金版教程高考數(shù)學 文二輪復習講義：第三編 考前沖刺攻略 第一步 考前必看八大提分筆記 Word版含解析

第一步 考前必看八大提分筆記一、集合與常用邏輯用語1描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義，抓住集合的代表元素如：x|ylg x函數(shù)的定義域；y|ylg x函數(shù)的值域；(x，y)|ylg x函數(shù)圖象上的點集2集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問題時，尤其要注意元素的互異性3遇到AB時，你是否注意到“極端”情況：A或B；同樣在應(yīng)用條件ABBABAAB時，不要忽略A的情況4對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n1,2n1,2n2.5注重數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數(shù)軸來運算，求解時要特別注意端點值的取舍6“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結(jié)論在否定條件或求結(jié)論時，應(yīng)把“且”改成“或”，“或”改成“且”7要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全稱命題的否定是特稱命題(存在性命題)，特稱命題(存在性命題)的否定是全稱命題如對“a，b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a，b不都是偶數(shù)”，而不應(yīng)該是“a，b都是奇數(shù)”忽視互異性致誤已知1a2，(a1)2，a23a3，求實數(shù)a的值錯解由題意，得a21或(a1)21或a23a31，a1或a2或a0.錯因分析當a2時，(a1)2a23a31，不符合集合元素的互異性；同理a1時，也不符合要求正解由題意得a21或(a1)21或a23a31.解得a1或a2或a0.又當a2時，(a1)2a23a31不符合集合中元素互異性這一特點故a2，同理a1，故只有a0.防范措施上述解法造成本題失分的主要原因是忽視了集合元素具有互異性的特征.在解此類問題時注意代入檢驗是防范失分的一個重要措施.補救訓練1若A1,3，x，Bx2,1，且AB1,3，x，則這樣的x為_答案±或0解析由已知得BA，x2A且x21.x23，得x±，都符合x2x，得x0或x1，而x1，x0.綜合，共有3個值.忽視空集致誤已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA.求實數(shù)m的取值范圍錯解x23x100，2x5.Ax|2x5由ABA知BA，即3m3.m的取值范圍是3m3.錯因分析BA，B可以為非空集合，B也可以是空集漏掉對B的討論，是本題的一個失分點正解ABA，BA.Ax|x23x100x|2x5若B，則m1>2m1，即m<2，故m<2時，ABA；若B，則m12m1，即m2.由BA，如圖所示，得解得3m3.又m2，2m3.由知，當m3時，ABA.防范措施造成本題失分的根本原因是忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質(zhì)當題目中出現(xiàn)AB，ABA，ABB時，注意對A進行分類討論，即分為A和A兩種情況討論補救訓練2已知集合Ax|x2(p2)x10，pR，若AR，則實數(shù)p的取值范圍為_答案(4，)解析由于AR，先求AR的情況有即解得p4.故當AR時，p的取值范圍是(4，).忽視集合運算中的邊界點致誤記f(x)的定義域為A，g(x)lg (xa1)(2ax)(a<1)的定義域為B.若BA，求實數(shù)a的取值范圍錯解1f(x)的定義域為A，則A(，1)1，)g(x)的定義域為B，則B(a1,2a)BA，a11或2a1.a0或a.錯解2由20，得x<1或x1.A(，1)1，)由(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0.且a<1，2a<x<a1.B(2a，a1)，BA，2a>1或 a1<1，a>或a<2.a(，2)錯因分析錯解1忽視對條件a<1的考慮；錯解2忽視了界點，事實上：2a1或a11.正解20，0.x<1或x1，即A(，1)1，)(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0.a<1，a1>2a，B(2a，a1)BA，2a1或a11，即a或a2，而a<1，a<1或a2.故當BA時，實數(shù)a的取值范圍是(，2.防范措施對于錯解1，解一元二次不等式時一定要將考慮拋物線的開口和含參數(shù)的討論形成習慣.對于錯解2，對于含參數(shù)的交、并、補集問題的運算，一定要注意界點.補救訓練32015·太原一模已知全集UR，集合Mx|(x1)(x3)<0，Nx|x|1，則陰影部分表示的集合是()A1,1)B.(3,1C.(，3)1，)D.(3，1)答案D解析由題意可知，M(3,1)，N1,1，陰影部分表示的集合為M(UN)(3，1).對命題的否定不當致誤 已知M是不等式0的解集且5M，則a的取值范圍是_錯解(，2)(5，)錯因分析5M，把x5代入不等式，原不等式不成立，有兩種情況：>0；5a250，答案中漏掉了第種情況正解解法一：5M，>0或5a250.a<2或a>5或a5，故填a5或a<2.解法二：若5M，則0，(a2)(a5)0且a5，2a<5.5M時，a<2或a5.答案(，2)5，)防范措施本題失分率高達56%，實質(zhì)上當x5時，0不成立，即是對命題0的否定失分的原因就在于對命題的否定不當對于這類形式的命題的否定，一定要注意其否定為>0或ax250.當然，就本題而言，也可以先求出5M時的a的范圍，再求其補集補救訓練4已知集合M，若2M，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析若2M，則<0，即(2a1)(2a21)<0，a<.當2M時，a的取值范圍為a.錯誤理解簡易邏輯中的概念致誤 x2x2是xx2的_條件錯解1由x2x2xx2x得出x2x2是xx2的充分條件錯解2由xx2xx2x2得出x2x2是xx2的必要條件錯因分析錯解1中，事實上x2x2x；錯解2中，xx2x.