數(shù)學(xué)教學(xué)論文 (2)

數(shù)學(xué)教學(xué)論文：初中二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用 在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。 一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念 初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射？：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為？（x）= ax2+ bx+c（a0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題： 類型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1） 這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。 類型：設(shè)？（x+1）=x24x+1，求？（x） 這個問題理解為，已知對應(yīng)法則？下，定義域中的元素x+1的象是x24x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。 一般有兩種方法： （1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。 ？（x+1）=x24x+1=（x+1）26（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x26x+6 （2） 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對一般函數(shù)都可適用。 令t=x+1，則x=t-1 （t）=（t-1）24（t-1）+1=t26t+6從而？（x）= x26x+6 二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。 在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（，b2a 及b2a ，+） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。 類型：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。 （1）y=x2+2|x1|1 （2）y=|x21| （3）= x2+2|x|1 首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。 如：y=3x25x+6（-3x1），求該函數(shù)的值域。 三、二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維： 類型：設(shè)二次函數(shù)？（x）=ax2+bx+c（a>0）方程？（x）x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a . （）當(dāng)X（0，x1）時，證明X<？（x）<x1. （）設(shè)函數(shù)？（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，證明x0< x2 . 解題思路： 本題要證明的是x<？（x），？（x）<x1和x0< x2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：？（x）=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)；方程？（x）x=0可變?yōu)閍x2+（b1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條圖象法利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路為例解決這道題： （）先證明x<？（x），令？（x）=？（x）-x，因?yàn)閤1，x2是方程？（x）-x=0的根，？（x）=ax2+bx+c，所以能？（x）=a（xx1）（xx2） 因?yàn)?<x1<x2，所以，當(dāng)x（0，x1）時， xx1<0， xx2<0得（xx1）（xx2）>0，又a0，因此？（x） 0，即？（x）-x0.至此，證得x<？（x） 根據(jù)韋達(dá)定理，有 x1x2=ca 0x1x2<1a ，c=ax1x2<x=？（x1）， 又c=？（0），？（0）<？（x1）， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=？（x）是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=？（x）在閉區(qū)間0，x1上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x1處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于？（x1）>？（0），所以當(dāng)x（0，x1）時？（x）<？（x1）=x1， 即x<？（x）<x1 （） ？（x）=ax2+bx+c=a（x+b2a ）2+（c ），（a>0） 函數(shù)？（x）的圖象的對稱軸為直線x= b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=b2a ，因?yàn)閤1，x2是二次方程ax2+（b1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=b-1a ，x21a <0， x0=b2a =12 （x1+x21a ）<x2 ，即x0=x2 . 二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。 二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。