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1、
北師大版2019-2020學年數學精品資料
第二章綜合素質檢測
時間120分鐘,滿分150分。
一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知拋物線C:y2=x與直線l:y=kx+1,“k≠0”是“直線l與拋物線C有兩個不同的交點”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 由(kx+1)2=x,得k2x2+(2k-1)x+1=0,則當k≠0時,Δ=(2k-1)2-4k2=-4k+1>0,得k<且k≠0.故“k≠0”推不出“直線l
2、與拋物線C有兩個不同的交點”,但“直線l與拋物線C有兩個不同的交點”能推出“k≠0”.故選B.
2.若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有且只有一個公共點,則實數k的取值范圍為( )
A.{-1,-,1,} B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.{-,} D.(-∞,-1)∪[,+∞)
[答案] A
[解析] 由得(1-k2)x2+2kx-5=0,所以1-k2=0或,解得k=1或k=.
3.(2014洛陽市期末)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(,0),直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2,則橢圓方程為( )
A.+y2=1 B.x2+=1
C.+=1 D.+=1
[
3、答案] C
[解析] 由橢圓過點(2,2),排除A、B、D,選C.
4.(2015新課標Ⅰ文,5)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
[答案] B
[解析] 因為y2=8x,拋物線方程為y2=2px,焦點坐標為(,0),所以焦點為(2,0).因為E右焦點與拋物線焦點重合,所以c=2,設橢圓方程為+=1,離心率e==,所以a=4,
b2=a2-c2=16-4,則橢圓方程為+=1,拋物線準線為x=-=-2,當x=-2時,y=3,則|AB|=23=6.故
4、本題正確答案為B.
5.(2015湖南文,6)若雙曲線-=1的一條漸近線經過點(3,-4),則此雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由題利用雙曲線的漸近線方程經過的點(3,-4),得到a、b關系式,然后求出雙曲線的離心率即可.因為雙曲線-=1的一條漸近線經過點(3,-4),
∴3b=4a,∴9(c2-a2)=16a2,∴e==,故選D.
6.(2014寧夏銀川一中二模)從拋物線y2=4x上一點P引拋物線準線的垂線,垂足為M,且|PM|=5,設拋物線的焦點為F,則△MPF的面積( )
A.5 B.10
C.20 D.
[答案] B
[
5、解析] 設P(x0,y0),則由拋物線定義知x0+1=5,
∴x0=4
故y0=4,所以S△MPF=54=10.
7.已知a>b>0,e1,e2分別為圓錐曲線+=1和-=1的離心率,則lge1+lge2( )
A.大于0且小于1 B.大于1
C.小于0 D.等于1
[答案] C
[解析] ∵lge1+lge2=lg+lg
=lg
6、
[答案] C
[解析] 如果設拋物線的方程為y2=2px(p>0),則拋物線過點(40,30),302=2p40,2p=,所以拋物線的方程應為y2=x,所給選項中沒有y2=x,但方程x2=-y中的“2p”值為,所以選項C符合題意.
9.(2014山東省煙臺市期末)若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+2相切,則此雙曲線的離心率等于( )
A.2 B.3
C. D.9
[答案] B
[解析] 由題意雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,代入拋物線方程y=x2+2整理得x2-x+2=0,
因漸近線與拋物線相切,∴Δ=(-)2-8=0,
即
7、()2=8,
∴此雙曲線的離心率e====3.故選B.
10.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1、F2,過F1且傾斜角為45的直線l交橢圓于A、B兩點,對以下結論:
①△ABF2的周長為8;②原點到l的距離為1;③|AB|=.其中正確結論的個數為( )
A.3 B.2
C.1 D.0
[答案] A
[解析]?、儆蓹E圓的定義,得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,
又|AF1|+|BF1|=|AB|,所以△ABF2的周長=|AB|+|AF2|+|BF2|=8,①正確;
②由條件,得F1(-,0),因為過F1且傾斜角為45的直線l的斜率為1,故
8、直線l的方程為y=x+,原點到l的距離d==1,故②正確;
③由,消去y,得3x2+4x=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1+x2=-,x1x2=0,
所以|AB|==,故③正確.
二、填空題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,將正確答案填在題中橫線上)
11.若拋物線y2=mx與橢圓+=1有一個共同的焦點,則m=________.
[答案] 8
[解析] 橢圓焦點為(-2,0)和(2,0),因為拋物線與橢圓有一個共同焦點,故m=8.
12.已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線與該雙曲線的右支交于A,B兩點,若|AB|=5,則△AB
9、F1的周長為________.
[答案] 26
[解析] 由雙曲線的定義,知|AF1|-|AF2|=2a=8,|BF1|-|BF2|=8,
∴|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=16.
又∵|AF2|+|BF2|=|AB|=5,
∴|AF1|+|BF1|=16+5=21.
∴△ABF1的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26.
13.(2014哈三中二模)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y2=8x的準線的一個交點的縱坐標為-1,則雙曲線的離心率為________.
