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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(含解析) (I)
一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
雙曲線中,且焦點(diǎn)在y軸上,
所以,解得.
所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選C.
2.已知命題,,則命題的否定為( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)全程命題的否定是特稱命題,這一規(guī)則書(shū)寫(xiě)即可.
【詳解】全稱命題“?n∈N?,n2>12n?1”的否定為特稱命題,故命題的否定為“?n∈N?,n2≤12n?1”.
故答案為:A.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了全稱命題的否定的寫(xiě)法,換量詞否結(jié)論,不變條件.
3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A. y2=8x B. x2=y
C. y2=8x或x2=y D. 無(wú)法確定
【答案】C
【解析】
【分析】
分情況設(shè)出拋物線的方程,代入已知點(diǎn)即可得到具體方程。
【詳解】由題設(shè)知拋物線開(kāi)口向右或開(kāi)口向上,設(shè)其方程為y2=2pxp>0或x2=2pyp>0,將點(diǎn)2,4代入可得p=4或p=12,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x或x2=y.
故選C.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線方程的求法,可成為待定系數(shù)法,較為基礎(chǔ).
4.已知空間向量m=1,3,x,n=x2,?1,2,則“x=1”是“m⊥n”的( )
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)向量垂直的點(diǎn)積運(yùn)算得到x的值,進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】∵m⊥n,∴x2+2x?3=0,∴x=1或-3.故x=1是m⊥n的充分不必要條件.
故答案為:B.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,也考查了充分必要條件的判斷,題目基礎(chǔ). 判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.
5.已知ΔMAB的周長(zhǎng)為10,且A?2,0,B2,0,則頂點(diǎn)M的軌跡方程為( )
A. x29+y25=1 B. y29+x25=1
C. y29+x2=1 D. x29+y25=1y≠0
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓定義可得到軌跡是橢圓,又因?yàn)槿c(diǎn)不共線故去掉兩個(gè)點(diǎn).
【詳解】由題6>4,故點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,2a=6,c=2,故b2=a2?c2=5,故橢圓x29+y25=1的方程為,又M,A,B不共線,所以M的軌跡方程為x29+y25=1y≠0
.故選D.
【點(diǎn)睛】求軌跡方程,一般是問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可,而對(duì)于直線與曲線的綜合問(wèn)題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式,例如NA?NB=0,可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來(lái)理解,然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).
6.若命題p:“?x0∈R,x02?ax0+1≤0”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. ?2,2 B. ?∞,?2∪2,+∞
C. ?2,2 D. ?∞,?2∪2,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題干得到需滿足Δ=a2?4≥0,解出不等式即可.
【詳解】命題p:“?x0∈R,x02?ax0+1≤0”是真命題,則需滿足Δ=a2?4≥0,解得a≥2或a≤?2.
故選B.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知命題的真假,求參的問(wèn)題.涉及二次函數(shù)在R上有解的問(wèn)題,開(kāi)口向上,只需要判別式大于等于0即可.
7.已知雙曲線C:x2a2?y220=1a>0的一條漸近線方程為5x+2y=0,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線C的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且PF1=9,則PF2=( )
A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)漸近線的斜率為ba得到a值,再由雙曲線定義得到結(jié)果.
【詳解】依題意,有25a=52,所以a=4.因?yàn)镻F1=9,所以點(diǎn)P在雙曲線的左支上,故有PF2?PF1=2a,解得PF2=17.
故選B.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用和概念的應(yīng)用,較為簡(jiǎn)單.
8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中,直線B1C1與平面AB1D1所成角的正弦值為( )
A. 13 B. 223 C. 33 D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】
通過(guò)題干條件得到面的法向量,BC//B1C1,求法向量和BC的夾角即可.
【詳解】由題知,A1C為平面AB1D1的一個(gè)法向量,又因?yàn)锽C//B1C1,所以cos∠BCA1=1+3?223=33.
故答案為:C.
