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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(含解析) (II)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
試題分析:由題意得,所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為在第二象限.
故選B.
考點(diǎn):復(fù)數(shù)的運(yùn)算;復(fù)數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義.
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2.工商局對(duì)超市某種食品抽查,這種食品每箱裝有6袋,經(jīng)檢測(cè)某箱中每袋的重量(單位:克)如以下莖葉圖所示.則這箱食品一袋的平均重量和重量的中位數(shù)分別為( )
A. 249,248 B. 249,249 C. 248,249 D. 248,248
【答案】B
【解析】
【分析】
由莖葉圖,能求出食品的平均重量和重量的中位數(shù).
【詳解】解:由莖葉圖知,這箱食品一袋的平均重量為249+?1?1+0+0+1+16=249.
重量的中位數(shù)為249+2492=249.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)以及中位數(shù),屬于基礎(chǔ)題.
3.從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
本題試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)的抽2個(gè),共有C42種結(jié)果,滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對(duì)值等于2的有兩種,由古典概型得到概率.
【詳解】解:由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)的抽2個(gè),共有C42=6種結(jié)果,滿足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對(duì)值等于2,有2種結(jié)果,分別是(1,3),(2,4),故所求的概率是2C42=13.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率,解題關(guān)鍵是事件數(shù)是一個(gè)組合數(shù),結(jié)合古典概型求解,屬于基礎(chǔ)題.
4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為( )
A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 365石
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒,可得比例,進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】解:由題意,這批米內(nèi)夾谷約為153428254≈169石,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本估計(jì)總體,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.
5.曲線fx=1x在點(diǎn)12,2處的切線的斜率為( )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
先求導(dǎo)函數(shù),再求x=12時(shí)的導(dǎo)數(shù)值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可求切線的斜率.
【詳解】解:由題意,y′=?1x2,
∴當(dāng)x=12時(shí),y′=?4
即曲線y=1x在點(diǎn)(12,2)處切線的斜率為?4.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題以曲線切線為載體,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,解題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并正確求出導(dǎo)函數(shù),屬于基礎(chǔ)題.
6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件,然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句,一旦滿足條件就退出循環(huán),輸出結(jié)果.
【詳解】解:模擬執(zhí)行程序,可得:k=1,s=1,
第1次執(zhí)行循環(huán)體,s=1,
不滿足條件s>15,第2次執(zhí)行循環(huán)體,k=2,s=2,
不滿足條件s>15,第3次執(zhí)行循環(huán)體,k=3,s=6,
不滿足條件s>15,第4次執(zhí)行循環(huán)體,k=4;s=15,
不滿足條件s>15,第5次執(zhí)行循環(huán)體,k=5;s=31,
滿足條件s>31,退出循環(huán),此時(shí)k=5.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查算法中程序框圖及循環(huán)結(jié)構(gòu)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
7.?10(x?ex)dx= ( ?。?
A. ?1?1e B. -1 C. ?32+1e D. ?32
【答案】C
【解析】
【分析】
求出被積函數(shù)的原函數(shù),分別代入積分上限和積分下限作差得答案.
【詳解】解:?10(x?ex)dx=(12x2?ex)|?10
=120?e0?12(?1)2+e?1
=?1?12+1e=1e?32.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了定積分,解答的關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù),屬于基礎(chǔ)題.
8.將石子擺成如圖的梯形形狀,稱數(shù)列5,9,14,20,…為“梯形數(shù)”,根據(jù)圖形的構(gòu)成,此數(shù)列的第xx項(xiàng)與5的差,即a2016?5=( )
A. xxxx B. xx2015 C. 1011xx D. 1011xx
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系,分析他們之間存在的關(guān)系,并進(jìn)行歸納,得到一般性規(guī)律,即可求得結(jié)論.
