第n-1個式子中不等式的左邊為數(shù)列{]的前n項的和,右邊為分式. 2.如圖,坐標紙上的每個單元格的邊長為1,由下往上的六個點:1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N+)的前12項(即橫坐標為奇數(shù)項,縱坐標為偶數(shù)項),按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于(  ) A.1 003

11、B.1 005 C.1 006 D.2 011 [答案] B [解析] 觀察點坐標的規(guī)律可知,偶數(shù)項的值等于其序號的一半. 則a4n-3=n,a4n-1=-n,a2n=n. 又2 009=4503-3,2 011=4503-1, ∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005, ∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005. 3.?dāng)?shù)列,,2,,…的一個通項公式是(  ) A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n= [答案] B [解析] 因為a1=,a2=,a3=,a4=,…,所以an=. 4.(2014湖北理,8)《算數(shù)

12、書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則L=2πr,由L2h≈sh,代入s=πr2化簡得π≈3;類比推理,若V≈L2h時,π≈.本題的關(guān)鍵是理解“若V≈L2h,π近似取為3”的意義,類比求解,這是高考考查新

13、定義型試題的一種常見模式,求解此類試題時,關(guān)鍵是要理解試題所列舉的例子. 二、填空題 5.在平面幾何里有射影定理:設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC,D是A點在BC上的射影,則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A-BCD中,DA⊥平面ABC,點O是A在平面BCD內(nèi)的射影,類比平面三角形射影定理,△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________. [答案] S=S△OBCS△DBC [解析] 將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積,將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長,類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得

14、S=S△OBCS△DBC. 6.(2014陜西理,14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù): 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是________. [答案] F+V-E=2 [解析] 5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2, ∴F+V-E=2. 三、解答題 7.把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間中,并判斷類比的結(jié)論是否成立; (1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交,則必與另一條相交; (2)如果兩條直線同時垂直

15、于第三條直線,則這兩條直線互相平行. [解析] 平面幾何與空間幾何的類比中,點的類比對象是線,線的類比對象是面,面的類比對象是體. (1)的類比結(jié)論為:如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交,則必與另一個相交.由空間幾何的知識易得此結(jié)論成立. (2)的類比結(jié)論為:如果兩個平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面互相平行.由空間幾何的知識易得此結(jié)論不成立,如果兩個平面同時垂直于第三個平面,這兩個平面還可能相交. 8.(2014洛陽市高二期中)觀察等式: sin50+sin20=2sin35cos15 sin66+sin32=2sin49cos17 猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結(jié)論,并進行證明. [解析] 猜想:sinα+sinβ=2sincos. 下面證明: 左邊=sin(+)+sin(-) =(sincos+cossin)+(sincos-cossin) =2sincos=右邊. 所以原等式成立.

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