[答案]
[解析] 拋物線y2=8x的準線方程x=-2,∴交點坐
10、標為(-2,-1),∴雙曲線的漸近線方程y=x,即=,∴e==.
14.曲線x2+(y-1)2=4與直線y=k(x-2)+4有兩個不同的交點,則k的取值范圍是________.
[答案] (,+∞)
[解析] 由
得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,
Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=48k-20.
∴Δ>0,即k>時,直線與曲線有兩個不同的交點.
15.一個正三角形三個頂點都在拋物線y2=4x上,其中一個頂點為坐標原點,則這個三角形的面積為________.
[答案] 48
[解析] 設△ABC的頂點C在原點,則直線
11、AB⊥x軸,
由
得A(12,4),B(12,-4),
∴S△ABC=812=48.
三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)
16.求下列雙曲線的標準方程.
(1)與雙曲線-=1有公共焦點,且過點(6,)的雙曲線;
(2)以橢圓3x2+13y2=39的焦點為焦點,以直線y=為漸近線的雙曲線.
[答案] (1)-=1 (2)-=1
[解析] (1)∵雙曲線-=1的焦點為(2,0),
∴設所求雙曲線方程為:-=1(20-a2>0)
又點(6,)在雙曲線上,
∴-=1,解得a2=18或80(舍去),
∴所求雙曲線方程為-=1.
12、
(2)橢圓3x2+13y2=39可化為+=1,
其焦點坐標為(,0),
∴所求雙曲線的焦點為(,0),
設雙曲線方程為:-=1(a>0,b>0)
∵雙曲線的漸近線為y=x,
∴=,∴===,
∴a2=8,b2=2,
即所求的雙曲線方程為:-=1.
17.如圖是拋物線形拱橋,設水面寬|AB|=18m,拱頂離水面的距離為8m,一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若矩形的長|CD|=9m,那么矩形的高|DE|不能超過多少m才能使船通過拱橋?
[答案] 6m
[解析] 如圖,以O點為原點,過O且平行于AB的直線為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.則B
13、(9,-8),設拋物線方程為x2=-2py(p>0).
∵點B在拋物線上,∴81=-2p(-8),
∴p=,
∴拋物線的方程為x2=-y,
∴當x=時,y=-2,∴|DE|=6,
∴當矩形的高|DE|不超過6m時,才能使船通過拱橋.
18.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.求證:
(1)x1x2為定值;
(2)+為定值.
[證明] (1)拋物線y2=2px的焦點為F(,0),設直線AB的方程為y=k(x-)(k≠0).
由消去y,
得k2x2-p(k2+2)x+=0.
由根與系數的關系,得x1x2=(定值)
14、.
當AB⊥x軸時,x1=x2=,x1x2=,也成立.
(2)由拋物線的定義,知|FA|=x1+,
|FB|=x2+.
+=+
=
==(定值).
當AB⊥x軸時,|FA|=|FB|=p,上式仍成立.
19.(2014云南景洪市一中期末)設F1、F2分別是橢圓E:x2+=1(0
15、,得|AB|=.
(2)l的方程為y=x+c,其中c=
設A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點坐標滿足方程組
消去y化簡得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
則x1+x2=,x1x2=.
因為直線AB的斜率為1,所以|AB|=|x2-x1|
即=|x2-x1|.
則=(x1+x2)2-4x1x2
=-=,
解得b=.
20.已知雙曲線-=1的離心率e=,過A(a,0),B(0,-b)的直線到原點的距離是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=kx+5(k≠0)交雙曲線于不同的點C,D,且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.
[答案] (1)
16、-y2=1 (2)
[解析] (1)雙曲線的離心率e==. ①
過A,B的直線為-=1,
即bx-ay-ab=0.
∵原點到直線AB的距離為,
∴==, ②
由①②,得b=1.
∴==1+=.
∴a2=3,∴雙曲線的方程為-y2=1.
(2)由,得(1-3k2)x2-30kx-78=0.
∴x1+x2=.
設C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點M(x0,y0),
則x0==,y0=kx0+5=.
∴MB的斜率kMB==-.
∴x0+ky0+k=0,
即++k=0.
解得k2=7,∴k=.
21.在平面直角坐標系xOy中,經過點(0,)且斜率為k的
17、直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.
(1)求k的取值范圍;
(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數k,使得向量+與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.
[答案] (1)∪ (2)k值不存在
[解析] (1)由已知條件,直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程整理得x2+2kx+1=0. ①
∵直線l與橢圓有兩個不同的交點,
∴Δ=8k2-4=4k2-2>0,
解得k<-或k>.
即k的取值范圍為∪.
(2)設P(x1,y1)、Q(x2,y2),
則+=(x1+x2,y1+y2),
由方程①,x1+x2=-. ②
又y1+y2=k(x1+x2)+2=. ③
又A(,0),B(0,1),∴=(-,1).
∵+與共線,
∴x1+x2=-(y1+y2), ④
將②③代入④式,解得k=.
由(1)知k<-或k>,故沒有符合題意的常數k.