正解方程x2x2的解集為1,2，xx2的解集為0,2，但是1,20,2，且0,21,2，所以x2x2是xx2的既不充分也不必要條件答案 既不充分也不必要防范措施因為在錯解1的推理過程中，當x1時“”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“”不成立因為在錯解2的推理過程中，當x0時“”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“”不成立事實上，在推理過程中錯誤地進行了開方，方程兩邊同時相消，無理方程中忽略了被開方數(shù)的范圍等等這是應(yīng)該注意防范的補救訓練52016·江西八校高三聯(lián)考在ABC中，“··”是“|”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析··bccosAaccosBbcosAacosBsinBcosAsinAcosBtanAtanBABab，故··是|的充要條件.二、函數(shù)與導數(shù)1函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射，作為一個映射，就必須滿足映射的條件，只能一對一或者多對一，不能一對多2求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏3用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題4分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)5判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響6弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反(2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件7求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替8函數(shù)圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移“上加下減”(2)翻折變換：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)對稱變換：證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(y軸)對稱；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(x軸)對稱9求函數(shù)最值(值域)常用的方法(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)(2)圖象法：適合于己知或易作出圖象的函數(shù)(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)(4)導數(shù)法：適合于可導函數(shù)(5)換元法(特別注意新元的范圍)(6)分離常數(shù)法：適用于一次分式(7)有界函數(shù)法：適用于含有指、對數(shù)函數(shù)或正、余弦函數(shù)的式子無論用什么方法求最值，都要考查“等號”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優(yōu)先考慮定義域10二次函數(shù)問題(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系(2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形11有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)f(xa)(a>0)，則f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，則f(x)的周期T2a.12(1)指數(shù)運算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr(a>0，b>0，r，sQ)(2)對數(shù)運算性質(zhì)已知a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0.則loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，對數(shù)換底公式：logaN.推論：logamNnlogaN；logab.(3)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)的圖象恒過定點(0,1)，對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象恒過定點(1,0)13冪函數(shù)yx(R)(1)若1，則yx，圖象是直線當0時，yx01(x0)圖象是除點(0,1)外的直線當0<<1時，圖象過(0,0)與(1,1)兩點，在第一象限內(nèi)是上凸的當>1時，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的(2)增減性：當>0時，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是增函數(shù)；當<0時，在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yx是減函數(shù)14函數(shù)與方程(1)對于函數(shù)yf(x)，使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點事實上，函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)根(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，此時這個c就是方程f(x)0的根反之不成立15求導數(shù)的方法(1)基本導數(shù)公式：c0(c為常數(shù))；(xm)mxm1(mQ)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axln a；(ln x)；(logax)(a>0且a1)(2)導數(shù)的四則運算：(u±v)u±v；(uv)uvuv；(v0)(3)復合函數(shù)的導數(shù)：yxyu·ux.