【詳解】解:由已知可以得出圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為:
n=1時(shí),a1=2+3=12(2+3)2;
n=2時(shí),a2=2+3+4=12(2+4)3;
…
由此可以推斷:
an=2+3+?+(n+2)=12[2+(n+2)](n+1)
∴a2016?5=12[2+(2016+2)](2016+1)?5=10112015.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理,通過(guò)觀察從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)一般性命題,屬于基礎(chǔ)題.
9.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為( )
A. π12 B. 1?π12 C. π6 D. 1?π6
【答案】D
【解析】
本題考查幾何概型,空間幾何體的體積,空間想象能力.
到點(diǎn)O的距離不大于1的點(diǎn)在以點(diǎn)O為球心,1為半徑的半球內(nèi);其體積為
1243π13=2π3;正方體體積為23=8;則在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為8?2π38=1?π12.故選B
10.已知f(x)=ax2+2x+a,x∈R,若函數(shù)g(x)=x3?(a2?2)x?f(x)在區(qū)間(?1,3)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).
A. a1或a>3 B. a≤?1或a≥3 C. a9或a>3 D. a≤?9或a≥3
【答案】D
【解析】
【分析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),g′(x)=3x2?2ax?a2,由函數(shù)在(-1,3)上單調(diào)遞減,可知g′(x)≤0在區(qū)間(-1,3)上恒成立即可求解.
【詳解】因?yàn)間′(x)=3x2?2ax?a2,函數(shù)g(x)=x3-(a2-2)x-f(x)在區(qū)間(-1,3)上單調(diào)遞減,所以g′(x)≤0在區(qū)間(-1,3)上恒成立,只需g′(?1)≤0g′(3)≤0,即a2?2a?3≥0a2+6a?27≥0解得a≤?9 或a≥3,故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的恒成立問(wèn)題,屬于難題.解決三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,一般要考慮求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者是求參數(shù)的取值范圍,若函數(shù)在某區(qū)間單調(diào),則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于等于零(或小于等于零)恒成立.
11.函數(shù)f(x)的定義域是R,f(0)=2,對(duì)任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,則不等式ex?f(x)>ex+1的解集為( )
A. {xx1或0
1} C. {xx<0} D. {xx>0}
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)?ex?1,利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,由已知條件可得函數(shù)g(x)的零點(diǎn),由此可解得不等式.
【詳解】解:
令g(x)=exf(x)?ex?1,則g′(x)=exf(x)+exf′(x)?ex=ex[f(x)+f′(x)?1],
∵f(x)+f′(x)>1,
∴f(x)+f′(x)?1>0,
∴g′(x)>0,即g(x)在R上單調(diào)遞增,
又f(0)=2,∴g(0)=e0f(0)?e0?1=2?1?1=0,
故當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0),即exf(x)?ex?1>0,整理得exf(x)>ex+1,
∴exf(x)>ex+1的解集為{x|x>0}.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用, 并求解抽象不等式,綜合性較強(qiáng),屬于難題.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+2ax2+3bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)分別在(?1,0)與(0,1)內(nèi),則2a?b的取值范圍是
A. (?32,32) B. (?32,1) C. (?12,32) D. (1,32)
【答案】A
【解析】
由題意知f′(x)=3x2+4ax+3b=0有兩根分別在(-1,0)與(0,1)內(nèi),所以3?4a+3b>0b<03+4a+3b>0,畫(huà)出可行域,利用線性規(guī)劃可得-32<2a-b<32,故選A.
二、填空題(每小題5分,共計(jì)20分)
13.復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是___________.
【答案】?2+i
【解析】
【分析】
由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)5i?2,求出即可.
【詳解】解:∵ 5i?2=5(?2?i)(?2+i)(?2?i)=5(?2?i)5=?2?i,
∴復(fù)數(shù)5i-2的共軛復(fù)數(shù)是?2+i
故答案為:?2+i
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.
14.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f′(2)=________.
【答案】?32
【解析】
【分析】
將f′(1)看成常數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′(x),令x=2即可求出f′(2).
