新編高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時曲線與方程、圓錐曲線的共同特征練習(xí) 北師大版選修21

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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第三章　3.4　第1課時 曲線與方程、圓錐曲線的共同特征 一、選擇題 1．(2013廣東省中山一中期中)方程(2x－y＋2)＝0表示的曲線是(　　) A．一個點與一條直線 B．兩條射線和一個圓 C．兩個點 D．兩個點或一條直線或一個圓 [答案]　B [解析]　原方程等價于x2＋y2－1＝0， 或，故選B． 2．動點在曲線x2＋y2＝1上移動時，它和定點B(3,0)連線的中點P的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4　 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1 [答案]　C [解析]　

2、設(shè)P點為(x，y)，曲線上對應(yīng)點為(x1，y1)， 則有＝x，＝y(tǒng). ∴x1＝2x－3，y1＝2y. ∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1 ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1. 3．“點M在曲線y＝|x|上”是“點M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　到兩坐標(biāo)軸距離相等點的軌跡如圖(1)，y＝|x|的曲線如圖(2)． ∴“點M在曲線y＝|x|上”?“點M到兩坐標(biāo)軸距離相等”．故選B． 4．若方程x－2y－2k＝0與2x－y－k＝0所表示的兩條直線的交點在方

3、程x2＋y2＝9的曲線上，則k等于(　　) A．3　　　　　　 B．0 C．2 D． 一切實數(shù) [答案]　A [解析]　兩直線的交點為(0，－k)，由已知點(0，－k)在曲線x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝3. 5．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 [答案]　A [解析]　本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，以及拋物線的定義． 由題意作圖可知，圓C的圓心到(0,3)的距離等于到直線y ＝－1的距離，所以C的圓心軌跡為拋物線． 6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，

4、點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是(　　) A．線段B1C B．線段BC1 C．BB1中點與CC1中點連成的線段 D．BC中點與B1C1中點連成的線段 [答案]　A [解析]　設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點，則AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A， ∴直線AP1與AP2確定一個平面α，與面BCC1B1交于直線P1P2，且知BD1⊥平面α， ∴P1P2⊥BD1， 又∵BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直， ∴P點的軌跡為B1C． 二、填空題

5、 7．M為直線l：2x－y＋3＝0上的一動點，A(4,2)為一定點，又點P在直線AM上運動，且APPM＝3，則動點P的軌跡方程為________________． [答案]　8x－4y＋3＝0 [解析]　設(shè)點M、P的坐標(biāo)分別為M(x0，y0)，P(x，y)，由題設(shè)及向量共線條件可得 ，　　∴. 因為點M(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， 所以2－＋3＝0， 即8x－4y＋3＝0， 從而點P的軌跡方程為8x－4y＋3＝0. 8．已知圓的方程為x2＋y2＝4，動拋物線過點A(－1,0)，B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點的軌跡方程是______________

6、__． [答案]?。? [解析]　設(shè)P(x0，y0)為圓上任一點，過該點的切線l：x0x＋y0y＝4　(|x0|≤2)， 以l為準(zhǔn)線過A，B兩點的拋物線焦點F(x，y)，A，B到l距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義， |FA|＋|FB|＝d1＋d2， 即＋＝＋＝4>|AB|， ∴F點的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓， ∴c＝1，∴b2＝3，∴方程為＋＝1. 三、解答題 9．設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程． [解析]　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)， 則線段OP的中

7、點坐標(biāo)為，線段MN的中點坐標(biāo)為.因為平行四邊形的對角線互相平分，所以＝，＝，從而由N(x＋3，y－4)在圓上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P點的軌跡方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點：和. 10．已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上，若右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點P在橢圓上運動，B為(4,0)，M點是線段BP上的靠近點P的三等分點，求點M的軌跡方程． [分析]　(1)設(shè)右焦點為(c,0)，由點到直線的距離公式可求出c，又b＝1，則可求得a，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)設(shè)P(x0，y0)，M(

