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1、
2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合測試 北師大版選修2-2
時間120分鐘,滿分150分.
一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.下列函數(shù)存在極值的是( )
A.y=2x B.y=
C.y=3x-1 D.y=x2
[答案] D
[解析] 畫出圖像即可知y=x2存在極值f(0)=0.
2.曲線y=在點(-1,-1)處的切線方程為( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x-2
[答案] A
[解析
2、] ∵y′==,
∴k=y(tǒng)′|x=-1==2,
∴切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+1.
3.已知對任意實數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).當(dāng)x>0時,f′(x)>0,g′(x)>0,則當(dāng)x<0時,下列各式正確的是( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
[答案] B
[解析] 由題意f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反.
又由x>0時,f(x)是增函數(shù),g(x)是增函
3、數(shù),
∴x<0時,f(x)是增函數(shù),g(x)是減函數(shù),
∴f′(x)>0,g′(x)<0.
4.對任意的x∈R,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是( )
A.0≤a≤21 B.a(chǎn)=0或a=7
C.a(chǎn)<0或a>21 D.a(chǎn)=0或a=21
[答案] A
[解析] f′(x)=3x2+2ax+7A.當(dāng)Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21時,f′(x)≥0恒成立,函數(shù)不存在極值點.
5.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下列結(jié)論正確的是( )
A.在區(qū)間(-3,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)
B.在區(qū)間(1,2)內(nèi)f(x)是減函數(shù)
4、
C.在區(qū)間(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)
D.當(dāng)x=2時,f(x)取極小值
[答案] C
[解析] 由題中圖象可知,當(dāng)x∈(4,5)時,f′(x)>0,∴f(x)在(4,5)內(nèi)為增函數(shù).
6.若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),則f′(x0)=0是x0為函數(shù)y=f(x)的極值點的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 如y=x3,y′=3x2,y′|x=0=0,但x=0不是函數(shù)y=x3的極值點.
7.設(shè)函數(shù)f(x)=+lnx,則( )
A.x=為f(x)的極大值點
B.x=為f(x)的極
5、小值點
C.x=2為f(x)的極大值點
D.x=2為f(x)的極小值點
[答案] D
[解析] 本節(jié)考查了利用導(dǎo)數(shù)工具來探索其極值點問題.
f′(x)=-+=(1-)=0可得x=2.
當(dāng)02時
f′(x)>0,∴f(x)單調(diào)遞增.所以x=2為極小值點.
對于含有對數(shù)形式的函數(shù)在求導(dǎo)時,不要忽視定義域.
8.(2014武漢實驗中學(xué)高二期末)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如下圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f ′(x)的圖象可能是( )
[答案] A
[解析] f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)
6、上變化規(guī)律是減→增→減,因此f ′(x)的圖象在(-∞,0)上,f ′(x)>0,在(0,+∞)上f ′(x)的符號變化規(guī)律是負(fù)→正→負(fù),故選A.
9.函數(shù)f(x)=sinx+2xf′(),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),令a=-,b=log32,則下列關(guān)系正確的是( )
A.f(a)>f(b) B.f(a)
7、
又∵-f(log32),
即f(a)>f(b).
10.(2015新課標(biāo)Ⅱ,12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
[答案] A
[解析] 記函數(shù)g(x)=,則g′(x)=,因為當(dāng)x>0時,xf′(x)-f(x)<0,故當(dāng)x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減;又因為函數(shù)f(x)
8、(x∈R)是奇函數(shù),故函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)00,則f(x)>0;當(dāng)x<-1時,g(x)<0,則f(x)>0,綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),故選A.
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11.(2014湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過四個象限,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (-,-)
[解析] f ′(x)=ax2+ax-2a=a(x-1)(x+2),
由f(x)的
9、圖象經(jīng)過四個象限知,若a>0,則
此時無解;若a<0,則
∴--1時y′>0
∴ymin=f(-1)=-
13.若函數(shù)f(x)=(a>0)在[1,+∞]上的最大值為,則a的值為________.
[答案] -1
[解析] f′(x)==.當(dāng)x>時f′(x)<0,f(x)在(,+∞)上是遞減的,當(dāng)-0,f(x)在(-,)上是遞增的.當(dāng)x=時,f()==,=<1,不合題意.
∴f(x
10、)max=f(1)==,解得a=-1.
14.一工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為N臺,分批進(jìn)行生產(chǎn),每批生產(chǎn)量相同,每批生產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)為C2元,產(chǎn)品生產(chǎn)后暫存庫房,然后均勻投放市場(指庫存量至多等于每批的生產(chǎn)量).設(shè)每年每臺的庫存費(fèi)為C1元,求在不考慮生產(chǎn)能力的條件下,每批生產(chǎn)該車床________臺,一年中庫存費(fèi)和生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和最小.
[答案]
[解析] 設(shè)每批生產(chǎn)x臺,則一年生產(chǎn)批.一年中庫存費(fèi)和生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和y=C1x+(0
11、.
