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2018-2019學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題 (III)
一．選擇題（每小題5分，共60分）
1．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則( )
A．p1＝p2
0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，求＋的最小值．
遂寧二中高xx級第4期第一學月考試數(shù)學試題參考解答
1．解析：選D 由于三種抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.故選D.
2．解析：選C 莖葉圖的莖表示十位上的數(shù)字，葉表示個位上的數(shù)字．圖中的數(shù)字7在葉上，對應的十位數(shù)字是2，所以表示的意義是這臺自動售貨機的銷售額為27元．故選C.
3．解析：選A 因為變量x和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C和D.因為樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)的坐標分別代入選項A和B中的直線方程進行驗證可以排除B.故選A.
4解析：選C 本題實質(zhì)是求分段函數(shù)f(x)＝當f(x)＝3時的解的個數(shù)．當x≤2時，由x2－1＝3，得x2＝4，x＝2，兩解符合條件，當x>2時，由log2x＝3，得x＝23>2，符合條件．所以，方程共有三解．故選C.
5．解析：選B 從算法流程圖可知，p＝123456＝720.故選B.
6．解析：選B 由mx2＋ny2＝1表示橢圓可知m＞0，n＞0，且m≠n，所以mn＞0.反之由mn＞0不能得出m＞0，n＞0且m≠n.所以“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的必要不充分條件．故選B.
7．解析：選C 由橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)知a＝1，
∵|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，兩式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
∴|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.
又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，∴2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，于是2|AB|＝4－|AB|，解得|AB|＝.故選C.
8．解析：選D 由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱，該直三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形、側(cè)棱長為4，所以表面積為222＋422＋42＝20＋8.故選D.
9．解析：選B 初始：S＝1，i＝1；第一次：T＝3，S＝3，i＝2；第二次：T＝5，S＝15，i＝3；第三次：T＝7，S＝105，i＝4，滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為105.故選B.
10、解析：選A 由|4x－3|≤1，得≤x≤1，p為x<或x>1；由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，q為xa＋1.由p是q的必要不充分條件知a≤且a＋1≥1，且兩者不能同時取等號，所以0≤a≤.故選A.
11．解析：選C 選項A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；選項B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；選項C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；選項D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，故錯誤．綜上故選C.
12．解析：選B 由三視圖可知四面體直觀圖如圖1所示．由圖2可知，BD＝4，∠BDE＝60，在△BCD中，由余弦定得BC＝2.又AB＝＝2，AC＝＝2.故選B.
二、填空題
13．解析：9 當j＝9時，jj＝81＜100；當j＝10時，jj＝100，退出循環(huán)，執(zhí)行WEND后面的語句，故j＝10－1＝9.
14．解析：4x－3y－12＝0 設(shè)直線x－2y－1＝0的傾斜角為α，則tan α＝.
故所求直線的斜率k＝tan 2α＝＝.
所以直線方程為y－0＝(x－3)，即4x－3y－12＝0.
15．解析：2 由題意得直線l1截圓所得的劣弧長為，則圓心到直線l1的距離為，即＝解得a2＝1，同理可得b2＝1，則a2＋b2＝2.
16．解析：13 根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為＝13(cm)．
三、解答題
17．解：(1)由題意知，設(shè)所求直線的方程為y＝3x＋b，即3x－y＋b＝0.
∵點P(－1,0)與直線的距離為，∴＝
∴|b－3|＝6解得b＝9或b＝－3
所以所求直線方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
(2)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，則1－a＝0，得a＝1.
∵l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又l1過點(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．
故此種情況不存在，∴k2≠0.從而k1，k2都存在，又k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又l1過點(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.
18．解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80，所以＝－＝80＋208.5＝250，
從而回歸直線方程為＝－20x＋250.
(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361.25，
所以當x＝8.25時，利潤L取得最大值．
故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.
19解：(1)課外閱讀時間落在組[4,6)的有17人，頻率為0.17，所以a＝＝＝0.085.
課外閱讀時間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25，所以b＝＝＝0.125.
(2)由題意知＝10.06＋30.08＋50.17＋70.22＋90.25＋110.12＋130.06＋150.02＋170.02＝7.8.
20.解析：x2＋y2＝1 設(shè)點B的坐標為(x0，y0)．
由題意知焦點坐標分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
∵AF2⊥x軸，∴A(，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．∴x0＝－ ，y0＝－.
∴點B的坐標為.
將B代入方程x2＋＝1，得b2＝.
∴橢圓E的方程為x2＋y2＝1.
21.．
(1)證明：設(shè)BD與AC的交點為O，連接EO.
因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點．
又E為PD的中點，所以EO∥PB.
因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解：由V＝PAABAD＝AB，又V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB交PB于點H.
由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
所以AH＝＝.所以A到平面PBC的距離為.
22．．解：(1)因為x<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－2＋3＝1.
當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(2)因為loga 1＝0，所以f(1)＝1，故函數(shù)f(x)的圖象恒過定點A(1,1)．
又點A在直線mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.
而＋＝＋(m＋n)＝2＋＋，因為mn>0，所以>0，>0.
由基本不等式可得＋≥2 ＝2(當且僅當m＝n時等號成立)．
所以＋＝2＋＋≥(2＋2)＝2，即＋的最小值為2.
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