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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料
第一章 1.3全稱量詞與存在量詞
一、選擇題
1.下列命題中全稱命題的個數(shù)為( )
①平行四邊形的對角線互相平分;②梯形有兩邊平行;③存在一個菱形,它的四條邊不相等.
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析]?、佗谑侨Q命題,③是特稱命題.
2.下列命題:
(1)至少有一個x,使x2+2x+1=0成立.
(2)對任意的x,都有x2+2x+1=0成立.
(3)對任意的x,都有x2+2x+1=0不成立.
(4)存在x,使x2+2x+1=0成立.
其中是全稱命題的有( )
A.1個 B.2個
C.4個
2、 D.0個
[答案] B
[解析] (1)中的量詞“至少有一個”和(4)中的量詞“存在”都不是全稱量詞,故這兩個命題不是全稱命題.(2)、(3)中的量詞“任意的”是全稱量詞,所以這兩個命題是全稱命題.故選B.
3.下列命題中的假命題是( )
A.存在x∈R,lgx=0 B.存在x∈R,tanx=1
C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0
[答案] C
[解析] 本題主要考查全稱命題和特稱命題真假的判斷.對于選項C,當x<0時,x3<0,故C是假命題.
4.命題“存在實數(shù)x,使x>1”的否定是( )
A.對任意實數(shù)x,都有x>1
B.不
3、存在實數(shù)x,使x≤1
C.對任意實數(shù)x,都有x≤1
D.存在實數(shù)x,使x≤1
[答案] C
[解析] 本題考查了全稱、存在命題及命題的否定.
“存在實數(shù)x,使x>1”的否定是“對任意實數(shù)x,都有x≤1”.
這類題目應遵循“存在變任意(任意變存在),再否定結論”的原則.
5.下列四個命題中,其中為真命題的是( )
A.任意x∈R,x2+3<0 B.任意x∈N,x2≥1
C.存在x∈Z,使x5<1 D.存在x∈Q,x2=3
[答案] C
[解析] 由于任意x∈R,都有x2≥0,因而有x2+3≥3,所以命題“任意x∈R,x2+3<0”為假命題;
由于
4、0∈N,當x=0時,x2≥1不成立,
所以命題“任意x∈N,x2≥1”是假命題;
由于-1∈Z,當x=-1時,x5<1,
所以命題“存在x∈Z,使x5<1”為真命題;
由于使x2=3成立的數(shù)只有±,而它們都不是有理數(shù),因此沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以命題“存在x∈Q,x2=3”是假命題.故選C.
6.命題“存在x0∈?RQ,x∈Q”的否定是( )
A.存在x0??RQ,x∈Q B.存在x0∈?RQ,x?Q
C.任意x??RQ,x3∈Q D.任意x∈?RQ,x3?Q
[答案] D
[解析] 本題考查量詞命題的否定改寫.
任意x0∈?RQ,x?
5、Q,注意量詞一定要改寫.
二、填空題
7.給出下列命題:
①任意x∈R,是無理數(shù);
②任意x、y∈R,若xy≠0,則x、y至少有一個不為0;
③存在實數(shù)既能被3整除又能被19整除;
④x>1是<1的充要條件.
其中真命題為________________.
[答案]?、冖?
[解析]?、偈羌倜},例如是有理數(shù);②是真命題,若xy≠0,則x,y全都不為0;③是真命題;④x>1是<1的充分不必要條件.
8.填上適當?shù)牧吭~,使下列命題為真命題.
(1)_________x∈R,使x2+2x+1≥0.
(2)_________α,β∈R,使cos(α-β)
6、=cosα-cosβ.
(3)__________a,b∈R,使方程組有唯一解.
(4)__________m∈R,___________n∈R,使mn=n.
[答案] (1)任意 (2)存在 (3)存在 (4)任意,存在或填存在,任意或存在,存在均可.
三、解答題
9.寫出下列命題的否定并判斷真假:
(1)不論m取何實數(shù),方程x2+x-m=0必有實數(shù)根;
(2)每一個非負數(shù)的平方都是正數(shù);
(3)有的四邊形沒有外接圓;
(4)某些梯形的對角線互相平分.
(5)有些質數(shù)是奇數(shù);
(6)對任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
[解析] (1)這一命題可以表述為p:“
7、對所有的實數(shù)m,方程x2+x-m=0有實數(shù)根”,其否定是非p:“存在實數(shù)m,使得x2+x-m=0沒有實數(shù)根”,注意到當Δ=1+4m<0,即m<-時,一元二次方程沒有實根,因此非p是真命題.