15.(2014泉州實驗中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)=x3-3x,若過點A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則實數(shù)m的取值范圍為________.
[答案] (-3,-2)
[解析] f ′(x)=3x2-3,設(shè)切點為P(x0,y0),則切線方程為y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0),∵切線經(jīng)過點A(1,m),∴m-(x-3x0)=(3x-3)(1-x0),∴m=-2x+3x-3,m′=-6x+6x0,∴當(dāng)01時,此函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x0=0時,m=-3,當(dāng)x0=1時,m=-2,∴當(dāng)-3
12、函數(shù)y=-2x+3x-3的圖象有三個不同交點,從而x0有三個不同實數(shù)根,故過點A(1,m)可作三條不同切線,∴m的取值范圍是(-3,-2).
三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)
16.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)在x=0處取得極值,并且在區(qū)間[0,2]和[4,5]上具有相反的單調(diào)性.
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求實數(shù)a的取值范圍.
[解析] (1)由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得,f′(x)=3x2+2ax+b,
因為f(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0,即得b=0.
(2)令f′(x)=0,即3x2+2
13、ax=0,解得x=0或x=-A.依題意有-a>0.
因為函數(shù)在單調(diào)區(qū)間[0,2]和[4,5]上具有相反的單調(diào)性,
所以應(yīng)有2≤-a≤4,解得-6≤a≤-3.
17.求證:x>0時,1+2x0時,e2x>1,f′(x)=2(1-e2x)<0,
所以函數(shù)f(x)=1+2x-e2x在(0,+∞)上是減函數(shù).
當(dāng)x>0時,f(x)0時,1+2x-e2x<
14、0,即1+2x0,
∴f(x)在(0,+∞)遞增.
令g(x)=ax2+2(a+1)x+a
Δ=4(a+1)
15、2-4a2=8a+4
2當(dāng)a>0時,Δ>0,此時g(x)=0的兩根x1=,x2=
∵a>0,∴x1<0,x2<0.
∴g(x)>0,∵x∈(0,+∞),∴f′(x)>0
故f(x)在(0,+∞)遞增.
3當(dāng)a<0時,Δ=8a+4≤0,即a≤-時,g(x)≤0,∴f′(x)≤0.
故f(x)在(0,+∞)遞減.
當(dāng)Δ>0,即-0,
x2=>0
∴令f′(x)>0,x∈(x1,x2),
f′(x)<0,x∈(0,x1)∪(x2,+∞)
∴f(x)在(x1,x2)遞增,在(0,x1)和(x2,+∞)上遞減.
綜上所述:當(dāng)a≥0時,f(x)在(0,+∞)
16、遞增.
當(dāng)-0;當(dāng)
17、2時,S′<0,
∴當(dāng)x=時,S取得最大值,此時,S最大=,y=.
即矩形的邊長分別為、時,矩形的面積最大.
[點評] 本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程,求出矩形的另一邊長.
20.(2014重慶文,19)已知函數(shù)f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于y=x.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=--,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,且切線與y=x垂直.
得f′(1)=-a-1=-2,∴a=.
(2)由(1)知f(x)=+-lnx-,
∴f′(x)=--=
18、.
令f′(x)=0解得x=-1或5,-1不在定義域之內(nèi)故舍去.
∴當(dāng)x∈(0,5),f′(x)<0,∴f(x)在(0,5)遞減.
當(dāng)x∈(5,+∞),f′(x)>0,∴f(x)在(5,+∞)遞增.
∴f(x)的增區(qū)間為(5,+∞),減區(qū)間為(0,5)
∴f(x)在x=5時取極小值f(5)=+-ln5-=-ln5.
21.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k)f ′(x)+x+1>0,求k的最大值.
[分析] (1)先確定函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)函數(shù)f ′(x),因不確定a的正負(fù),故應(yīng)討論,結(jié)合a的正負(fù)
19、分別得出在每一種情況下f ′(x)的正負(fù),從而確立單調(diào)區(qū)間;(2)分離參數(shù)k,將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù)g(x),將求k的最大值轉(zhuǎn)化為求g(x)的最值問題.
[解析] (1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f ′(x)=ex-A.
若a≤0,則f ′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.
若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時,f ′(x)<0;
當(dāng)x∈(lna,+∞)時,f ′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.
綜上,a≤0時f(x)增區(qū)間(-∞,+∞)
a>0時f(x)增區(qū)間(lna,+∞),減區(qū)間(-∞,
20、lna)
(2)由于a=1,所以(x-k)f ′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故當(dāng)x>0時,(x-k)f ′(x)+x+1>0等價于
k<+x (x>0). ①
令g(x)=+x,
則g′(x)=+1=.
由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零點.故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零點.設(shè)此零點為α,則α∈(1,2).
當(dāng)x∈(0,α)時,g′(x)<0;
當(dāng)x∈(α,+∞)時,g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)的最小值為g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,
所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等價于k