8、x，y)．由題意可知＝，進而可得(x，y)與(x0，y0)之間的對應(yīng)關(guān)系．利用相關(guān)點法，結(jié)合點P在橢圓上，代入橢圓方程即可求出M點的軌跡方程． [解析]　(1)設(shè)右焦點為(c,0)， 因為右焦點到直線x－y＋2＝0的距離為3. 所以＝3，即c＋2＝3， 所以c＝或c＝－5(舍)． 又由b＝1，得a2＝3. 因此所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，由題意可知，＝，所以(x－x0，y－y0)＝(4－x0，－y0)， 所以 又由P在橢圓上，則有＋()2＝1， 即＋＝1， 故點M的軌跡方程為＋＝1. 一、選擇題 1．方程x(x2＋y2－1)

9、＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形是(　　) A．前后兩者都是一條直線和一個圓 B．前后兩者都是兩點 C．前者是一條直線和一個圓，后者是兩點 D．前者是兩點，后者是一條直線和一個圓 [答案]　C [解析]　x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1. x2＋(x2＋y2－1)2＝0? ?表示點(0,1)、(0，－1)． 2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的圖形是(　　) A．直線2x－y＝0 B．直線2x＋y＋3＝0 C．直線2x－y＝0或直線2x＋y＋3＝0 D．直線2x＋y＝0和直線2x－y＋3＝0 [

10、答案]　C [解析]　∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)， ∴原方程表示兩條直線2x－y＝0和2x＋y＋3＝0. 3．已知動點P(x，y)滿足10＝|3x＋4y|，則P點的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩相交直線 [答案]　A [解析]　條件化為2＝，即為點P(x，y)到定點F(1,2)的距離與到定直線l：3x＋4y＝0的距離之比為，又點F不在直線l上，故根據(jù)橢圓的第二定義可知，點P的軌跡是橢圓． 4．已知點A(2,0)，B、C在y軸上，且|BC|＝4，△ABC外心的軌跡S的方程為(　　)

11、 A．y2＝2x B．x2＋y2＝4 C．y2＝4x D．x2＝4y [答案]　C [解析]　設(shè)△ABC外心為G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)， 由G點在BC的垂直平分線上知y＝a＋2， ∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2， 整理得y2＝4x. 即點G的軌跡S方程為y2＝4x. 二、填空題 5．已知0≤α≤2π，點P(cos α，sin α)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為__________________． [答案]　或 [解析]　由已知(cosα－2)2＋sin2α＝3 ∴cos2α－4cos α＋4＋sin2

12、α＝3 ∴cos α＝，∵α∈[0,2π]，∴α＝或α＝ 6．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是____________________． [答案]　x＝ [解析]　由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6知兩圓相離，記切點分別為T、Q，則|PT|＝|PQ|.如圖： 而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6. ∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.設(shè)P(x，y)， 則x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6. 即8x＝12，即x＝. 三、解答

13、題 7．已知△ABC的兩個頂點坐標(biāo)為A(－2,0)、B(0，－2)，第三個點C在曲線y＝3x2－1上移動，求△ABC重心的軌跡方程．(注：設(shè)△ABC頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC重心坐標(biāo)為G(，)．) [解析]　設(shè)C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐標(biāo)公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1， 即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲線y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1. 化簡得y＝9x2＋12x＋3. 故△ABC的重心的軌跡方程為y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直線AB的交點) [總結(jié)反

14、思]　當(dāng)形成軌跡的動點P隨另一動點B有規(guī)律地運動，且動點B的軌跡給定或能求得時，可先用動點P的坐標(biāo)表示點B的坐標(biāo)，并代入動點B的軌跡方程中得到動點P的軌跡方程．這種求軌跡的方法叫相關(guān)點法，也叫代入法． 8．(2014北京文)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點，若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值． [解析]　(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝. 故橢圓C的離心率e＝＝. (2)設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因為OA⊥OB，所以＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 又x＋2y＝4， 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4　(0