【點(diǎn)睛】求線面角,一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離,除以線段長(zhǎng)度就是線面角的正弦值;還可以建系,用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量,再求線面角即可。
9.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為
A. x236?y2108=1 B. x29?y227=1
C. x2108?y236=1 D. x227?y29=1
【答案】B
【解析】
試題分析:由漸近線是y=3x得ba=3,拋物線y2=24x的準(zhǔn)線為x=?6,∴a2+b2=36
∴a2=9,b2=27,方程為x29?y227=1
考點(diǎn):雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)
點(diǎn)評(píng):雙曲線拋物線幾何性質(zhì)的綜合考查
10.已知命題p1:?x∈R,使得x2+x+1<0;p2:?x∈[1,2],使得x2?1≥0.以下命題為真命題的為
A. p1∧p2 B. p1∨p2 C. p1∧p2 D. p1∧p2
【答案】D
【解析】
∵Δ=(?1)2?4=?3<0,∴x2+x+1<0的解集為空集,故命題p1為假命題,p1
為真命題;∵x2?1≥0,∴x≥1或x≤1, ∴?x∈[1,2],使得x2?1≥0恒成立,故p2為真命
題,p2為假命題;因p1為真命題,p2為真命題,故p1∧p2為真命題,答案為C。
11.如圖,在三棱錐C?OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則異面直線DF與OE所成角的余弦值為( )
A. 1010 B. 61025
C. 3030 D. 3020
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空間坐標(biāo)系,求得兩直線的方向向量即可得到夾角.
【詳解】以O(shè)A,OB,OC為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則D3,4,0,F(xiàn)0,4,4,E0,2,6,DF=?3,0,4,OE=0,2,6,∴cos
=DF?OEDF?OE=245?210=61025,∴異面直線DF與OE所成角的余弦值為61025.
故選B.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是異面直線的夾角的求法;常見(jiàn)方法有:將異面直線平移到同一平面內(nèi),轉(zhuǎn)化為平面角的問(wèn)題;或者證明線面垂直進(jìn)而得到面面垂直,這種方法適用于異面直線垂直的時(shí)候.
12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D,若直線OD的斜率是直線AB的斜率的k(k>4)倍,其中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓C的離心率的取值范圍為( )
A. (14,1) B. (0,14) C. (13,1) D. (0,13)
【答案】D
【解析】
由題意得直線AB的方程為y=ba(x+a),當(dāng)x=c時(shí),y=b+bca,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(c,b+bca)。因此直線OD的斜率為ab+bcac,由題意得ab+bcac=k?ba,整理得k=a+cc>4,∴a>3c,故e=ca<13,所以01,則x>1”,在其逆命題,否命題,逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)原命題和逆否命題真假性相同可得到逆否命題的真假;寫(xiě)出命題的否命題和逆命題可得到其真假性.
【詳解】易知命題“若x2>1,則x>1”為假命題,故其逆否命題也為假命題;逆命題為“若x>1,則x2>1”是真命題;否命題為“若x2≤1,則x≤1”,也為真命題.
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了命題的逆否命題和逆命題,和否命題的書(shū)寫(xiě)以及真假的判斷,否命題既否條件又否結(jié)論,命題的否定是只否結(jié)論.
14.已知平面α的一個(gè)法向量為n=?2,?1,3,M3,2,?1,N4,4,1,其中M∈α,N?α,則點(diǎn)N到平面α的距離為_(kāi)_________.
【答案】147
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)面距離公式,再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果即可.
【詳解】MN=1,2,2,平面α的法向量為n=?2,?1,3,
故所求距離d=MNnn=214=147.
故答案為:147.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了點(diǎn)面距離的求法,方法一可以同這個(gè)題目一樣建系解決;方法二可以通過(guò)等體積法得到點(diǎn)面距離;方法三,如果題中條件有面面垂直的條件,可由點(diǎn)做面的垂線,垂足落在交線上.
15.若雙曲線x2a2?y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a,則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b,b=2a,再由a,b,c的關(guān)系得到離心率.
【詳解】雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為b,∴b=2a,∴b2=4a2,∴c2?a2=4a2,∴5a2=c2,∴e=5.
故答案為:5.
【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2?a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).
16.已知曲線l1:x?y+3=0,直線l2:x=?3,則拋物線x=18y2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l1的距離與它到直線l2的距離之和的最小值為_(kāi)_________.
【答案】522+1
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義得到,點(diǎn)P到直線l2的距離等于PF+1,所以點(diǎn)P到直線l1與到直線l2的距離之和等于P到直線l1的距離與PF+1之和。
【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x,焦點(diǎn)F2,0,所以點(diǎn)P到直線l2的距離等于PF+1,所以點(diǎn)P到直線l1與到直線l2的距離之和等于P到直線l1的距離與PF+1之和,其最小值為12?10+312+12+1=522+1.
故答案為:522+1.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題,很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的;平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目,一般都和定義有關(guān),實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化.
