高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案34

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1、 精品資料 學(xué)案34　一元二次不等式及其解法 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖． 自主梳理 1．一元二次不等式的定義 只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是____的不等式叫一元二次不等式． 2．二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關(guān)系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2

2、＋bx ＋c(a>0) 的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1,2＝ (x1<x2) 有兩相等實根 x1＝x2 ＝________ 沒有實根 一元二 次不等 式ax2 ＋bx＋ c>0 的解集 a>0 {x|x<x1， 或x>x2} {x|x≠____} ______ a<0 {x|x1<x<x2} ____ ____ 自我檢測 1．(2011·廣州模擬)已知p：關(guān)于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R

3、，q：－1<a<0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 3．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 4．(2

4、011·廈門月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，則y＝f(－x)的圖象是(　　) 5．當(dāng)x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍為________________. 探究點一　一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)－x2＋2x－>0； (2)9x2－6x＋1≥0. 變式遷移1　解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0； (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)8x－1≥16x2. 探究點二　

5、含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2　已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2－2x＋a<0. 變式遷移2　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 探究點三　一元二次不等式恒成立問題 例3　(2011·巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 變式遷移3　(1)關(guān)于x的不等式<2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． (2)若不等式x2＋px>4x＋p

6、－3對一切0≤p≤4均成立，試求實數(shù)x的取值范圍． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　(12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【答題模板】 解　由已知不等式的解集為(α，β)可得a<0， ∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， ∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得[4分] ∵a<0，∴由②得c<0，[5分] 則cx2＋bx＋a<0可化為x2＋x＋>0.[6分] ①÷②，得＝＝－<0，由②得＝＝·

7、;>0， ∴、為方程x2＋x＋＝0的兩根．[10分] ∵0<α<β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x<或x>}．[12分] 【突破思維障礙】 由ax2＋bx＋c>0的解集是一個開區(qū)間，結(jié)合不等式對應(yīng)的函數(shù)圖象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判斷二次項系數(shù)c的正負(fù)，由方程根與系數(shù)關(guān)系知＝α·β>0，因a<0，∴c<0，從而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根對應(yīng)的兩個集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替參數(shù)c、b、a，需對不等式cx2＋bx＋a<0

8、兩邊同除c或a，用α、β代替后，就不難找到要求不等式對應(yīng)方程的兩根，從而求出不等式的解集．本題較好地體現(xiàn)了三個“二次”之間的相互轉(zhuǎn)化． 1．三個“二次”的關(guān)系：二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)常將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決．一元二次不等式解集的端點值就是相應(yīng)的一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點． 2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：解含參數(shù)的一元二次不等式可按

9、如下步驟進(jìn)行：1°二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系.3°確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式． 3．不等式恒成立問題：不等式恒成立，即不等式的解集為R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的條件是 (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．[－，－1)∪(1，] B

10、．[－，－1]∪(1，) C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2) 2．(2010·撫順模擬)已知集合P＝{x|>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，則x∈Q是x∈P的(　　) A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 3．(2011·銀川模擬)已知集合M＝{x|x2－2 008x－2 009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2 009，2 010]，則(　　) A．a(chǎn)＝2 009，b＝－2 010 B．a(chǎn)＝－2 009，b

11、＝2 010 C．a(chǎn)＝2 009，b＝2 010 D．a(chǎn)＝－2 009，b＝－2 010 4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m>1 B．m<－1 C．m<－ D．m>1或m<－ 5．(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．在R上定義運算?：x?y＝

12、x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為________． 7．已知函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)>1的x的取值范圍為______________． 8．(2011·泉州月考) 已知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為__________________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)解關(guān)于x的不等式<0 (a∈R)．

13、 10．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 11．(14分)(2011·煙臺月考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3. (1)當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 學(xué)案34　一元二次不等式及其解法 自主梳理 1．2　2.－?。　?　? 自我檢測 1．C　2.A　3.A　4.D 5．(－∞，－5] 解析　記f(x)＝x2＋mx＋4，根據(jù)題意得 　解得m≤－

