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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料
學業(yè)分層測評
(建議用時:45分鐘)
[學業(yè)達標]
一、選擇題
1.(2014重慶高考)已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=3,=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( )
A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4
【解析】 線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點的中心(,),將(,)逐個代入驗證只有A項符合.
【答案】 A
2.(2015湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1 x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是( )
A.x與y負相關(guān)
2、,x與z負相關(guān)
B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)
C.x與y正相關(guān),x與z負相關(guān)
D.x與y負相關(guān),x與z正相關(guān)
【解析】 因為變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1 x+1,其中-0.1<0,所以x與y成負相關(guān);又因為變量y與z正相關(guān),不妨設(shè)z=ky+b(k>0),則將y=-0.1x+1代入即可得到:
z=k(-0.1x+1)+b=-0.1 kx+(k+b),所以-0.1 k<0,所以x與z負相關(guān),綜上可知,應選A.
【答案】 A
3.在一次試驗中,測得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的線性回歸方程為( )
A.y=x+1 B.
3、y=x+2
C.y=2x+1 D.y=x-1
【解析】?。剑?.5,==3.5,因為回歸方程過樣本中心(,),故A正確.
【答案】 A
4.(2016廣州高一檢測)已知x,y的取值如下表所示:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若y與x線性相關(guān),且y=0.95x+a,則a=( )
A.2.2 B.2.9
C.2.8 D.2.6
【解析】?。剑?,
==4.5,
又回歸直線經(jīng)過(,),
所以4.5=0.952+a,a=2.6.
【答案】 D
5.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x(單位:℃)與某取暖商品的銷售額y(
4、單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
平均氣溫x(℃)
-2
-3
-5
-6
銷售額y(萬元)
20
23
27
30
根據(jù)以上數(shù)據(jù),用線性回歸的方法,求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程y=a+bx的系數(shù)b=-2.4.則預測平均氣溫為-8 ℃時,該商品的銷售額為( )
A.34.6萬元 B.35.6萬元
C.36.6萬元 D.37.6萬元
【解析】 由已知,得==-4,
==25,
所以a=-b=25+2.4(-4)=15.4,
即線性回歸方程為y=15.4-2.4 x,
當x=-8時,y=34.6.
【答案】 A
二、填空題
6.(20
5、16濰坊高一檢測)某地區(qū)近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y=0.8x+0.1(單位:億元),預計今年該地區(qū)居民收入為15億元,則年支出估計是________億元.
【解析】 由題意知,y=0.815+0.1=12.1(億元),
即年支出估計是12.1億元.
【答案】 12.1
7.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程:y=0.254x+0.321.由線性回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加________萬元.
【解析】 [0.
6、254(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254(萬元).
【答案】 0.254
8.對一質(zhì)點的運動過程觀測了4次,得到如下表所示的數(shù)據(jù),則刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為________.
x
1
2
3
4
y
1
3
5
6
【解析】?。?.5,=3.75,xiyi=46,x=30,
b==1.7,a=-b=-0.5.
所以所求的線性回歸方程為y=1.7x-0.5.
【答案】 y=1.7x-0.5
三、解答題
9.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料:
使用年限x
2
3
4
5
7、
6
維修費用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求: 【導學號:63580016】
(1)線性回歸方程y=bx+a;
(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?
【解】 (1)制表如下:
i
1
2
3
4
5
合計
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
=4,=5,x=90,xiyi=112.3
于是
8、有b===1.23.
a=-b=5-1.234=0.08.
故線性回歸方程是y=1.23x+0.08.
(2)根據(jù)線性回歸方程是y=1.23x+0.08,
當x=10(年)時,y=1.2310+0.08=12.38(萬元),
即估計使用年限為10年時,維修費用是12.38萬元.
10.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,x=720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭
9、月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中,b=,a=-b,
其中,為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為=x+.
【解】 (1)由題意知,n=10,=xi==8,
=y(tǒng)i==2,
又lxx=x-n2=720-1082=80,
lxy=xiyi-n =184-1082=24,
由此得b===0.3,a=-b=2-0.38=-0.4.
故所求回歸方程為y=0.3x-0.4.
(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b=0.3>0),故x與y之間是正相關(guān).
(3)將x=7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=0.37-0.4=1.7(千元).
[能力提
10、升]
1.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
廣告費用x(萬元)
2
3
4
5
銷售額y(萬元)
26
39
49
54
根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為( )
A.63.6萬元 B.65.5萬元
C.67.7萬元 D.72.0萬元
【解析】 ∵==,==42.
∴42=9.4+a,∴a=9.1,
∴回歸方程為y=9.4x+9.1,
當x=6時,y=9.46+9.1=65.5(萬元).
【答案】 B
2.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:
x
1
2
3
4
5
6
11、
y
0
2
1
3
3
4
假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是
( )
A.b>b′,a>a′ B.b>b′,a<a′
C.b<b′,a>a′ D.b<b′,a<a′
【解析】 b′==2,a′=0-21=-2,
xiyi=0+4+3+12+15+24=58,=3.5,=.
x=1+4+9+16+25+36=91,
∴b==.
a=-3.5=-=-.
∴b<b′,a>a′.
【答案】 C
3.期中考試后,某校高三(9)班對全班6
12、5名學生的成績進行分析,得到數(shù)學成績y對總成績x的回歸直線方程為y=6+0.4x.由此可以估計:若兩個同學的總成績相差50分,則他們的數(shù)學成績大約相差________分.
【解析】 令兩人的總成績分別為x1、x2,則對應的數(shù)學成績估計為y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.450=20.
【答案】 20
4.研究某設(shè)備的使用年限x與維修費用y之間的關(guān)系,測得一組數(shù)據(jù)如下(y值為觀察值):
年限x(年)
2
3
4
5
6
維修費用y(萬元)
3
4.4
5
5.6
6.2
由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)
13、系,可以用一條直線l的方程來反映這種關(guān)系.
(1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖;
(2)如果直線l過散點圖中的最左側(cè)點和最右側(cè)點,求出直線l的方程;
(3)如果直線l過散點圖中的中間點(即點(4,5)),且使維修費用的每一個觀察值與直線l上對應點的縱坐標的差的絕對值之和最小,求出直線l的方程.
圖181
【解】 (1)如下圖所示.
(2)因為散點圖中的最左側(cè)點和最右側(cè)點分別是(2,3),(6,6.2),
所以直線l的方程是=,
即4x-5y+7=0.
(3)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)+5.
則維修費用的每一個觀察值與直線l上對應點的縱坐標的差的絕對值之和
S(k)=|3-(-2k+5)|+|4.4-(-k+5)|+|5.6-(k+5)|+|6.2-(2k+5)|=2|k-1|+4|k-0.6|
=
因為函數(shù)S(k)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0.6,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0.6),所以當k=0.6時,S(k)取得最小值0.8,此時直線l的方程是3x-5y+13=0.