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1、新版數(shù)學北師大版精品資料
第二章 2.2 第2課時空間向量的數(shù)量積
一、選擇題
1.下列式子中正確的是( )
A.a(chǎn)|a|=a2
B.(ab)2=a2b2
C.(ab)c=a(bc)
D.|ab|≤|a||b|
[答案] D
2.已知非零向量a,b不共線,且其模相等,則a+b與a-b的關(guān)系是( )
A.垂直 B.共線
C.不垂直 D.以上都可能
[答案] A
[解析] ∵(a+b)(a-b)=a2-b2=0,∴a+b與a-b垂直.
3.已知向量a、b、c兩兩夾角為60,其模都為1,則|a-b+2c|=( )
A. B.5
C.6 D.
[答
2、案] B
[解析] ∵|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60,∴ab=bc=ac=,a2=b2=c2=1.
∴|a-b+2c|==
===
4.已知e1、e2是夾角為60的兩個單位向量,則a=e1+e2與b=e1-2e2的夾角是( )
A.60 B.120
C.30 D.90
[答案] B
[解析] ab=(e1+e2)(e1-2e2)=e-e1e2-2e=1-1-2=-,|a|=====,|b|====.∴cos〈a,b〉==-,∴〈a,b〉=120.
5.(2015山東理,4)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60,則=( )
A
3、.-a2 B.-a2
C.a(chǎn)2 D.a(chǎn)2
[答案] D
[解析] ==(+)=()2+=||2+||||cos∠ABC=a2+a2cos 60=a2.故選D.
6.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點,且滿足=0,=0,=0,則△BCD是( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.不確定
[答案] B
[解析] =-,=-,
=(-)(-)=--+||2=||2>0,
∴cos∠CBD=cos〈,〉=>0,
∴∠CBD為銳角,同理,∠BCD與∠BDC均為銳角,
∴△BCD為銳角三角形.
二、填空題
7.在空間四邊形ABCD中,++=_
4、_____________.
[答案] 0
[解析] 如右圖所示,設(shè)=b,=c,=d,則=d-c,=d-b,=c-b,原式=b(d-c)+d(c-b)-c(d-b)=0.
8.如圖所示,AB=AC=BD=1,AB?面α,AC⊥面α,BD⊥AB,BD與面α成30,則點C與D之間的距離為______________.
[答案]
[解析] ∵AC⊥α,BD與α成30角,∴AC與BD所成角為60.
三、解答題
9.設(shè)a⊥b,〈a,c〉=,〈b,c〉=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的模.
[分析] 可直接運用|a|2=aA.
[解析] |a+ b+c|2
5、=(a+b+c)2
=|a|2+|b|2+|c| 2+2(ab+ac+bc)
=1+4+9+2(0+13+23)
=17+6,
∴|a+b+c|=.
10.如圖所示,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,AB=AD=AA′=1,∠A′AD=∠A′AB=∠BAD=60,求:
(1)AC′的長;(2)BD′的長.
[解析] (1)2=(++)2=2+2+2+2+2+2
=1+1+1+211+211+211=6.∴||=
(2)同理可得2=(++)2=2+2+2+2+2+2
=1+1+1+211(-)+211+211(-)=2.
∴BD′=.
一、選擇題
1.設(shè)
6、a、b、c是任意的非零平面向量,且它們相互不共線,則
①(ab)c-(ca)b=0;
②|a|-|b|<|a-b|;
③(ba)c-(ca)b不與a垂直;
④(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正確的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
[答案] D
[解析] 根據(jù)數(shù)量積的定義及性質(zhì)可知:①③錯誤,②④正確.故選D.
2.已知PA⊥平面ABC,垂足為A,∠ABC=120,PA=AB=BC=6,則PC等于( )
A.6 B.6
C.12 D.144
[答案] C
[解析] ∵=++,
∴2=2+2+2+2=36+36+36
7、+236cos60=144.
∴||=12.
3.已知,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90,∠BAA′=∠DAA′=60,則AC′等于( )
A.85 B.
C.5 D.50
[答案] B
[解析] =++,
∴||=
=
=.
4.(2014湖北省襄陽五中月考)在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,向量與向量所成的角為( )
A.60 B.150
C.90 D.120
[答案] D
[解析] 由條件知,||=a,||=a,
=(-)(+)
=-||2+-
=-||2-=-a2,
∴cos〈
8、,〉===-.
∴向量與所成的角為120,故選D.
二、填空題
5.已知|a|=3,|b|=4,a與b的夾角為135,m=a+b,n=a+λb,若m⊥n,則λ=__________________________
[答案]?。?
[解析] ∵m⊥n∴mn=0即(a+b)(a+λb)=0
∴|a|2+λ|a||b|cos135+|a||b|cos135+λ|b|2=0
∴λ=-.
6.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60角,則B、D間的距離為________________.
[答案] 2或
[解析] ∵
9、∠ACD=90,
∴=0,同理=0,
∵AB與CD成60角,
∴〈,〉=60或120.
又=++,
∴||2=||2+||2+||2+2+2+2
=3+211cos〈,〉
=
∴||=2或.即B、D之間的距離為2或.
三、解答題
7.如圖,已知平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60,PA⊥平面ABCD,并且PA=6,求PC的長.
[解析] ∵=++,
∴||2==|++|2
=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos120=61-12=49.∴PC=7.
8.如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是C1D1、D1D的中點,若正方體的棱長為1.
(1)求〈,〉的余弦值;
(2)求證:⊥.
[解析] (1)=+=+,
=+=+=-.
∵=0,=0,=0,
∴=(-)(+)=,
又||=||=,∴cos〈,〉=,
(2)證明:=+=-+,=+=-(+),∴=0,∴⊥.