【詳解】解:f′(x)=2f′(1)+1x,
令x=1得f′(1)=2f′(1)+1,
f′1=?1,所以f(x)=-2x+lnx,f′(x)=?2 +1x,
令x=2得f′(2)=?2 +12 =?32
故答案為:?32.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、考查通過(guò)賦值求出導(dǎo)函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.
15.已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為 .
【答案】23
【解析】
試題分析:f′(x)=x2+2ax+b2,由題意x2+2ax+b2=0有2個(gè)不等實(shí)根,則Δ=4(a2?b2)>0,即a>b,又a,??b的取法共有33=9種,而滿足a>b的有(1,??0),??(2,??0),??(2,??1),??(3,??0),???(3,??1), ??(3,??2)共6種,故所求的概率為P=69=23.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求極值、概率.
16.若曲線fx=ax5+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】?∞,0
【解析】
【分析】
f′(x)=0在0,+∞有解求的取值范圍即可.
【詳解】解:∵f(x)=ax5+lnx有垂直與y軸的切線,
∴f(x)函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零.由函數(shù)的表達(dá)式可知f(x)的定義域?yàn)閤|x>0,
∵f′(x)=5ax4+1x,根據(jù)上面的推斷,即方程5ax4+1x=0有解.即等于價(jià)于5ax5+1=0有解時(shí)求的取值范圍.結(jié)合x(chóng)為正數(shù),分離得5a=?1x5<0,故a<0.
故答案為:(?∞,0).
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上存在某點(diǎn)的切線方程的應(yīng)用,合理地等價(jià)轉(zhuǎn)化成有解問(wèn)題是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.
三、解答題(共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(1)若復(fù)數(shù)z=1?i?a?i1+i是實(shí)數(shù)(其中a∈R,i是虛數(shù)單位),則求的值.
(2)求曲線y=x,直線y=x?2及y軸所圍成的封閉圖形的面積.
【答案】(1)a=1 ;(2)163 .
【解析】
【分析】
(1)先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)再令虛部為0,求解即可.
(2)利用微積分基本定理即可求出.
【詳解】(1)因?yàn)閦=1-i-a-i1+i=1-i-a-i(1-i)1+i(1-i)=(1-a-12)+a-12i是實(shí)數(shù),
所以a-12=0,所以a=1.
(2)由y=xy=x-2解得x=4,y=2,故面積為04(x-x+2)dx=(23x32-x22+2x)|04=163.
【點(diǎn)睛】(1)本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和基本概念,考查計(jì)算能力;(2)考查微積分基本定理求解區(qū)域面積,均屬于基礎(chǔ)題.
18.下圖為某校數(shù)學(xué)專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)(百分制)頻率分布直方圖,已知80-90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人。
(1)求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n;
(2)現(xiàn)欲將90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的n名人分配到幾所學(xué)校,從中安排2人到甲學(xué)校去,若n人中僅有兩名男生,求安排結(jié)果至少有一名男生的概率.
【答案】(1)6;(2).
【解析】
試題分析:根據(jù)題中所給的頻率分布直方圖找某些信息即可得結(jié)果,第二問(wèn)根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)的基本事件總數(shù),再找出滿足條件的基本事件數(shù),從而得出結(jié)果.
試題解析:(1)80~90分?jǐn)?shù)段頻率為p1=(0.04+0.03)5=0.35,此分?jǐn)?shù)段的學(xué)員總數(shù)為21人所以畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)N為,90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為
p2=1?(0.01+0.04+0.05 +0.04+ 0.03+0.01)5=0.1,所以90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)n=600.1=6;
(2)90~95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的6人中有兩名男生,4名女生設(shè)男生為A1,A2;女生為B1,B2,B3,B4,設(shè)安排
結(jié)果中至少有一名男生為事件A從中取兩名畢業(yè)生的所有情況(基本事件空間)為
A1A2;A1B1;A1B2;A1B3;A1B4;A2B1;A2B2;A2B3;A2B4; B1B2,B1B3,B1B4;B2B3;B2B4;B3B4;共15種
組合方式,每種組合發(fā)生的可能性是相同的其中, 至少有一名男生的種數(shù)為
A1A2;A1B1;A1B2;A1B3;A1B4;A2B1;A2B2;A2B3;A2B4;共9種, 所以,.
