中國礦業(yè)大學(xué)計算力學(xué).ppt

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數(shù)值分析 韓超Email kdhc 參考書目 Reference 數(shù)值分析 李慶揚(yáng)編 清華大學(xué)出版社 計算方法典型題分析解集 封建湖編 西北工業(yè)大學(xué)出版社 數(shù)值分析學(xué)習(xí)輔導(dǎo)習(xí)題解析 李紅編 華中科技大學(xué)出版社 NumericalAnalysis ThirdEdition DavidKincaid WardCheney數(shù)值分析 第三版 王國榮譯 機(jī)械工業(yè)出版社 許多科學(xué)研究與工程設(shè)計問題最終都?xì)w結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題 它就是一個數(shù)學(xué)模型 通過求解這個數(shù)學(xué)模型 并對所獲得的數(shù)據(jù)分析 達(dá)到科學(xué)的真締與工程的完美 但是數(shù)學(xué)模型可能非常復(fù)雜 求出它的準(zhǔn)確解幾乎不可能 因此尋求它的近似解就非常重要 如何得到它的近似解 包括解析的和數(shù)值的 近似 值 是一個普遍現(xiàn)象 從日常生活到科學(xué)研究 工程設(shè)計無處不在 對一些復(fù)雜的 自然或社會 現(xiàn)象以及工程設(shè)計問題我們完全可以用近似數(shù)據(jù)去解釋去完善 數(shù)值仿真已經(jīng)成為科學(xué)研究與工程設(shè)計中非常重要的方法或手段 現(xiàn)代計算機(jī)的發(fā)展為大量復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的求解奠定了基礎(chǔ) 使得數(shù)值計算技術(shù)的發(fā)展獲得了巨大的支撐 求近似數(shù)據(jù)的關(guān)鍵途徑就是學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)問題的 計算方法 或 數(shù)值分析 也稱為 科學(xué)與工程計算 為什么學(xué)習(xí)數(shù)值計算方法 解決實(shí)際問題的理想化過程 教材內(nèi)容體系 第一章緒論 第二章線性方程組的直接解法 第三章函數(shù)插值 第四章函數(shù)逼近 第五章數(shù)值積分法 第六章線性方程組的迭代解法 第七章非線性方程 組 的數(shù)值解法 第八章數(shù)值最優(yōu)化 第九章常微分方程的數(shù)值解法 第十章矩陣特征值問題的數(shù)值解法 第一章緒論 1課程研究的內(nèi)容和構(gòu)造算法的主要途徑 2誤差 3有效算法要具備的條件 4靈敏度分析 5向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 1研究內(nèi)容和構(gòu)造算法的主要途徑 研究數(shù)學(xué)問題數(shù)值解的計算方法 即研究算法的 1哪些數(shù)學(xué)問題 大型線性方程組Ax b求解 矩陣A的特征值和特征向量計算 非線性方程的求解 求根 積分計算 常微分方程初值問題求解 函數(shù)逼近等 2研究數(shù)值解的必要性 例1常微分方程初值問題 其解析解 精確解 為 要求計算 等近似值 3構(gòu)造算法的主要思想 迭代法以直線代替曲線 非線性問題線性化 化整為零 離散化 外推法 加速 好算法的三個標(biāo)準(zhǔn) 快 計算步驟少 收斂速度快準(zhǔn) 數(shù)值穩(wěn)定性好 計算結(jié)果可靠性高省 節(jié)省計算機(jī)內(nèi)存 大型稀疏矩陣問題 快 計算步驟少 收斂速度快 例2多項(xiàng)式求值的Hornor算法 秦九韶算法P7 給定x的值 計算的值 算法1 按自然順序計算 乘法次數(shù) 加法次數(shù) n 算法2 嵌套算法 Hornor 秦九韶 乘法次數(shù) 加法次數(shù) n 例3解線性方程組 算法1 Cramer法則 乘除法次數(shù)An 萬年 算法2 Gauss消去法 乘除法次數(shù) 耗時 秒 例5計算積分的梯形公式與Simpson公式 非線性方程求根 Newton法比二分法快 例4如FFT 快速傅立葉變換 