如求f(axb)的導數(shù)，令uaxb，則(f(axb)f(u)·a.16函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)是曲線yf(x)在P(x0，f(x0)處的切線的斜率f(x0)，相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)·(xx0)注意：過某點的切線不一定只有一條17利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f(x)0恒成立，但要驗證f(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此18導數(shù)為零的點并不一定是極值點，如：函數(shù)f(x)x3，有f(0)0，但x0不是極值點函數(shù)概念不清致誤已知函數(shù)f(x23)lg ，求f(x)的定義域錯解由>0，得x>2或x<2.函數(shù)f(x)的定義域為x|x>2或x<2錯因分析錯把lg 的定義域當成了f(x)的定義域正解由f(x23)lg ，設(shè)x23t，則x2t3，因此f(t)lg .>0，即x2>4，t3>4，即t>1.f(x)的定義域為x|x>1防范措施失分的原因是將f(x23)的定義域與f(x)的定義域等同起來了事實上，f(x23)lg與f(x)是兩個不同的函數(shù)，它們有不同的法則和定義域，造成錯誤的原因在于未弄清函數(shù)的概念求函數(shù)定義域，首先應(yīng)弄清函數(shù)的特征或解析式，可避免出錯補救訓練12016·河南鄭州一模若函數(shù)yf(x)的定義域為0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是_答案0,1)解析02x2，0x1，又x10，即x1，0x<1，即函數(shù)g(x)的定義域是0,1).分段函數(shù)的意義理解不準確致誤函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)，則a的取值范圍是_錯解1若f(x)在R上單調(diào)遞減，則有解得a<1；若f(x)在R上單調(diào)遞增，則有解得a>1.錯解2f(x)在R上單調(diào)，所以有解得a.錯解3f(x)在R上單調(diào)，所以有解得1<a.錯因分析對分段函數(shù)的意義理解不準確或情況考慮不全致誤正解若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有解之得a；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1<a，故a的取值范圍是(， (1，答案(，(1，防范措施上述錯解1是對分段函數(shù)在R上單調(diào)的限制條件不全而造成失分；錯解2、3簡單的認為單調(diào)只是增或減，沒有進行分情況討論對此類問題的求解一定要考慮周全補救訓練22016·陜西高三質(zhì)檢設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)3成立的x的取值范圍是_答案(，27解析當x8時，x3，x27，即8x27；當x<8時，2ex83恒成立，故x<8.綜上，x(，27.忽視函數(shù)的定義域致誤函數(shù)ylog (x25x6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_錯解錯因分析忽略了x25x6>0，即函數(shù)的定義域正解由x25x6>0知x|x>3或x<2令ux25x6，則ux25x6在(，2)上是減函數(shù)，ylog (x25x6)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)答案(，2)防范措施本題失分的原因就在于忽略了函數(shù)的定義域這一隱含條件.在研究函數(shù)問題時，不論什么情況，首先研究函數(shù)的定義域，這是研究函數(shù)的一條最基本原則.補救訓練32016·遼寧沈陽質(zhì)檢已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)<f的x的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，又f(x)在0，上單調(diào)遞增，f(2x1)<f|2x1|<<x<.故選A.混淆“過點”和“切點”致誤 求過曲線yx32x上的點(1，1)的切線方程錯解y3x22，ky|x13×1221.切線方程為：y1x1即xy20.錯因分析錯把(1，1)當切點正解設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為y3x2.切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過點(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)，或y，即xy20，或5x4y10.防范措施過曲線上的點(1，1)的切線與曲線的切點可能是(1，1)，也可能不是(1，1).本題錯誤的根本原因就是把(1，1)當成了切點.解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點.補救訓練4已知函數(shù)f(x)aln x2axb，函數(shù)yf(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程是y2x1，則ab的值是_答案3解析因為f(x)2a，函數(shù)yf(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線的斜率為2，所以f(1)a2，所以a2，f(x)2ln x4xb，由切線方程可得f(1)3，所以f(1)4b3，可得b1.所以ab3.極值的概念不清致誤已知f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值為10，則ab_.錯解由已知f(x)3x22axb，則解得a4，b11或a3，b3，故ab7或ab0.錯因分析x1是f(x)的極值點f(1)0；忽視了“f(1)0x1是f(x)的極值點”的情況正解f(x)3x22axb，由x1時，函數(shù)取得極值10，得聯(lián)立得或當a4，b11時，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1兩側(cè)的符號相反，符合題意當a3，b3時，f(x)3(x1)2在x1兩側(cè)的符號相同，所以a3，b3不符合題意，舍去綜上可知a4，b11，ab7.答案7防范措施“函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在點xx0處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導函數(shù)f(x)在xx0處取極值”的必要條件誤作充要條件.