2020高中數(shù)學(xué) 第2章 5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第2章 5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1.函數(shù)y=xln(2x+5)的導(dǎo)數(shù)為(  ) A.ln(2x+5)- B.ln(2x+5)+ C.2xln(2x+5) D. [答案] B [解析] y′x=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x(2x+5)′=ln(2x+5)+. 2.已知f(x)=sin2x+sinx,那么f′(x)(  ) A.是僅有最小值的奇函數(shù) B.是既有最大值又有最小值的偶函數(shù) C.是僅

2、有最大值的偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) [答案] B [解析] f′(x)=(sin2x+sinx)′=(sin2x)′+(sinx)′=cos2x(2x)′+cosx=cos2x+cosx. 因為f′(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+)2-,又-1≤cosx≤1,所以函數(shù)f′(x)既有最大值又有最小值. 因為f′(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),所以f′(x)是偶函數(shù).故選B. 3.(2014全國大綱理,7)曲線y=xex-1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于(  ) A.2e B.e C.

3、2 D.1 [答案] C [解析] 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和直線方程.點(diǎn)(1,1)在曲線上,對y求導(dǎo)得y=ex-1+xex-1,所以在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為k=2.曲線上某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值,就是過該點(diǎn)的切線的斜率. 4.若函數(shù)f(x)=3cos(2x+),則f′()等于(  ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 [答案] B [解析] f′(x)=-6sin(2x+), ∴f′()=-6sin(π+)=6sin=3. 5.函數(shù)y=cos2x+sin的導(dǎo)數(shù)為(  ) A.-2sin2x+ B.2sin2x+ C.-2sin2x+ D.2sin2x- [答案]

4、 A [解析] y′x=(cos2x+sin)′=(cos2x)′+(sin)′=-sin2x(2x)′+cos()′=-2sin2x+. 二、填空題 6.(2014三亞市一中月考)曲線y=在點(diǎn)(1,1)處的切線為l,則l上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x+3=0上的點(diǎn)的最近距離是________. [答案] 2-1 [解析] y′|x=1=-|x=1=-1,∴切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0,圓心(-2,0)到直線的距離d=2,圓的半徑r=1, ∴所求最近距離為2-1. 7.曲線y=sin3x在點(diǎn)P(,0)處的切線方程為____. [答案] 3x+y=π [解析] 

5、y′x=cos3x(3x)′=cos3x3=3cos3x.∴曲線y=sin3x在點(diǎn)P(,0)處的切線斜率為3cos(3)=-3,∴切線方程為y=-3(x-),即3x+y=π. 8.(2014西安模擬)曲線y=e2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________. [答案] 2x-y+1=0 [解析] y′=(e2x)′=2e2x,k=y(tǒng)′|x=0=2e20=2,∴切線方程為y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. 三、解答題 9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=e3x;(2)y=cos42x-sin42x. [解析] (1)引入中間變量u=φ(x)=3x,則函數(shù)y=e3x是由函數(shù)f

6、(u)=eu與u=φ(x)=3x復(fù)合而成的. 查導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(u)=eu,φ′(x)=3. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 (e3x)′=f′(u)φ′(x)=eu3=3e3x. (2)y=cos42x-sin42x=(cos22x+sin22x)(cos22x-sin22x)=cos4x. 引入中間變量u=φ(x)=4x,則函數(shù)y=cos4x是由函數(shù)f(u)=cosu與u=φ(x)=4x復(fù)合而成的. 查導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(u)=-sinu,φ′(x)=4. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 (cos42x-sin42x)′=(cos4x)′=f′(u)φ′(x)=-sinu4=-4s

7、in4x. 10.求y=ln(2x+3)的導(dǎo)數(shù),并求在點(diǎn)(-,ln2)處切線的傾斜角. [分析] 函數(shù)y=ln(2x+3)可以看作函數(shù)y=lnu和u=2x+3的復(fù)合函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求. [解析] 令y=lnu,u=2x+3, 則y′x=(lnu)′(2x+3)′=2=. 當(dāng)x=-時,y′==1,即在點(diǎn)(-,ln2)處切線的傾斜角的正切值為1,所以傾斜角為. 一、選擇題 1.y=log3cos2x的導(dǎo)數(shù)是(  ) A.-2log3etanx B.2log3ecotx C.-2log3cosx D. [答案] A [解析] y′=log3e(cos2x)

8、′ =log3e2cosx(cosx)′ =log3e2cosx(-sinx)=-2log3etanx. 2.已知f(x)=x2+2f′x,則f′=(  ) A. B.- C.0 D.無法確定 [答案] A [解析] ∵f(x)=x2+2f′x, ∴f′(x)=2x+2f′, ∴f′=2+2f′, ∴f′=-2=,即f′=. 3.函數(shù)f(x)=cos x(x∈R)的圖象按向量(m,0)平移后,得到函數(shù)y=-f′(x)的圖象,則m的值可以為(  ) A. B.π C.-π D.- [答案] A [解析] 考查三角函數(shù)的圖象按向量平移常見三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),f(x

9、)=cos x的圖象按向量(m,0)平移后得到cos(x-m)=-f′(x)=sin x的圖象,故選A. 二、填空題 4.f(x)=,且f′(1)=1,則a的值為________. [答案] 2 [解析] ∵f′(x)=(ax-1)′=, ∴f′(1)==1. 解得a=2 5.(2014江蘇,11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是________. [答案]?。? [解析] 曲線y=ax2+過點(diǎn)P(2,-5),則4a+=-5① 又y′=2ax-,所以4a-=-②

10、 由①②解得所以a+b=-3. 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為經(jīng)過該點(diǎn)的切線的斜率. 三、解答題 6.求f(x)=x2e2x的導(dǎo)數(shù). [分析] 先用兩個函數(shù)相乘的求導(dǎo)法則,再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解. [解析] f′(x)=(x2)′e2x+x2(e2x)′ =2xe2x+x2(e2x)2 =e2x(2x+2x2)=2x(1+x)e2x. 7.某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系s(t)=3sin(t+)(0≤t≤24),其中s的單位是m,t的單位是h,求函數(shù)在t=18時的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實際意義. [解析] 函數(shù)y=s(t)=3sin(t+π)是由函數(shù)f(x)=3sinx

11、和函數(shù)x=φ(t)=t+復(fù)合而成的其中x是中間變量.由導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(x)=3cosx,φ′(t)=. 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y′t=s′(t)=f′(x)φ′(t)=3cosx=cos(t+). 將t=18時代入s′(t),得s′(18)=cos=(m/h). 它表示當(dāng)t=18時,潮水的高度上升的速度為 m/h. 8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=log2(2x2+3x+1);(2)y=ln; (3)y=ln;(4)y=. [解析] (1)方法一:設(shè)y=log2u,u=2x2+3x+1,則y′x=y(tǒng)′uu′x=log2e(4x+3) =(4x+3)=. 方法二:y′=[

12、log2(2x2+3x+1)]′ =(2x2+3x+1)′=. (2)方法一:設(shè)y=lnu,u=,v=x2+1,則y′x=y(tǒng)′uu′vv′x= v-2x =2x=. 方法二:y′=(ln)′=()′=2x=. 方法三:y=ln=ln(x2+1), 所以y′=[ln(x2+1)]′=(x2+1)′=. (3)y′=′ =′ = =-. (4)y== =ex+e-x-=ex+e-x-, 所以y′=(ex)′+(e-x)′-′ =ex-e-x- =ex-e-x-. [點(diǎn)評] 應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行解題.求導(dǎo)過程中,可先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡,當(dāng)然變形化簡時要注意等價性.

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