《數(shù)學(xué)教學(xué)論文 (2)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)教學(xué)論文 (2)(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、數(shù)學(xué)教學(xué)論文:初中二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用 在初中教材中,對二次函數(shù)作了較詳細的研究,由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱,又受其接受能力的限制,這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的,很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后,尤其是高三復(fù)習(xí)階段,要對他們的基本概念和基本性質(zhì)(圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性)靈活應(yīng)用,對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。 一、進一步深入理解函數(shù)概念 初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義,進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射,接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念,主要是用映射觀點來闡明函數(shù),這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù),特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映
2、射?:AB,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)與集合A的元素X對應(yīng),記為?(x)= ax2+ bx+c(a0)這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則,又表示定義域中的元素X在值域中的象,從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識,在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后,可以讓學(xué)生進一步處理如下問題: 類型I:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1) 這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時的函數(shù)值,只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。 類型:設(shè)?(x+1)=x24x+1,求?(x) 這個問題理解為,已知對應(yīng)法則?下,定義域中的元素x+1的象是x24x+1,求定義域中元素X的象,其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。
3、一般有兩種方法: (1)把所給表達式表示成x+1的多項式。 ?(x+1)=x24x+1=(x+1)26(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x26x+6 (2) 變量代換:它的適應(yīng)性強,對一般函數(shù)都可適用。 令t=x+1,則x=t-1 (t)=(t-1)24(t-1)+1=t26t+6從而?(x)= x26x+6 二、二次函數(shù)的單調(diào)性,最值與圖象。 在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時,必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(,b2a 及b2a ,+) 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證,使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上,與此同時,進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性,給學(xué)生配以適當?shù)木毩?xí),使學(xué)生逐步自
4、覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。 類型:畫出下列函數(shù)的圖象,并通過圖象研究其單調(diào)性。 (1)y=x2+2|x1|1 (2)y=|x21| (3)= x2+2|x|1 首先要使學(xué)生弄清楚題意,一般地,一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但當定義域發(fā)生變化時,取最大或最小值的情況也隨之變化,為了鞏固和熟悉這方面知識,可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。 如:y=3x25x+6(-3x1),求該函數(shù)的值域。 三、二次函數(shù)的知識,可以準確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維: 類型:設(shè)二次函數(shù)?(x)=ax2+bx+c(a0)方程?(x)x=0的兩個根x1,x2滿足0x1x21a . ()當X(
5、0,x1)時,證明X?(x)x1. ()設(shè)函數(shù)?(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱,證明x0 x2 . 解題思路: 本題要證明的是x?(x),?(x)x1和x0 x2 ,由題中所提供的信息可以聯(lián)想到:?(x)=x,說明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點;方程?(x)x=0可變?yōu)閍x2+(b1)x+1=0,它的兩根為x1,x2,可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式,因此解題思路明顯有三條圖象法利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系利用一元二次方程的求根公式,輔之以不等式的推導(dǎo)?,F(xiàn)以思路為例解決這道題: ()先證明x?(x),令?(x)=?(x)-x,因為x1,x2是方程?(x)-x=0的根,
6、?(x)=ax2+bx+c,所以能?(x)=a(xx1)(xx2) 因為0x1x2,所以,當x(0,x1)時, xx10, xx20,又a0,因此?(x) 0,即?(x)-x0.至此,證得x?(x) 根據(jù)韋達定理,有 x1x2=ca 0x1x21a ,c=ax1x2x=?(x1), 又c=?(0),?(0)?(0),所以當x(0,x1)時?(x)?(x1)=x1, 即x?(x)0) 函數(shù)?(x)的圖象的對稱軸為直線x= b2a ,且是唯一的一條對稱軸,因此,依題意,得x0=b2a ,因為x1,x2是二次方程ax2+(b1)x+c=0的根,根據(jù)違達定理得,x1+x2=b-1a ,x21a 0, x0=b2a =12 (x1+x21a )x2 ,即x0=x2 . 二次函數(shù),它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù),可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì),特別是能從解答的深入程度中,區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。 二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣,本文只討論至此,希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識,使我們對它的研究更深入。