三、解答題 (本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,根據(jù)下列條件分別求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)漸近線方程為y=53x,且過(guò)點(diǎn)3,10;
(2)與雙曲線x2?y2=1的離心率相同,與x25+y2=1共焦點(diǎn).
【答案】(1)y275?x227=1;(2)x22?y22=1
【解析】
【分析】
(1)設(shè)出雙曲線的方程,代入已知點(diǎn)即可得到方程;(2)根據(jù)題意得到雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為-2,0,2,0,由a2+b2=4,a2+b2a=2,即可得到參數(shù)值.
【詳解】(1)設(shè)雙曲線的方程為x29-y225=λλ≠0,
將點(diǎn)3,10代入可得99-10025=-3=λ,故雙曲線的方程為x29-y225=-3,
故雙曲線C的方程為y275-x227=1.
(2)由題意可知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為-2,0,2,0,所以可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>0,則a2+b2=4,a2+b2a=2,解得a2=b2=2,
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y22=1.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,一般需要求出a,b,c的關(guān)系式,再由三者的關(guān)系式a2+b2= c2得到參數(shù)值.
18.已知關(guān)于x的不等式x+24-x≥0的解為條件p,關(guān)于x的不等式x2-3x-m2-m+2<0m>0的解為條件q.
(1)若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)0,2;(2)3,+∞
【解析】
【分析】
(1)先解出命題p,q所對(duì)應(yīng)的集合A和B,再由p是q的必要不充分條件,得到集合B是集合A的真子集,列式求解即可;(2)p是q的必要不充分條件,則集合A是集合B的真子集,所以1-m<-2,m+2>4,m>0,求解即可.
【詳解】(1)設(shè)條件p對(duì)應(yīng)的集合為A,則A=x|-2≤x≤4,
設(shè)條件q對(duì)應(yīng)的集合為B,則B=x|1-m0,
解得04,m>0,
解得m>3,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是3,+∞.
【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.P是q的充分非必要條件,則p所對(duì)應(yīng)的解集是q所對(duì)應(yīng)的解集的真子集.
19.如圖,在底面為矩形的四棱錐P?ABCD中,PB⊥AB.
(1)證明:平面PBC⊥平面PCD;
(2)若異面直線PC與BD所成角為60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B?PD?C的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) 60°.
【解析】
試題分析:
(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得CD⊥平面PBC,結(jié)合面面垂直的判斷定理即可證得平面PBC⊥平面PCD.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合半平面的法向量可得二面角B-PD-C的大小是60°.
試題解析:
(1)證明:由已知四邊形ABCD為矩形,得AB⊥BC,
∵PB⊥AB,PB∩BC=B,∴AB⊥平面PBC.
又CD//AB,∴CD⊥平面PBC.
∵CD?平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD.
(2)解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.
設(shè)PB=AB=1,BC=a(a>0),則B(0,0,0),C(0,0,a),P(1,0,0),D(0,1,a),
所以PC=(-1,0,a),BD=(0,1,a),則|PC?BD|PC||BD||=cos60°,即a21+a2=12,
解得a=1(a=-1舍去).
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PBD的法向量,則n?BP=0n?BD=0,即x1=0y1+z1=0,
可取n=(0,1,-1).
設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量,則m?PD=0m?CD=0即-x2+y2+z2=0y2=0,
可取m=(1,0,1),所以cos=n?m|n||m|=-12,
由圖可知二面角B-PD-C為銳角,所以二面角B-PD-C的大小為60°.
20.已知拋物線x2=2pyp>0,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.
(1)求拋物線的方程;
(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱,且兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為2,求m的值.
【答案】(1)x2=8y;(2)194
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題干得到p=4,進(jìn)而得到方程;(2)設(shè)存在兩點(diǎn)分別為Ax1,y1,Bx2,y2,則根據(jù)對(duì)稱性得到直線AB的斜率為-12,代入AB的中點(diǎn)坐標(biāo)得到18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m,再由兩根的和與積得到參數(shù)值.
【詳解】(1)由題意可得拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,∴p=4.
∴拋物線方程是x2=8y.
(2)設(shè)存在兩點(diǎn)分別為Ax1,y1,Bx2,y2,則直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=-12,
又∵A,B兩點(diǎn)在拋物線上,
∴y1-y2=18x12-x22,
∴x1+x2=-4.
又AB的中點(diǎn)x1+x22,y1+y22在直線y=2x+m上,
即y1+y22=2?x1+x22+m,
∴y1+y2=2x1+x2+2m.
