《2020高中數(shù)學(xué) 2.4用向量討論垂直與平行練習(xí) 北師大版選修21》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高中數(shù)學(xué) 2.4用向量討論垂直與平行練習(xí) 北師大版選修21(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
第二章 2.4用向量討論垂直與平行
一、選擇題
1.若平面α,β的一個(gè)法向量分別為(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,則x的值為( )
A. B.-
C.10 D.-10
[答案] D
[解析] ∵α⊥β,∴它們的法向量也互相垂直,
∴(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10,
故選D.
2.(2014·四川省成都七中期末)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是( )
A.(1,-4,
2、2) B.(,-1,)
C.(-,1,-) D.(0,-1,1)
[答案] D
[解析] 因?yàn)椋?0,2,4),直線l平行于向量a,若n是平面α的法向量,則必須滿足,把選項(xiàng)代入驗(yàn)證,只有選項(xiàng)D不滿足,故選D.
3.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,給出下列結(jié)論:
①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1).
②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1).
③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0).
④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
[答案] C
[
3、解析] DD1∥AA1,=(0,0,1);BC1∥AD1,=(0,1,1),直線AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0);C1點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1),與平面B1CD不垂直,∴④錯(cuò).
4.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)A(2,-1,2),它的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是( )
A.(1,-1,1) B.(1,3,)
C.(1,-3,) D.(-1,3,-)
[答案] B
[解析] 要判斷點(diǎn)P是否在平面內(nèi),只需判斷向量與平面的法向量n是否垂直,即判斷·n是否為0即可,因此,要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn).
對(duì)于選項(xiàng)A,=(1,0,1),
則·
4、;n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;
對(duì)于選項(xiàng)B,=(1,-4,),
則·n=(1,-4,)·(3,1,2)=0,故選B.
5.已知直線l1的方向向量a=(2,4,x),直線l2的方向向量為b=(2,y,4),且l1⊥l2,則x+y=( )
A.-1 B.1
C.0 D.無(wú)法確定
[答案] A
[解析] ∵l1⊥l2,∴a⊥b,a·b=0,∴4+4y+4x=0,即x+y=-1.
6.若直線l的方向向量為a=(1,1,1),向量b=(1,-1,0)和向量c=(0,1,-1)所在的直線都與平面α平行,則( )
A.l
5、⊥α B.l∥α
C.lα D.以上都不對(duì)
[答案] A
[解析] ∵(1,1,1)·(1,-1,0)=0,(1,1,1)·(0,1,-1)=0,∴a⊥b,a⊥c,又b與c不平行且b、c所在的直線都與平面α平行,∴l(xiāng)⊥α.
二、填空題
7.已知a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c兩兩垂直,則實(shí)數(shù)x=________________,y=________________,z=________________.
[答案]?。?4 -26?。?7
[解析] 因?yàn)閍,b,c兩兩垂直,所以a·b=b·c=c
6、·a=0,
即,解得.
8.已知空間三點(diǎn)A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直線AB上一點(diǎn)M,滿足CM⊥AB,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________________.
[答案] (-,,1)
[解析] 設(shè)M(x,y,z),又=(-1,1,0),=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3),
由題意得∴x=-,y=,z=1,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,,1).
三、解答題
9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB于點(diǎn)F.
(1)證明PA∥平面EDB;
(2)證明PB⊥
7、平面EFD.
[證明] 如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,D是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)DC=A.
(1)連接AC、AC交BD于G,ABCD為正方形,∴G為AC中點(diǎn),連接EG.
簡(jiǎn)解:又E為PC中點(diǎn)∴PA∥GE又GE平面BDE,PA?平面BDE∴PA∥平面BDE
(2)依題意,得B(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).∴=(a,a,-a).
又=(0,,),故·=0+-=0.
∴PB⊥DE.
又EF⊥PB,且EF∩DE=E.
∴PB⊥平面EFD.
10.如圖, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn),EF∩BD=
8、G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
[證明] 以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意知:D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,,0),F(xiàn)(,2,0),
=(0,-,-4),=(-,,0).
設(shè)平面B1EF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).
則n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0.
解得x=y(tǒng),z=-y,令y=1得n=(1,1,-),
又平面BDD1B1的一個(gè)法向量為=(-2,2,0),
而n·=1×(-2)+1×2+(-)×0=0,
即n⊥.∴平面B1EF
9、⊥平面BDD1B1.
一、選擇題
1.如圖,已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°,E為AC的中點(diǎn),那么以下向量為平面ACD的法向量的是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 方法一:判斷平面ACD的法向量,可以從平面ACD中找出,,中的兩個(gè)向量,分別與選項(xiàng)中的向量求數(shù)量積,判斷垂直而得.
方法二:直接利用已知邊角關(guān)系判斷線面垂直.
設(shè)AD=1,則BD=CD=1.因?yàn)椤鰽DB和△ADC都是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形,所以AB=AC=.
又因?yàn)椤螧AC=60°,所以
10、BC=.所以△BCD也是直角三角形,且BD⊥CD,從而可得BD⊥平面ACD.
2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),則( )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
[答案] B
[解析] a+2b=(2x+1,4,4-y),
2a-b=(2-x,3,-2y-2),
∵(a+2b)∥(2a-b),
∴,∴
3.若直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則( )
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1,l2相交但不垂直 D.l1,l2的關(guān)系不能確定
[
11、答案] B
[解析] a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥B.∴l(xiāng)1⊥l2.
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是( )
A.(,,-) B.(,-,)
C.(-,,) D.(-,-,-)
[答案] D
[解析] =(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1).設(shè)平面ABC的一個(gè)單位法向量為u=(x,y,z),則u·=0,u·=0,得x,y,z之間的關(guān)系,且x2+y2+z2=1,求值即可.
二、填空題
5.已知點(diǎn)P是平行四邊形A
12、BCD所在平面外一點(diǎn),如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).對(duì)于結(jié)論:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正確的是________________.
[答案]?、佗冖?
[解析] ·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,則⊥.
·=4×(-1)+2×2+0=0,則⊥,
∵⊥,⊥,∩=A,
∴⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一個(gè)法向量.
6.如圖,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)
13、Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于________________.
[答案] 2
[解析] 先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)||=b,則A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),所以=(1,b,-1),=(-1,a-b,0).
∵⊥,∴b2-ab+1=0.
∵b只有一解,∴Δ=0,可得a=2.
三、解答題
7.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(1)求證:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
[
14、證明] (1)以A為原點(diǎn),、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0).
∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥ AD1.
(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,z0),
使得DP∥平面B1AE.此時(shí)=(0,-1,z0).
又設(shè)平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
∵n⊥平面B1AE,∴n⊥ ,n⊥,得
取x=1
15、,得平面B1AE的一個(gè)法向量n=(1,-,-a).要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,解得z0=.又DP?平面B1AE,
∴存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=.
8.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,棱DD1上是否存在點(diǎn)P,使得平面APC1⊥平面ACC1?證明你的結(jié)論.
[解析] 假設(shè)點(diǎn)P存在,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,DP=m(0≤m≤a),則由正方體的性質(zhì)知,CC1⊥BD,AC⊥BD,CC1∩AC=C,∴BD⊥平面ACC1,
因此,=(a,a,0)是平面ACC1的一個(gè)法向量.
∵平面APC1⊥平面ACC1,
∴在平面APC1內(nèi)或與平面APC1平行,
∴存在實(shí)數(shù)x與y,使得=x+y.
∵=(-a,a,a),=(-a,0,m),
∴,解得.
∴點(diǎn)P存在,且當(dāng)點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)時(shí),平面APC1⊥平面ACC1.