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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
2.1從平面向量到空間向量
一、選擇題
1.下列說法中正確的是( )
A.任意兩個(gè)空間向量都可以比較大小
B.方向不同的空間向量不能比較大小,但同向的空間向量可以比較大小
C.空間向量的大小與方向有關(guān)
D.空間向量的??梢员容^大小
[答案] D
[解析] 任意兩個(gè)空間向量,不論同向還是不同向均不存在大小關(guān)系,故A、B不正確;向量的大小只與其長(zhǎng)度有關(guān),與方向沒有關(guān)系,故C不正確;由于向量的模是一個(gè)實(shí)數(shù),故可以比較大?。?
2.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),那么與直線AM垂直的
2、向量有( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由于所求的是向量,所以首先排除B,在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中,通過正方體的圖形可知D項(xiàng)正確.
3.空間中,起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是( )
A.圓 B.球
C.正方形 D.球面
[答案] D
[解析] 根據(jù)模的概念知終點(diǎn)在以起點(diǎn)為球心,半徑為1的球面上.
4.在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,向量、、是( )
A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長(zhǎng)向量
C.共面向量 D.不共面向量
[答案] C
[解析] 先畫出平行六面體的圖像,可看出向量、在平面ACD1上,由于向量平行于,所以向量經(jīng)過平移可
3、以移到平面ACD1上,因此向量、、為共面向量.
5.如圖所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°.在所有棱所在的向量中,平面BB1C1C的法向量有( )
A.0個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
[答案] D
[解析] 由于三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱且∠ACB=90°,所以A1C1⊥平面BB1C1C,AC⊥平面BB1C1C,所以平面BB1C1C的法向量是:,,,,共4個(gè).
6.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,GC⊥平面ABCD,且GC=2,則向量的模為( )
A.6 B.9
C.4 D.5
[答案] A
[解析] GC
4、⊥平面ABCD,所以GC⊥AC.在Rt△GAC中,AC=4,GC=2,所以AG==6,即||=6.
二、填空題
7.下列有關(guān)平面法向量的說法中,正確的是________________(填寫相應(yīng)序號(hào)).
①平面α的法向量垂直于與平面α平行的所有向量;
②一個(gè)平面的所有法向量互相平行;
③如果兩個(gè)平面的法向量垂直,那么這兩個(gè)平面也垂直;
④如果a,b與平面α平行,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一個(gè)法向量.
[答案]?、佗冖?
[解析] 當(dāng)a與b共線時(shí),n就不一定是平面α的法向量,故④錯(cuò)誤.
8.在長(zhǎng)方體中,從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,在以長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)
5、和終點(diǎn)的向量中,模為1的向量有________________個(gè).
[答案] 8
[解析] 研究長(zhǎng)方體模型可知,棱長(zhǎng)為1的棱有4條,故模為1的向量有8個(gè).
三、解答題
9.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正三棱柱ABC—A1B1C1中:
(1)以正三棱柱的兩個(gè)頂點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,舉出與向量相等的向量;
(2)以正三棱柱的兩個(gè)頂點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,舉出向量的相反向量;
(3)若E是BB1的中點(diǎn),舉出與向量平行的向量.
[解析] (1)由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知與相等的向量只有向量.
(2)向量的相反向量為、.
(3)取AA1的中點(diǎn)F,連結(jié)B1F,則、、都是與平行的向量.
10.
6、如圖,正方體ABCD—EHGF,寫出平面ABCD所有的法向量,并求〈,〉、〈,〉.
[解析] 平面ABCD所有的法向量有、、、、、、、.由于正方體的三條棱DA、DC、DF互相垂直,所以〈,〉=90°,〈,〉=90°.
一、選擇題
1.對(duì)于空間向量,有以下命題:
①單位向量的模為1,但方向不確定;
②如果一個(gè)向量和它的相反向量相等,那么該向量的模為0;
③若a∥b,b∥c,則a∥c;
④若ABCD-A′B′C′D′為平行六面體,則=.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析]?、壑挟?dāng)b=0時(shí),結(jié)論不成立
7、,其它3個(gè)命題都是真命題,故選C.
2.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,與向量的模相等的向量至少有( )
A.7個(gè) B.3個(gè)
C.5個(gè) D.6個(gè)
[答案] A
3.如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)為向量端點(diǎn)的所有向量中,直線AB的方向向量有( )
A.8個(gè) B.7個(gè)
C.6個(gè) D.5個(gè)
[答案] A
[解析] 與向量平行的向量就是直線AB的方向向量,有、、、、、、、,共8個(gè),所以選A.
4.=的一個(gè)必要不充分條件是( )
A.A與C重合
B.A與C重合,B與D重合
C.||=||
D.A、B、C、D四點(diǎn)共線
[答案] C
8、[解析] 向量相等只需方向相同,長(zhǎng)度相等,而與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置無關(guān).表示兩個(gè)共線向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合,不能得到四點(diǎn)共線.
二、填空題
5.在下列命題中:①若a、b為共面向量,則a、b所在的直線平行;②若向量a、b所在直線是異面直線,則a、b一定不共面;③平面的法向量不唯一,但它們都是平行的;④平行于一個(gè)平面的向量垂直于這個(gè)平面的法向量.其中正確命題的個(gè)數(shù)為________________.
[答案] 2
[解析]?、佗谑清e(cuò)誤的,共面向量所在的直線不一定平行,只要能平移到一個(gè)平面內(nèi)就可以.
6.如圖,在正四棱臺(tái)ABCD—A1B1C1D1中,O、O1
9、分別是對(duì)角線AC,A1C1的中點(diǎn),則〈、〉=________________,〈,〉=________________,〈,〉=________________.
[答案] 0° 0° 90°
[解析] 由題意得,方向相同,是在同一條直線AC上,故〈,〉=0°;可平移到直線AC上,與重合,故〈,〉=0°;由題意知OO1是正四棱臺(tái)ABCD—A1B1C1D1的高,故OO1⊥平面A1B1C1D1,所以O(shè)O1⊥A1B1,故〈,〉=90°.
三、解答題
7.如圖所示,正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)為1.
(1)試判斷向量,,,中哪
10、個(gè)是單位向量;
(2)舉出與向量相等的向量.
[解析] (1)單位向量即模為1的向量,則、、、都是單位向量.
(2)由于向量與向量方向相同,且模都為1,故是與向量相等的向量.
8.如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是D1B1的中點(diǎn).
(1)問:向量、、是否為共面向量?
(2)求〈,〉;
(3)寫出平面BB1C1C的一個(gè)法向量.
[解析] (1)向量在平面D1B1BD上,由于向量、平行于平面D1B1BD,所以向量、、都能夠平移到平面D1B1BD上,即向量、、是共面向量.
(2)在正方體ABCD—A1B1C1D1中,為平面A1B1BA的法向量,又在平面A1B1BA上,所以⊥,即〈,〉=90°.
(3)平面BB1C1C的一個(gè)法向量為(或、、).