對于可導函數(shù)f(x)：x0是極值點的充要條件是x0點兩側(cè)導數(shù)異號，即f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符號：“左正右負”f(x)在x0處取極大值；“左負右正”f(x)在x0處取極小值，而不僅是f(x0)0.f(x0)0是x0為極值點的必要而不充分條件.對于給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f(x0)0，又考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則易產(chǎn)生增根.補救訓練52016·蘭州質(zhì)檢函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1有極大值又有極小值，則a的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，因為f(x)既有極大值又有極小值，所以>0，即36a24×3×3(a2)>0，解得a>2或a<1.即a的取值范圍是(，1)(2，).函數(shù)零點求解討論不全致誤函數(shù)f(x)mx22x1有且僅有一個正實數(shù)零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(，1 B(，01C.(，0)1 D(，1)錯解若0，解得m1；若>0，則x1·x2<0，解得m<0，故選C.錯因分析沒有對m是否為零進行討論正解當m0時，x為函數(shù)的零點；當m0時，若0，即m1時，x1是函數(shù)唯一的零點，若0，顯然x0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)mx22x10有一個正根一個負根，即mf(0)<0，即m<0.故選B.答案B防范措施解決此類問題的關(guān)鍵是對參數(shù)的討論要全面，對函數(shù)零點的定理使用要正確，如本題錯解中忽略了對m0的討論.補救訓練62016·東三省聯(lián)考已知在區(qū)間4,4上f(x)g(x)x2x2(4x4)，給出下列四個命題：函數(shù)yfg(x)有三個零點；函數(shù)ygf(x)有三個零點；函數(shù)yff(x)有六個零點；函數(shù)ygg(x)有且只有一個零點其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B2C.3 D4答案D解析如圖，畫出f(x)，g(x)的草圖設(shè)tg(x)，則由fg(x)0，得f(t)0，則tg(x)有三個不同值，由于yg(x)是減函數(shù)，所以fg(x)0有3個解，所以正確；設(shè)mf(x)，若gf(x)0，即g(m)0，則mx0(1,2)，所以f(x)x0(1,2)，由圖象知對應(yīng)f(x)x0(1,2)的解有3個，所以正確；設(shè)nf(x)，若ff(x)0，即f(n)0，nx1(3，2)或n0或nx22，而f(x)x1(3，2)有1個解，f(x)0對應(yīng)有3個解，f(x)x22對應(yīng)有2個解，所以ff(x)0共有6個解，所以正確；設(shè)sg(x)，若gg(x)0，即g(s)0，所以sx3(1,2)，則g(x)x3，因為yg(x)是減函數(shù)，所以方程g(x)x3只有1個解，所以正確.導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準致誤 函數(shù)f(x)ax3x2x5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_錯解由f(x)ax3x2x5得f(x)3ax22x1，由f(x)>0，得解得a>.錯因分析f(x)在R上是增函數(shù)等價于f(x)0在R上恒成立漏掉了f(x)0的情況正解f(x)ax3x2x5的導數(shù)f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案a防范措施f(x)>0(<0)(x(a，b)是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件.實際上，對可導函數(shù)f(x)而言，f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對于任意x(a，b)，有f(x)0(0)且f(x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.在解題時，若求單調(diào)區(qū)間，一般用充分條件即可.若由單調(diào)性求參數(shù)，一般用充要條件即f(x)0(或f(x)0)，否則容易漏解.補救訓練7已知函數(shù)f(x)x22axln x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.答案D解析因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立，易知yx在上單調(diào)遞減，所以max，所以2a，解得a.選D.三、三角函數(shù)、解三角形、平面向量1終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在的射線上)2k(kZ)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個角，P(x，y)是的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r>0，那么sin，cos，tan(x0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導公式(1)平方關(guān)系：sin2cos21.(2)商數(shù)關(guān)系：tan.(3)誘導公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限角2正弦sinsinsinsincos余弦coscoscoscossin3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)五點法作圖；(2)對稱軸：ysinx，xk，kZ；ycosx，xk，kZ；對稱中心：ysinx，(k，0)，kZ；ycosx，kZ；ytanx，kZ.