考點(diǎn):(1)頻率分布直方圖;(2)古典概型.
19.已知函數(shù)f(x)=ax2+blnx在x=1處有極值12.
(1)求a,b的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1e,e上的最值.
【答案】(1)a=12b=-1;單增區(qū)間為(1,+∞);單減區(qū)間為(0,1); (2)最大值為e22-1;最小值為12.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值得關(guān)系即可求出,b的值;再讓導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間,小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可.(注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間
(2)由(1)可知f(x)區(qū)間1e,1函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間1,e函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,即可求出最值,特別注意最大值要比較f1e和fe的大小.
【詳解】(1)f(x)=2ax+bx
由題意f(1)=12,f(1)=0,?a+bln1=a+0=12,2a+b=0,?a=12b=-1;
所以f(x)=12x2-lnx,定義域?yàn)?0,+∞)
令f(x)>0?x-1x>0?x2-1>0?x>1,∴單增區(qū)間為(1,+∞);
令f(x)<0?x-1x<0?x2-1<0?00的概率.
(2)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足a?b=?1的概率.
【答案】(1)425; (2)112.
【解析】
【分析】
(1)由已知得到滿足ab>0的事件概率符合幾何概型的概率,只要求出區(qū)域的面積比即可;
(2)符合古典概型概率的求法,只要列舉出所有的事件和滿足ab=?1的事件,由古典概型概率公式解答.
【詳解】(1)用B表示事件“a?b>0”,即x-2y>0試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6},構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,x-2y>0},
如圖所示,所以所求的概率為P(B)=124255=425
(2)設(shè)(x,y)表示一個(gè)基本事件,則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),?(6,5),(6,6),共36個(gè),用A表示事件“a?b=-1”,即x-2y=-1,則A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3個(gè),所以P(A)=336=112。
【點(diǎn)睛】本題考查了兩類概率的求法;古典概型的概率主要明確所有事件和所求事件的個(gè)數(shù),由古典概型的概率公式解答;幾何概型的概率求法要由具體的實(shí)驗(yàn)決定事件的測(cè)度是區(qū)域的長(zhǎng)度還是面積或者體積,然后由概率公式解答,屬于基礎(chǔ)題.
21.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax2?ex?2,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,?f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)函數(shù)h(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
【答案】(Ⅰ) 見(jiàn)解析;(Ⅱ) 見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(1)求切線方程,先求導(dǎo)數(shù)f(x),得出f(1),f(1),切線方程為y?f(1)=f(1)(x?1);
(2)由題意h(x)=f′(x)=ex?2ax?e,則h′(x)=ex?2a,注意x∈[0,1],從而ex∈[1,e],根據(jù)2a≤1,1<2ae2時(shí),∵x∈[0,1],1≤ex≤e,∴2a>ex恒成立,
即h′(x)=ex?2a<0,h(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以h(x)≥h(1)=?2a.
(3)當(dāng)120得增區(qū)間,解不等式f(x)<0得減區(qū)間;
(2)分離參數(shù)得a=2-2lnxx-1,設(shè)h(x)=2?2lnxx?1(x∈(0,13)),可選求出h(x)的值域.因此再求出h(x),研究h(x)的正負(fù),為此設(shè)m(x)=2lnx+2x?2,x∈(0,13),再通過(guò)m(x)可得出h(x)是增函數(shù),從而有h(x)0,
∴f(x)=1-2x,
令f(x)>0,解得:x>2,
令f(x)<0,解得:0
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- 關(guān) 鍵 詞:
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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷
理含解析
II
2018
2019
年高
數(shù)學(xué)
上學(xué)
期末考試
試卷
解析
II
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