零乘一個數(shù)省去 2 準(zhǔn) 數(shù)值穩(wěn)定性好 計算結(jié)果可靠性高 例6求根 假設(shè)計算機(jī)有尾數(shù)為5位 算法1 算法2 例7計算積分 由分部積分法可得 取迭代初值 由遞推公式 計算得 算法1 直接積分 算法不穩(wěn)定 結(jié)果不可靠 而 可見遞推計算結(jié)果嚴(yán)重失真 取 將迭代格式變形成如下格式 計算結(jié)果相當(dāng)好 算法2易知 算法穩(wěn)定 結(jié)果可靠 1 穩(wěn)定性 若一種算法的初始誤差和舍入誤差在運(yùn)算過程中不增長 則稱此算法是穩(wěn)定的 2 誤差分析 算法1 記 則 誤差逐漸增大 式不穩(wěn)定 算法2 記 則 誤差沒有增大 算法穩(wěn)定 所以 為了 準(zhǔn) 要注意的原則 1 防止大數(shù)吃小數(shù) 利用求根公式 在計算機(jī)內(nèi) 109存為0 1 1010 1存為0 1 101 做加法時 兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊 再將浮點(diǎn)部分相加 即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010 則 1 0 0000000001 1010 取單精度時就成為 109 1 0 10000000 1010 0 00000000 1010 0 10000000 1010 大數(shù)吃小數(shù) 算法1 先解出再利用 注 求和時從小到大相加 可使和的誤差減小 2 按從小到大 以及從大到小的順序分別計算1 2 3 40 109 算法2 如1 在五位十進(jìn)制計算機(jī)上計算 解 2 防止相近的數(shù)相減 例9 解決辦法 通常情況下 當(dāng) x 1時 3 防止絕對值很小的數(shù)做分母 例10 2誤差的來源和基本概念 模型誤差 觀測誤差 截斷誤差 舍入誤差 1截斷誤差 也稱為方法誤差 涉及方法的收斂性 2舍入誤差 由計算機(jī)的浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生 涉及方法的穩(wěn)定性 如 用3 14159近似代替 則產(chǎn)生的誤差R 3 14059 0 0000026 為舍入誤差 二基本概念 假設(shè)x為準(zhǔn)確值 x 為近似值 則 絕對誤差 絕對誤差限 相對誤差 相對誤差限 三有效數(shù)字 例11 解 2位 2位 4位 3位 四有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系 1有效數(shù)字與絕對誤差限的關(guān)系 2 有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系 有效數(shù)字 相對誤差限 已知x 有n位有效數(shù)字 則其相對誤差限為 相對誤差限 有效數(shù)字 已知x 的相對誤差限可寫為則 可見x 至少有n位有效數(shù)字 例13為使的相對誤差小于0 001 至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字 解假設(shè) 取到n位有效數(shù)字 則其相對誤差上限為 要保證其相對誤差小于0 001 只要保證其上限滿足 已知a1 3 則從以上不等式可解得n 6 log6 即n 6 應(yīng)取 3 14159 只要取n 3即可 即3位有效數(shù)字 例14要使的近似值相對誤差小于0 1 應(yīng)取幾位有效數(shù)字 解 例15 有十個復(fù)根 4靈敏度分析 靈敏度分析是分析一個數(shù)學(xué)問題原始數(shù)據(jù)的微小變化對其解的擾動情況 如果引起解發(fā)生較大的變化 則稱該問題是病態(tài)的 否則稱該問題是良態(tài)的 它反映了解對原始數(shù)據(jù)的敏感程度 抗干擾能力強(qiáng)良態(tài)的方程組 抗干擾能力弱病態(tài)的方程組 問題 如何估計誤差向量的大小 如何對方程組的性態(tài)進(jìn)行判斷 衡量其病態(tài)程度 病態(tài)與否是該問題固有的性質(zhì) 與采用何種計算方法沒有關(guān)系 5向量范數(shù)與矩陣范數(shù) 相關(guān)Matlab命令 norm x p norm x norm x 2