2020高中數(shù)學(xué) 第3章 2第1課時 實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第3章 2第1課時 實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1.某人拉動一個物體前進,他所做的功W是時間t的函數(shù)W=W(t),則W′(t0)表示(  ) A.t=t0時做的功 B.t=t0時的速度 C.t=t0時的位移 D.t=t0時的功率 [答案] D [解析] W′(t)表示t時刻的功率. 2.一個物體的運動方程為s=1-t+t2,(s的單位是s,t的單位是s),那么物體在3 s末的瞬時速度是(  ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 [答案]

2、 C [解析] s′(t)=2t-1, ∴s′(3)=23-1=5. 3.如果質(zhì)點A按規(guī)律s=3t2運動,則在t=3時的瞬時速度為(  ) A.6   B.18   C.54  D.81 [答案] B [解析] 瞬時速度v= = =3(6+Δt)=18. 4.如圖,設(shè)有定圓C和定點O,當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90)時,它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù),它的圖像大致是(  ) [答案] D [解析] 由于是勻速旋轉(zhuǎn),所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加,而中間時段相對增速較快. 選項A表示面積的增速是常數(shù),與實際不符

3、; 選項B表示最后時段面積的增速較快,也與實際不符; 選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快,與實際不符; 選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢,中間時段增速較快.符合實際. [點評] 函數(shù)變化的快慢可通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)出來,導(dǎo)數(shù)的絕對值越大,函數(shù)變化越快,函數(shù)圖像就比較“陡峭”,反之,函數(shù)圖像就“平緩”一些. 5.設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運動,假設(shè)速度v(單位:m/s)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為v=v(t)=t3+3t,則t=t0s時轎車的加速度為(  )m/s2 A.t+3t0 B.3t+3 C.3t+3t0 D.t+3 [答案] B [解析]

4、 ∵v′(t)=3t2+3, 則當(dāng)t=t0s時的速度變化率為v′(t0)=3t+3(m/s2). 即t=t0s時轎車的加速度為(3t+3)m/s2. [點評] 運動方程s=s(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時刻時的瞬時速度,速度方程v=v(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時刻時的加速度. 二、填空題 6.人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c=f(t)(單位:mg/mL)隨時間t(單位:min)變化,若f′(2)=0.3,則f′(2)表示________. [答案] 服藥后2分鐘時血液中藥物的質(zhì)量濃度以每分鐘0.3mg/mL的速度增加. 7.假設(shè)某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(

5、單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0為t=0時的物價.假定某種商品的p0=1,那么在第10個年頭,這種商品價格上漲的速度大約是________元/年(精確到0.01). [答案] 0.08 [解析] 因為p0=1,所以p(t)=(1+5%)t=1.05t,在第10個年頭,這種商品價格上漲的速度,即為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在t=10時的函數(shù)值. 因為p′(t)=(1.05t)′=1.05tln1.05, 所以p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年). 因此,在第10個年頭,這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲. 8.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體

6、積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為________. [答案]  [解析] 設(shè)底面邊長為x,側(cè)棱長為l,則V=x2sin60l, ∴l(xiāng)=.∴S表=2S底+3S側(cè)=x2sin60+3xl=x2+. 令S表′=x-=0 ∴x3=4V,即x=,又當(dāng)x∈(0,)時,S表′<0;當(dāng)x∈(,V)時,S表′>0 ∴當(dāng)x=時,表面積最小. 三、解答題 9.甲、乙二人跑步的路程與時間的關(guān)系及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖①②,試問: (1)甲、乙二人哪一個跑得快? (2)甲、乙二人百米賽跑,問快到終點時誰跑得較快? [分析] 用路程與時間的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義來比較甲、乙二人誰

7、跑得快. [解析] 從圖①可以看出在相同的時刻t,乙跑的路程要比甲跑的路程遠,所以乙跑得快. 從圖②可以看出甲是勻速跑的,而乙快到終點時,變化率越來越大,即速度越來越快,所以快到終點時乙跑得較快. 10.某機械廠生產(chǎn)某種機器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件,假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系式為C(x)=x2+60x+2 050.求: (1)日產(chǎn)量75件時的總成本和平均成本; (2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件,總成本的平均改變量; (3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時的邊際成本. [解析] (1)當(dāng)x=75時,C(75)=752+6075+2 050=7 956.25(元

