精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修三學(xué)業(yè)分層測評:第1章 8 最小二乘估計(jì) Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評 (建議用時(shí):45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.(2014·重慶高考)已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=3,=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(  ) A.=0.4x+2.3     B.=2x-2.4 C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4 【解析】 線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(,),將(,)逐個(gè)代入驗(yàn)證只有A項(xiàng)符合. 【答案】 A 2.(2015·湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y=-0.1 x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(  ) A.x與y負(fù)相

2、關(guān),x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān) C.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān) 【解析】 因?yàn)樽兞縳和y滿足關(guān)系y=-0.1 x+1,其中-0.1<0,所以x與y成負(fù)相關(guān);又因?yàn)樽兞縴與z正相關(guān),不妨設(shè)z=ky+b(k>0),則將y=-0.1x+1代入即可得到: z=k(-0.1x+1)+b=-0.1 kx+(k+b),所以-0.1 k<0,所以x與z負(fù)相關(guān),綜上可知,應(yīng)選A. 【答案】 A 3.在一次試驗(yàn)中,測得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的線性回歸方程為(  ) A.y=x+1 B

3、.y=x+2 C.y=2x+1 D.y=x-1 【解析】?。剑?.5,==3.5,因?yàn)榛貧w方程過樣本中心(,),故A正確. 【答案】 A 4.(2016·廣州高一檢測)已知x,y的取值如下表所示: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若y與x線性相關(guān),且y=0.95x+a,則a=(  ) A.2.2    B.2.9    C.2.8    D.2.6 【解析】?。剑?, ==4.5, 又回歸直線經(jīng)過(,), 所以4.5=0.95×2+a,a=2.6. 【答案】 D 5.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x(單位:℃

4、)與某取暖商品的銷售額y(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表: 平均氣溫x(℃) -2 -3 -5 -6 銷售額y(萬元) 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù),用線性回歸的方法,求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程y=a+bx的系數(shù)b=-2.4.則預(yù)測平均氣溫為-8 ℃時(shí),該商品的銷售額為(  ) A.34.6萬元     B.35.6萬元 C.36.6萬元 D.37.6萬元 【解析】 由已知,得==-4, ==25, 所以a=-b=25+2.4×(-4)=15.4, 即線性回歸方程為y=15.4-2.4 x, 當(dāng)x=-8時(shí),y=34.6. 【

5、答案】 A 二、填空題 6.(2016·濰坊高一檢測)某地區(qū)近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y=0.8x+0.1(單位:億元),預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元,則年支出估計(jì)是________億元. 【解析】 由題意知,y=0.8×15+0.1=12.1(億元), 即年支出估計(jì)是12.1億元. 【答案】 12.1 7.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程:y=0.254x+0.321.由線性回歸方程可知,家庭年收入每增加1萬元

6、,年飲食支出平均增加________萬元. 【解析】 [0.254(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254(萬元). 【答案】 0.254 8.對一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測了4次,得到如下表所示的數(shù)據(jù),則刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為________. x 1 2 3 4 y 1 3 5 6 【解析】?。?.5,=3.75,xiyi=46,x=30, b==1.7,a=-b=-0.5. 所以所求的線性回歸方程為y=1.7x-0.5. 【答案】 y=1.7x-0.5 三、解答題 9.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(

7、萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求: 【導(dǎo)學(xué)號:63580016】 (1)線性回歸方程y=bx+a; (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少? 【解】 (1)制表如下: i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36

8、 90 =4,=5,x=90,xiyi=112.3 于是有b===1.23. a=-b=5-1.23×4=0.08. 故線性回歸方程是y=1.23x+0.08. (2)根據(jù)線性回歸方程是y=1.23x+0.08, 當(dāng)x=10(年)時(shí),y=1.23×10+0.08=12.38(萬元), 即估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是12.38萬元. 10.從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,x=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程

9、=bx+a; (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān); (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄. 附:線性回歸方程y=bx+a中,b=,a=-b, 其中,為樣本平均值,線性回歸方程也可寫為=x+. 【解】 (1)由題意知,n=10,=xi==8, =y(tǒng)i==2, 又lxx=x-n2=720-10×82=80, lxy=xiyi-n =184-10×8×2=24, 由此得b===0.3,a=-b=2-0.3×8=-0.4. 故所求回歸方程為y=0.3x-0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b=0.3

10、>0),故x與y之間是正相關(guān). (3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元). [能力提升] 1.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表: 廣告費(fèi)用x(萬元) 2 3 4 5 銷售額y(萬元) 26 39 49 54 根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(  ) A.63.6萬元   B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元 【解析】 ∵==,==42. ∴42=9.4×+a,∴a=9.1, ∴回歸方程為y=9.4x+9.1,

11、 當(dāng)x=6時(shí),y=9.4×6+9.1=65.5(萬元). 【答案】 B 2.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是 (  ) A.b>b′,a>a′ B.b>b′,a<a′ C.b<b′,a>a′ D.b<b′,a<a′ 【解析】 b′==2,a′=0-2×1=-2, xiyi=0+4+3+12+15+24=58,=

12、3.5,=. x=1+4+9+16+25+36=91, ∴b==. a=-×3.5=-=-. ∴b<b′,a>a′. 【答案】 C 3.期中考試后,某校高三(9)班對全班65名學(xué)生的成績進(jìn)行分析,得到數(shù)學(xué)成績y對總成績x的回歸直線方程為y=6+0.4x.由此可以估計(jì):若兩個(gè)同學(xué)的總成績相差50分,則他們的數(shù)學(xué)成績大約相差________分. 【解析】 令兩人的總成績分別為x1、x2,則對應(yīng)的數(shù)學(xué)成績估計(jì)為y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 【答案】 20 4.研究某設(shè)備的使用年限x

13、與維修費(fèi)用y之間的關(guān)系,測得一組數(shù)據(jù)如下(y值為觀察值): 年限x(年) 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y(萬元) 3 4.4 5 5.6 6.2 由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)系,可以用一條直線l的方程來反映這種關(guān)系. (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖; (2)如果直線l過散點(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn),求出直線l的方程; (3)如果直線l過散點(diǎn)圖中的中間點(diǎn)(即點(diǎn)(4,5)),且使維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線l上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對值之和最小,求出直線l的方程. 圖1­8­1 【解】 (1)如下圖所示. (2)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中的最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)分別是(2,3),(6,6.2), 所以直線l的方程是=, 即4x-5y+7=0. (3)由題意可設(shè)直線l的方程為y=k(x-4)+5. 則維修費(fèi)用的每一個(gè)觀察值與直線l上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對值之和 S(k)=|3-(-2k+5)|+|4.4-(-k+5)|+|5.6-(k+5)|+|6.2-(2k+5)|=2|k-1|+4|k-0.6| = 因?yàn)楹瘮?shù)S(k)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0.6,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0.6),所以當(dāng)k=0.6時(shí),S(k)取得最小值0.8,此時(shí)直線l的方程是3x-5y+13=0.

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