(3)單調(diào)區(qū)間：ysinx的增區(qū)間：(kZ)，減區(qū)間：(kZ)；ycosx的增區(qū)間：2k，2k(kZ)，減區(qū)間：2k，2k(kZ)；ytanx的增區(qū)間：(kZ)(4)周期性與奇偶性：ysinx的最小正周期為2，為奇函數(shù)；ycosx的最小正周期為2，為偶函數(shù)；ytanx的最小正周期為，為奇函數(shù)易錯警示：求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時，容易出現(xiàn)以下錯誤：(1)不注意的符號，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反；(2)忘掉寫2k，或k等，忘掉寫kZ；(3)書寫單調(diào)區(qū)間時，錯把弧度和角度混在一起如0,90°應(yīng)寫為.4兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(±)sincos±cossin.cos(±)coscossinsin.tan(±).sin22sincos.cos2，sin2，tan2.在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如：()，2()()，()()()，.5三角變換基本方法：化切為弦、降冪升冪、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角、異角化同角、異名化同名6解三角形(1)正弦定理：2R(R為三角形外接圓的半徑)注意：正弦定理的一些變式：()abcsinAsinBsinC；()sinA，sinB，sinC；()a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進行取舍在ABC中A>BsinA>sinB.(2)余弦定理：a2b2c22bccosA，cosA等，常選用余弦定理判定三角形的形狀7解三角形的實際應(yīng)用問題注意區(qū)分俯角和仰角，方位角和方向角的不同8數(shù)0與零向量有區(qū)別，0的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書寫時要注意，否則有質(zhì)的不同9平面向量的基本概念及線性運算(1)加、減法的平行四邊形與三角形法則：；.(2)向量滿足三角形不等式：|a|b|a±b|a|b|.(3)實數(shù)與向量a的積是一個向量，記為a，其長度和方向規(guī)定如下：|a|a|；>0，a與a同向；<0，a與a反向；0或a0，a0.(4)平面向量的兩個重要定理向量共線定理：向量a(a0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)，使ba.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底10向量的平行與垂直設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b0，則abbax1y2x2y10.ab(a0)a·b0x1x2y1y20.0看成與任意向量平行，特別在書寫時要注意，否則有質(zhì)的不同11當a·b0時，不一定得到ab，當ab時，a·b0；a·bc·b，不能得到ac，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行12向量的數(shù)量積|a|2a2a·a，a·b|a|b|cosx1x2y1y2，cos，a在b上的投影|a|cosa，b.注意：a，b為銳角a·b>0且a、b不同向；a，b為直角a·b0且a、b0；a，b為鈍角a·b<0且a、b不反向13兩向量夾角的范圍為0，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價14向量a在向量b上的投影|a|cos是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以是零15幾個向量常用結(jié)論(1)0P為ABC的重心；(2)···P為ABC的垂心；(3)向量(0)所在直線過ABC的內(nèi)心；(4)|P為ABC的外心忽視角的范圍致誤已知sin，sin，且，為銳角，則_.錯解、為銳角，cos，cos.sin()sincoscossin××.又0<<.或.錯因分析錯解中沒有注意到0<<，對于正弦值可能會有兩個解，而利用余弦求解，利用正負關(guān)系即可判斷正解因為，為銳角，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin××.又因為0<<，所以.答案防范措施對三角函數(shù)的求值問題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍；本題中(0，)中角和余弦值一一對應(yīng)，最好在求角時選擇計算cos()來避免增解.補救訓練12016·嘉興測試已知為鈍角，sin，則sin_.答案解析cossincos，因為為鈍角，即<<<<，所以sin<0，則sin.三角函數(shù)圖象平移致誤函數(shù)y3sin的圖象可由函數(shù)y3sin2x的圖象()A.向左平移個單位長度得到B.向右平移個單位長度得到C.向左平移個單位長度得到D.向右平移個單位長度得到錯解A錯因分析在三角函數(shù)圖象變換時，對于先進行伸縮變換再進行平移變換的平移量搞錯正解y3sin3sin，只需將y3sin2x的x換成x即可y3sin2x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)3sin的圖象答案C防范措施三角函數(shù)圖象變換時，由f(x)f(x±a)(a>0)是左加右減，即xa是f(x)向左平移a個單位，xa是f(x)向右平移a個單位我們所說的平移多少是對x說的，即“對x說話”解決此類問題的辦法一般是先平移后伸縮在平移時，如x有系數(shù)，則先寫成(x)的形式補救訓練2將函數(shù)h(x)2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象()A.關(guān)于直線x0對稱B.關(guān)于直線x1對稱C.關(guān)于(1,0)點對稱D.關(guān)于(0,1)點對稱答案D解析依題意，將h(x)2sin的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位后得y2sin2x2，即f(x)2sin2的圖象，又h(x)f(x)2，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱.三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤函數(shù)ysin的單調(diào)區(qū)間是_錯解函數(shù)ysin的單調(diào)遞增區(qū)間為2kx2k，解得3kx3k；單調(diào)遞減區(qū)間為2k2k，解得3kx3k，其中kZ.錯因分析受思維定勢，按函數(shù)ysin的單調(diào)區(qū)間的判斷方法求解正解原函數(shù)變形為ysin，令u，則只需求ysinu的單調(diào)區(qū)間即可，所以ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上單調(diào)遞增；ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上單調(diào)遞減故ysinsinu的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)，單調(diào)遞增區(qū)間為，(kZ)答案單調(diào)增區(qū)間為(kZ)，單調(diào)減區(qū)間為(kZ)防范措施當題目涉及f(x)Asin(x)的性質(zhì)時，要將x視為整體，再與ysinx的相關(guān)性質(zhì)對應(yīng)，同時注意與零的大小.補救訓練32016·?？谡{(diào)研已知函數(shù)f(x)sin2(x)(>0)的最小正周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a個單位(a>0)，所得圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的最小值為()A. B.C. D.答案D解析依題意得f(x)cos2x，最小正周期T，2，f(x)cos4x，將f(x)cos4x的圖象向右平移a個單位后得到的是函數(shù)g(x)cos4(xa)的圖象. 又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，因此有g(shù)(0)cos4a0,4ak，kZ，即a，kZ，因此正實數(shù)a的最小值是，選D.解三角形多解、漏解致誤在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且a1，c.(1)若C，求A；(2)若A，求b.錯解(1)在ABC中，sinA，A或.(2)由，得sinC.C，由C知B，b2.錯因分析在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)丟解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sinA后，得出角A或；在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解，由sinC，只得出角C，所以角B，解得b2.這樣就出現(xiàn)丟解的錯誤正解(1)由正弦定理得，即sinA.又a<c，A<C，0<A<，A.(2)由，得sinC.C或.當C時，B，b2；當C時，B，b1.綜上所述，b2或b1.防范措施 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論，討論的根據(jù)一是所求的正弦值是否合理，當正弦值小于等于1時，還應(yīng)判斷各角之和與180°的關(guān)系；二是兩邊的大小關(guān)系.補救訓練42016·鄭州質(zhì)檢在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2Ccos2A2sinsin.(1)求角A的值；(2)若a且ba，求2bc的取值范圍解(1)由已知得2sin2A2sin2C2，化簡得sinA，故A或.(2)由正弦定理2，得b2sinB，c2sinC，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBcosB2sin.因為ba，所以B<，B<.所以2bc2sin，2).向量夾角定義不明致誤已知等邊ABC的邊長為1，則···_.錯解ABC為等邊三角形，|1，向量、間的夾角均為60°.···.···.錯因分析數(shù)量積的定義a·b|a|·|b|·cos，這里是a與b的夾角，本題中與夾角不是C.兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應(yīng)是ACD.正解如圖與的夾角應(yīng)是ACB的補角ACD，即180°ACB120°.又|1，所以·|cos120°.同理得··.故···.答案防范措施在判斷兩向量的夾角時，要注意把兩向量平移到共起點，這樣才不至于判斷錯誤.平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是指題設(shè)條件設(shè)置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實質(zhì)變成純?nèi)菃栴}.補救訓練52016·南昌一模已知ABC中，ABAC，BC4，BAC90°，3，若P是BC邊上的動點，則·的取值范圍是_答案2,6解析因為ABAC，BC4，BAC90°，所以ABC45°，AB2.又因為3，所以，設(shè)t，則0t1，t，所以·(t)·2t··t28t×4×2cos135°×4×2cos135°t×4224t.因為0t1，所以224t6，即·的取值范圍是2,6.忽略向量共線致誤已知a(2,1)，b(，1)，R，a與b的夾角為.若為銳角，則的取值范圍是_錯解cos，因為銳角，有cos>0，>021>0，得>，的取值范圍是.錯因分析當向量a，b同向時，0，cos1滿足cos>0，但不是銳角正解因為銳角，有0<cos<1且a與b不共線又cos，解得的取值范圍是.答案防范措施在解決兩向量夾角問題時，一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為，則：為銳角a·b>0且a，b不同向；為直角a·b0；為鈍角a·b<0且a，b不反向.補救訓練6設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|2，|e2|1，e1與e2的夾角為.若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍解2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，(2te17e2)·(e1te2)<0且2te17e2(e1te2)(<0)由(2te17e2)·(e1te2)<0得2t215t7<0，7<t<.