∴18x12-x22=2x1+x2+2m,
即18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m.
又∵x1+x2=-4,x1?x2=2,
∴m=194.
【點(diǎn)睛】當(dāng)題目中已知直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以設(shè)出直線和雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),代入圓錐曲線的方程中,運(yùn)用點(diǎn)差法,求出直線的斜率,然后利用中點(diǎn)求出直線方程.(2)“點(diǎn)差法”的常見(jiàn)題型有:求中點(diǎn)弦方程、求(過(guò)定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問(wèn)題.
21.如圖,已知四棱錐P?ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,點(diǎn)E,F,G分別為AB,AD,PC的中點(diǎn).
(1)求證:PC⊥平面EFG;
(2)求二面角E?PC?F的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)12
【解析】
【分析】
(1)建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量,證得兩個(gè)向量垂直,即可得到線面垂直;(2)求兩個(gè)面的法向量,求解兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角,即二面角的大小。
【詳解】(1)證明:以AB,AD,AP為一組正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,P0,0,2,D0,2,0,E1,0,0,F(xiàn)0,1,0,G1,1,1,
∴GE=0,-1,-1,GF=-1,0,-1,PC=2,2,-2.
∴GE?PC=02+-12+-1-2=0,
∴GE⊥PC.
又∵GE∩GF=G,
∴PC⊥平面EFG.
(2)解:∵PE=1,0,-2,EC=1,2,0,PF=0,1,-2,CF=-2,-1,0.
設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1,
∴n1?PE=0,n1?EC=0, ∴x1-2z1=0,x1+2y1=0,即z1=12x1,y1=-12x1,取x1=2,n1=2,-1,1.
設(shè)平面PCF的一個(gè)法向量為n2=x2,y2,z2,
∴n2?PF=0,n2?CF=0, ∴x2-2z2=0,-2x2-y2=0,即z2=y22,x2=-y22,取y2=2,
則n2=-1,2,1.
設(shè)二面角E-PC-F的平面角為,
∴cosθ=n1?n2n1n2=36?6=12.
∵θ∈0,π2,∴cosθ=12.
【點(diǎn)睛】傳統(tǒng)方法求線面角和二面角,一般采用“一作,二證、三求”三個(gè)步驟,首先根據(jù)二面角的定義結(jié)合幾何體圖形中的線面關(guān)系作出線面角或二面角的平面角,進(jìn)而求出;而角的計(jì)算大多采用建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出向量的坐標(biāo),利用線面角和二面角公式,借助法向量求空間角.
22.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為6.
(1)求橢圓C的方程.
(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的兩條斜率之積為?14的直線分別與橢圓交于M,N點(diǎn).試問(wèn)直線MN是否過(guò)某定點(diǎn)?若過(guò),求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)x212+y23=1;(2)見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意得到ca=32,c=3,解得a=23,再由a,b,c的關(guān)系得到結(jié)果;(2)設(shè)出直線AM,聯(lián)立直線和橢圓,表示出點(diǎn)M的坐標(biāo),設(shè)直線AN的斜率為k,則kk=-14,即k=-14k,把點(diǎn)M坐標(biāo)中k的替換為-14k,得到點(diǎn)N的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線MN即可得到直線過(guò)定點(diǎn).
【詳解】(1)由題意知ca=32,c=3,解得a=23.
又∵a2=b2+c2,
∴b2=3,
∴橢圓方程為x212+y23=1.
(2)設(shè)左頂點(diǎn)A-23,0,根據(jù)已知得直線AM,AN的斜率存在且不為零,
設(shè)AM:y=kx+23,代入橢圓方程,得1+4k2x2+163k2x+48k2-12=0,
設(shè)Mx1,y1,則-23x1=48k2-121+4k2,即x1=23-83k21+4k2,y1=kx1+23=43k1+4k2,
即M23-83k21+4k2,43k1+4k2.
設(shè)直線AN的斜率為k,則kk=-14,即k=-14k,把點(diǎn)M坐標(biāo)中k的替換為-14k,得.
當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)不相等,即時(shí),,直線的方程為,即,該直線恒過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)時(shí),、的橫坐標(biāo)為零,直線也過(guò)定點(diǎn).
綜上可知,直線過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是考查的重點(diǎn),一般難度較大,計(jì)算較復(fù)雜,考查較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.解題時(shí),要將問(wèn)題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化成易于計(jì)算的方向.
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