(2)命題的否定:存在一個非負數(shù)的平方不是正數(shù),是真命題.
(3)命題的否定:所有的四邊形都有外接圓,是假命題.
(4)命題的否定:任一個梯形的對角線都不互相平分,是真命題.
(5)命題的否定為:所有的質數(shù)不是奇數(shù).很明顯,質數(shù)3就是奇數(shù),所以命題的否定是假命題.
(6)命題的否定為:存在α∈R,使sin2α+cos2α≠1.因為原命題是真命題,所以命題的否定為假命題.
10.若命題
8、“對任意x∈R,關于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0都成立”為真命題,求a的取值范圍.
[解析] 當a=-1時,不等式不成立;
當a=1時,原不等式恒成立.
當a2-1≠0時,
所以-<a<1.所以a的取值范圍是(-,1].
一、選擇題
1.下列命題是真命題的是( )
A.所有的實數(shù)x都能使x2-3x+6>0成立
B.存在一個實數(shù)x使不等式x2-3x+6<0成立
C.存在一條直線與兩個相交平面都垂直
D.存在實數(shù)x使x2<0成立
[答案] A
[解析] 因為x2-3x+6=(x-)2+≥,所以對于任意的x∈R,x
9、2-3x+6>0恒成立,因此A中的命題為真命題.
2.命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是( )
A.所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)
B.不存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)
C.存在一個奇數(shù),它的立方是偶數(shù)
D.不存在一個奇數(shù),它的立方是奇數(shù)
[答案] C
[解析] 全稱命題的否定是特稱命題.
3.下列命題中的假命題是( )
A.存在實數(shù)α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在無窮多個α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.對任意α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在這樣的α
10、和β,使cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
[答案] B
[解析] cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ,顯然選項C,D為真;sinα·sinβ=0時,選項A為真;選項B為假.故選B.
4.已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關于x的方程2ax+b=0,則下列選項的命題中為假命題的是( )
A.存在x∈R,f(x)≤f(x0)
B.存在x∈R,f(x)≥f(x0)
C.任意x∈R,f(x)≤f(x0)
D.任意x∈R,f(x)≥f(x0)
[答案] C
[解析] 由x0=-(a>0)
11、及拋物線的相關性質可得C選項是錯誤的.
二、填空題
5.下列特稱命題是真命題的序號是________________.
①有些不相似的三角形面積相等;
②存在一實數(shù)x0,使x+x0+1<0;
③存在實數(shù)a,使函數(shù)y=ax+b的值隨x的增大而增大;
④有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身.
[答案]?、佗邰?
[解析] ①為真命題,只要找出等底等高的兩個三角形,面積就相等,但不一定相似;②中對任意x∈R,x2+x+1=(x+)2+>0,所以不存在實數(shù)x0,使x+x0+1<0,故②為假命題;③中當實數(shù)a大于0時,結論成立,為真命題;④中如1的倒數(shù)是它本身,為真命題,故選①③④.
12、
6.下列語句:①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù);②|x-1|<2;③存在實數(shù)a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形對角線相等且不互相平分.
其中是全稱命題且為真命題的序號是________________.
[答案]?、?
[解析]?、偈侨Q命題,但為假命題;
②不是命題;
③是特稱命題
三、解答題
7.為使下列p(x)為真命題,求x的取值范圍:
(1)p(x):x+1>x;
(2)p(x):x2-5x+6>0;
(3)p(x):sinx>cosx.
[解析] (1)∵對任意實數(shù)x,都有(x+1)-x=1>0,∴x+1>x,∴x∈R.
13、(2)由x2-5x+6=(x-2)(x-3)>0得x<2或x>3,∴使p(x)成立的x的取值范圍是x<2或x>3.
(3)sinx-cosx=sin>0,
∴2kπ<x-<2kπ+π (k∈Z),
∴2kπ+<x<2kπ+,∴使p(x):sinx>cosx成立的x的取值范圍是,k∈Z.
8.(1)已知關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)令p(x):ax2+2x+1>0,若對所有的x∈R,p(x)是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
[解析] (1)關于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥,∴實數(shù)a的取值范圍為.
(2)∵對所有的x∈R,p(x)是真命題.∴對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,當a=0時,不等式為2x+1>0不恒成立,當a≠0時,若不等式恒成立,則∴a>1.