若2te17e2(e1te2)(<0)，(2t)e1(7t)e20.即t.t的取值范圍為7<t<且t.四、數(shù)列、不等式1數(shù)列的概念(1)數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式(2)前n項和Sna1a2a3an，an2等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù))或an1ananan1(n2)(2)等差數(shù)列的通項：ana1(n1)d或anam(nm)d.(3)等差數(shù)列的前n項和：Sn，Snna1d.(4)等差中項：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A.3等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項和Snna1dn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.(2)若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d0，則為常數(shù)列(3)當mnpq時，則有amanapaq，特別地，當mn2p時，則有aman2ap.4等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法q(q為常數(shù))，其中q0，an0或(n2)(2)等比數(shù)列的通項：ana1qn1或anamqnm.(3)等比數(shù)列的前n項和：當q1時，Snna1；當q1時，Sn.易錯警示：由于等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要分q1和q1兩種情形討論求解(4)等比中項：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，即為±.5等比數(shù)列的性質(zhì)當mnpq時，則有am·anap·aq，特別地，當mn2p時，則有am·ana.6數(shù)列求和的方法(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項相消法如：；.7在求不等式的解集、定義域及值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示8不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負，從而出錯9兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進行10含參數(shù)不等式求解的通法是“定義域是前提，函數(shù)增減性是基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集11利用基本不等式ab2以及變式ab2等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，bR(或a，b非負)，ab或ab應(yīng)是定值，特別要注意等號成立的條件12解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解數(shù)列an與Sn的關(guān)系不清致誤已知數(shù)列an的前n項之和為Snn2n1，則數(shù)列an的通項公式為_錯解an2n錯因分析若an2n，則a12，事實上a1S13.正解當n1時，a1S13；當n2時，ann2n1(n1)2(n1)12n，an答案an防范措施本題的失分原因是沒有注意到anSnSn1是在n2的條件下才能成立這是由于對數(shù)列概念理解不透徹所致在解關(guān)于由Sn求an的題目時，按兩步進行討論，可避免出錯當n1時，a1S1；當n2時，anSnSn1.檢驗a1是否適合由求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符合，則用分段函數(shù)：an來表達補救訓練1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足an2Sn·Sn10(n2，nN*)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：由an2Sn·Sn10(n2，nN*)，得SnSn12Sn·Sn10，所以2(n2，nN*)，故是等差數(shù)列(2)由(1)知，2n，故Sn，anSnSn1(n2，nN*)，所以an忽視等比數(shù)列中q的分類討論致誤設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列的公比q是_錯解由S3S6S9得q9q6q310，即(q61)(q31)0q1，q61，q1.錯因分析當q1時，符合要求很多考生在做本題時都想當然地認為q1.正解當q1時，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立當q1時，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1防范措施在表示等比數(shù)列an的前n項和時，考生只想到Sn，把q1的情況不自覺地排除在外，這是對前n項和公式理解不透徹所致解等比數(shù)列的問題，一定要注意對公比的分類討論，這是防止出錯的一個很好方法補救訓練22016·湖北八校聯(lián)考在等比數(shù)列an中，a3，S3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2，且bn為遞增數(shù)列，若cn，求證：c1c2c3cn<.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由題意得S3a1a2a3，解得q1或q，當q1時，an；當q1時，a16，an6·n1.(2)證明：bn為遞增數(shù)列，an6·n1，a2n16·n，bn2n，cn，c1c2c3cn<.數(shù)列求最值忽略n的限制條件致誤已知數(shù)列an的通項公式為an(n2)·n(nN*)，則數(shù)列an的最大項是()A第6項或第7項 B第7項或第8項C第8項或第9項 D第7項錯解因為an1an(n3)n1(n2)·nn·，當n<7時，an1an>0，即an1>an；當n7時，an1an0，即an1an，當n>7時，an1an<0，即an1<an，故a7最大，選D.錯因分析忽略了a70，a7a8.正解因為an1