新編數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版：第二章　空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案

新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料2空間向量的運(yùn)算(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量的加減法及運(yùn)算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，并掌握共線向量定理知識(shí)點(diǎn)一空間向量的加減法及運(yùn)算律思考下面給出了兩個(gè)空間向量a，b，如何作出ba，ba?答案如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作a，b，則ab，ba.梳理類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算ab，ab知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義0a與向量a的方向相同a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|倍0a與向量a的方向相反0a0，其方向是任意的運(yùn)算律分配律(ab)ab結(jié)合律(a)()a注：在平面中，我們討論過(guò)兩個(gè)向量共線的問(wèn)題，在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論空間兩個(gè)向量a與b(b0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ab.1若ab0，則ab0.()2設(shè)R，若ab，則a與b共線()3.()4直線l的方向向量為a，若a平面，則l平面.()類型一空間向量的加減運(yùn)算例1如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDABCD，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量(1)；(2).考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算解(1).(2)().向量，如圖所示引申探究利用本例題圖，化簡(jiǎn).解結(jié)合加法運(yùn)算，0.故0.反思與感悟(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即.(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，0.跟蹤訓(xùn)練1在如圖所示的平行六面體中，求證：2.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用證明平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，()()()2()又，.2.類型二共線問(wèn)題例2(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D(2)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k_.考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)因?yàn)?a6b3(a2b)3，故，又與有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)因?yàn)?e1(k6)e2，且與共線，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共線，解得故k的值為1.反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：()若ab，b0，則存在唯一實(shí)數(shù)使ab；()若存在唯一實(shí)數(shù)，使ab，b0，則ab.判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù).(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)，使成立對(duì)空間任一點(diǎn)O，有t(tR)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有xy(xy1)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷向量與是否共線？考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷解設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G，又，共面，()，與共線類型三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用例3如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且”，其他條件不變，如何表示？解acb.反思與感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用證明設(shè)a，b，c.因?yàn)?，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線1.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有()()；()；()；().A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案D解析()；()；()；()，故選D.2設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且，則四邊形ABCD是()A平行四邊形B空間四邊形C等腰梯形D矩形考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用答案A解析由，得，故四邊形ABCD為平行四邊形，故選A.3下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是()A.B.C.D|考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案C解析由知與共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A，B，C三點(diǎn)共線4若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1e2與e12(k1)e2共線的k的值為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案解析若2ke1e2與e12(k1)e2共線，則2ke1e2e12(k1)e2，k.5化簡(jiǎn)2233_.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案0解析223322220.(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果(2)證明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)，使(或)即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有t(1t)”來(lái)證明三點(diǎn)A，B，C共線一、選擇題1化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是()A.B.C0D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案C解析0，故選C.2空間任意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案D3已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則()等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案A解析如圖，因?yàn)?，所以().4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案A解析()c(ab)abc.5如圖所示，在四面體ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案B解析連接AE(圖略)，E是CD的中點(diǎn)，b，c，()(bc)在ABE中，又a，a(bc)abc.6設(shè)點(diǎn)M是ABC的重心，記a，b，c，且abc0，則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案D解析設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb)7設(shè)空間四點(diǎn)O，A，B，P滿足mn，其中mn1，則()A點(diǎn)P一定在直線AB上B點(diǎn)P一定不在直線AB上C點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D與的方向一定相同考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案A解析已知mn1，則m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因?yàn)?，所以和共線，又AP和AB有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A，P，B共線，故選A.二、填空題8在正方體ABCDA1B1C1D1中，化簡(jiǎn)的結(jié)果是_考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算答案2解析2.9在空間四邊形ABCD中，連接BD，若BCD是正三角形，且E為其中心，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案0解析連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接AF(圖略)，則，0.10若G為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足0，則G為ABC的_(填“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”)考點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用答案重心解析因?yàn)?，所以AG所在直線的延長(zhǎng)線為邊BC上的中線，同理，得BG所在直線的延長(zhǎng)線為AC邊上的中線，故G為其重心11已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有x，則x的值為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案解析x，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，x1，x.三、解答題12如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BMBD，ANAE.求證：MN平面CDE.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用證明因?yàn)镸在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理可知，共面因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDE.四、探究與拓展13已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|3，|b|2，|c|1，則|abc|_.答案214設(shè)e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如果A，B，D三點(diǎn)共線，則，的值為_(kāi)考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用解析(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.A，B，D三點(diǎn)共線，與是共線向量存在實(shí)數(shù)k，使得k，即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1，e2，e3三向量不共面，12k3k0,2kk0,3k0.將k代入前兩式，可得解得1，3.