8、),∴≈106.08(元/件). 故日產(chǎn)量75件時的總成本和平均成本分別為7 956.25元,106.08元/件. (2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時,總成本的平均改變量==101.25(元/件). (3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時的邊際成本 ∴C′(x)=x+60, ∴C′(75)=97.5(元). 一、選擇題 1.質(zhì)點運動的速度v(單位:m/s)是時間t(單位:s)的函數(shù),且v=v(t),則v′(1)表示(  ) A.t=1s時的速度 B.t=1s時的加速度 C.t=1s時的位移 D.t=1s時的平均速度 [答案] B [解析] v(t)的導(dǎo)數(shù)v′(t)表示t時刻的

9、加速度. 2.某汽車啟動階段的路程函數(shù)為s(t)=2t3-5t2(t表示時間),則t=2時,汽車的加速度是(  ) A.14  B.4  C.10  D.6 [答案] A [解析] 速度v(t)=s′(t)=6t2-10t. 所以加速度a(t)=v′(t)=12t-10,當(dāng)t=2時,a(t)=14,即t=2時汽車的加速度為14. 3.下列四個命題: ①曲線y=x3在原點處沒有切線; ②若函數(shù)f(x)=,則f′(0)=0; ③加速度是動點位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù); ④函數(shù)y=x5的導(dǎo)函數(shù)的值恒非負. 其中真命題的個數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D

10、.4 [答案] A [解析]?、僦衴′=3x2,x=0時,y′=0,∴y=x3在原點處的切線為y=0; ②中f(x)在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在; ③中s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)為瞬時速度; ④中y′=5x4≥0. 所以命題①②③為假命題,④為真命題. 4.設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)R(t).若球的體積以均勻速度C增長,則球的表面積的增長速度與球半徑(  ) A.成正比,比例系數(shù)為C  B.成正比,比例系數(shù)為2C C.成反比,比例系數(shù)為C D.成反比,比例系數(shù)為2C [答案] D [解析] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用. 根據(jù)題意,V=πR3(t),S=4πR2(t), 球的體積

11、增長速度為V′=4πR2(t)R′(t) 球的表面積增長速度S′=24πR(t)R′(t), 又∵球的體積以均勻速度C增長, ∴球的表面積的增長速度與球半徑成反比,比例系數(shù)為2C. 二、填空題 5.一質(zhì)點沿直線運動,如果由始點起經(jīng)過t s后的位移為s=3t2+t,則速度v=10時的時刻t=________. [答案]  [解析] s′=6t+1,則v(t)=6t+1,設(shè)6t+1=10, 則t=. 三、解答題 6.一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里,它的溫度會逐漸下降.溫度T(單位:℃)與時間t(單位:min)間的關(guān)系,由函數(shù)T=f(t)給出.請問: (1)f′(t)

12、的符號是什么?為什么? (2)f′(3)=-4的實際意義是什么?如果f(3)=65℃,你能畫出函數(shù)在點t=3min時圖像的大致形狀嗎? [解析] (1)f′(t)是負數(shù).因為f′(t)表示溫度隨時間的變化率,而溫度是逐漸下降的,所以f′(t)為負數(shù). (2)f′(3)=-4表明在3min附近時,溫度約以4℃/min的速度下降,如圖所示. 7.當(dāng)銷售量為x,總利潤為L=L(x)時,稱L′(x)為銷售量為x時的邊際利潤,它近似等于銷售量為x時,再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤. 某糕點加工廠生產(chǎn)A類糕點的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是C(x)=100+2x+0.02x2,R(x)=7

13、x+0.01x2. 求邊際利潤函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是200 kg,250 kg和300 kg時的邊際利潤. [解析] (1)總利潤函數(shù)為L(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2,邊際利潤函數(shù)為L′(x)=5-0.02 x. (2)當(dāng)日產(chǎn)量分別是200 kg、250 kg和300 kg時的邊際利潤分別是L′(200)=1(元), L′(250)=0(元),L′(300)=-1(元). 8.現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運往B地,已知輪船的最大航行速度為35nmile/h,A地至B地之間的航行距離約為500nmile,每小時的運輸成本由燃料費用和其余費用組成,輪船每小時的燃料費用

14、與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費用為每小時960元. (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(nmile/h)的函數(shù):y=f(x); (2)求x從10變到20的平均運輸成本; (3)求f′(10)并解釋它的實際意義. [解析] (1)依題意得y=(960+0.6x2)=+300x,函數(shù)的定義域為0

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