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北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第2章 1變化的快慢與變化率課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時(shí),函數(shù)值的改變量Δy等于( )
A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx
C.f(x0)Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
[答案] D
[解析] 寫(xiě)出自變量x0和x0+Δx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)和f(x0+Δx),兩式相減,就得到了函數(shù)值的改變量.
2.若函數(shù)f(x)=2x2-1的圖像上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+Δy),則等于( )
A.4
2、 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
[答案] C
[解析] Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx.
3.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=t2+3,則在時(shí)間(3,3+Δt)中,相應(yīng)的平均速度為( )
A.6+Δt B.6+Δt+
C.3+Δt D.9+Δt
[答案] A
[解析] ∵Δs=(3+Δt)2+3-32-3=6Δt+(Δt)2
∴=6+Δt.
4.已知函數(shù)y=x2+1的圖像上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則等于( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D
3、.2+(Δx)2 [答案] C
[解析]?。剑剑溅+2.
5.函數(shù)y=f(x)=x2在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為k1,在區(qū)間[x0-Δx,x0]上的平均變化率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系為( )
A.k1>k2 B.k1<k2
C.k1=k2 D.不確定
[答案] A
[解析] k1===2x0+Δx,
k2===2x0-Δx.
由題意知:Δx>0,∴k1>k2,選A.
二、填空題
6.物體做勻速運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程是s=vt,則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的關(guān)系是________.
[答案] 相等
[解析] 物體做勻速運(yùn)
4、動(dòng),所以任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度都是一樣的.
7.若物體運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=-2t2+t,則其初速度為_(kāi)___.
[答案] 1
[解析] 物體的初速度即t=0時(shí)的瞬時(shí)速度,==-2Δt+1,當(dāng)Δt趨于0時(shí),趨于1,即初速度為1.
8.在自行車(chē)比賽中,運(yùn)動(dòng)員的位移s與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s=10t+5t2(s單位:m,t單位:s),則t=20 s時(shí)的瞬時(shí)速率為_(kāi)_______.
[答案] 210 m/s
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的定義知在t=20 s時(shí)的瞬時(shí)速度為v===10+10t+5Δt.
當(dāng)Δt趨于0時(shí),v趨于10+10 t,則v=1020+10=210.
三、解答題
9.比較y=x
5、3與y=x2在x=2附近平均變化率的大小.
[解析] 當(dāng)自變量x從x=2變化到x=2+Δx時(shí),y=x3平均變化率k1==(Δx)2+6Δx+12,
y=x2的平均變化率k2==Δx+4,
∵k1-k2=(Δx)2+5Δx+8=(Δx+)2+>0,
∴k1>k2.
∴在x=2附近y=x3的平均變化率較大.
10.已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=3t2+2做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位:cm,時(shí)間單位:s).
(1)當(dāng)t=2,Δt=0.01時(shí),求;
(2)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.
[解析]?。?
=
=6t+3Δt.
(1)當(dāng)t=2,Δt=0.01時(shí),
=62+30.01=12.03cm/
6、s.
(2)當(dāng)Δt趨于0時(shí),6t+3Δt趨于6t,
∴質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為12cm/s.
[點(diǎn)評(píng)] 本題重點(diǎn)是求質(zhì)點(diǎn)M的瞬時(shí)速度,瞬時(shí)速度是根據(jù)一段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度的趨近值來(lái)定義的,因此只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程,代入公式就可以求出瞬時(shí)速度.
一、選擇題
1.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=2t2,則此質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間[1,1+Δt]內(nèi)的平均速率為( )
A.4+Δt B.2+(Δt)2
C.4Δt+1 D.4+2Δt
[答案] D
[解析]?。剑?+2Δt.
2.將半徑為R的球加熱,若球的半徑增加ΔR,則球的體積大約增加( )
A.πR3ΔR B.4
7、πR2ΔR
C.4πR2 D.4πRΔR
[答案] B
[解析] π(R+ΔR)3-πR3
=π[R3+3R2ΔR+3R(ΔR)2+(ΔR)3-R3]
≈4πR2ΔR.故選B.
3.以初速度為v0(v0>0)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,t秒時(shí)的高度為s(t)=v0t-gt2,則物體在t0秒到t0+Δt秒間的平均速度為( )
A.v0-gt0-gΔt B.v0-gt0
C.v0-gΔt D.gt0-gΔt
[答案] A
[解析] ∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0+gt=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,∴=v0-gt0-gΔt.∴物體在t0秒到t0
8、+Δt秒間的平均速度為v0-gt0-gΔt.
4.物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示,下列說(shuō)法正確的是( )
A.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
[答案] C
[解析] 在0到t0范圍內(nèi),甲、乙所走的路程相同,時(shí)間一樣,所以平均速度相同,在t0到t1范圍內(nèi),時(shí)間相同,而甲走的路程較大,所以甲的平均速度較大.
二、填空題
5.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=t2+3(單位:s(m),t(s)),則在t
9、=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度估計(jì)是________m/s.
[答案] 2
[解析] Δs=s(1+Δt)-s(1)=(1+Δt)2+3-(12+3)=2Δt+(Δt)2,
∴==2+Δt,當(dāng)Δt趨于0秒時(shí),趨于2米/秒.
6.一木塊沿某一斜面自由下滑,測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為:s=t2,則t=2時(shí),此木塊的瞬時(shí)速度為_(kāi)___________.
[答案]
[解析]?。剑絫+Δt.
當(dāng)t=2,且Δt趨于0時(shí),趨于.
三、解答題
7.設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),已知路程s是時(shí)間t的函數(shù),s=3t2+2t+1.
(1)求從t=2到t=2+Δt的平均速度,并求當(dāng)Δt=1,Δt=
10、0.1與Δt=0.01時(shí)的平均速度;
(2)求當(dāng)t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.
[分析] 用函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率來(lái)求.
[解析] (1)因?yàn)棣=3(2+Δt)2+2(2+Δt)+1-(322+22+1)=14Δt+3(Δt)2,
所以從t=2到t=2+Δt的平均速度為==14+3Δt.
當(dāng)Δt=1時(shí),=17;
當(dāng)Δt=0.1時(shí),=14.3;
當(dāng)Δt=0.01時(shí),=14.03.
(2)當(dāng)t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為v= = (14+3Δt)=14.
8.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=at2+1作直線運(yùn)動(dòng)(位移s的單位:m,時(shí)間t的單位:s).問(wèn)是否存在常數(shù)a,使質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s?
[解析] 假設(shè)存在常數(shù)a,則Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a22-1=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1=4aΔt+a(Δt)2,
所以==4a+aΔt.
當(dāng)Δt趨于0時(shí),4a+aΔt趨于4a,4a=8,解得a=2.
所以存在常數(shù)a=2,使質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s.
[點(diǎn)評(píng)] 對(duì)于是否存在的探究性問(wèn)題,可先假設(shè)其存在,然后按瞬時(shí)速度的定義求解即可.