14、5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　解一元二次不等式的一般步驟 (1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)計算相應(yīng)的判別式． (3)當(dāng)Δ≥0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根． (4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集． 解　(1)兩邊都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因為3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－，x2＝1＋， 所以原不等式的解集是{x|1－<x<1＋}． (2)∵不等式9x2－6x＋1≥0， 其相應(yīng)方程9x2

15、－6x＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0， ∴上述方程有兩相等實根x＝， 結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－6x＋1的圖象知，原不等式的解集為R. 變式遷移1　解　(1)∵不等式2x2＋4x＋3<0可轉(zhuǎn)化為 2(x＋1)2＋1<0，而2(x＋1)2＋1>0， ∴2x2＋4x＋3<0的解集為?. (2)兩邊都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0， 因為3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是 x1＝－2，x2＝， 所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)． (3)原不等式可轉(zhuǎn)化為16x2－8x＋1≤0， 即(4x－1)2≤0， ∴原不

16、等式的解集為{}． 例2　解題導(dǎo)引　(1)含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏． (2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形，以便確定解集的形式． (3)其次對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集． 解　上述不等式不一定為一元二次不等式，當(dāng)a＝0時為一元一次不等式，當(dāng)a≠0時為一元二次不等式，故應(yīng)對a進(jìn)行討論，然后分情況求解． (1)a＝0時，解為x>0. (2)a>0時，Δ＝4－4a2. ①當(dāng)Δ>0，即0<a

17、<1時， 方程ax2－2x＋a＝0的兩根為， ∴不等式的解集為{x|<x<}． ②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時，x∈?； ③當(dāng)Δ<0，即a>1時，x∈?. (3)當(dāng)a<0時， ①Δ>0，即－1<a<0時， 不等式的解集為{x|x<或x>}． ②Δ＝0，即a＝－1時，不等式化為(x＋1)2>0， ∴解為x∈R且x≠－1. ③Δ<0，即a<－1時，x∈R. 綜上所述，當(dāng)a≥1時，原不等式的解集為?； 當(dāng)0<a<1時，解集為 {x|<x<}； 當(dāng)a＝0時，解集為{x|x&g

18、t;0}； 當(dāng)－1<a<0時，解集為 {x|x<或x>}； 當(dāng)a＝－1時，解集為{x|x∈R且x≠－1}； 當(dāng)a<－1時，解集為{x|x∈R}． 變式遷移2　解?、佼?dāng)a＝0時，解得x>1. ②當(dāng)a>0時，原不等式變形為(x－)(x－1)<0， ∴a>1時，解得<x<1； a＝1時，解得x∈?； 0<a<1時，解得1<x<. ③當(dāng)a<0時，原不等式變形為(x－)(x－1)>0， ∵<1，∴解不等式可得x<或x>1. 綜上所述，當(dāng)a<0時，不等式解集

19、為(－∞，)∪(1，＋∞)； 當(dāng)a＝0時，不等式解集為(1，＋∞)； 當(dāng)0<a<1時，不等式解集為(1，)； 當(dāng)a＝1時，不等式解集為?； 當(dāng)a>1時，不等式解集為(，1)． 例3　解題導(dǎo)引　注意等價轉(zhuǎn)化思想的運用，二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題． 解　方法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a. ①當(dāng)a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； ②當(dāng)a∈[－

20、1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1. 方法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知， 得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 變式遷移3　解　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0. 要使原不等式對任意實數(shù)x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對任意實數(shù)x恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m)

21、<0， 整理并解得m<－2. ∴實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2)． (2)∵x2＋px>4x＋p－3， ∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0. 令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則要使它對0≤p≤4均有g(shù)(p)>0， 只要有. ∴x>3或x<－1. ∴實數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 課后練習(xí)區(qū) 1．A　[由已知有(x2－1)≥0， ∴　∴ ∴－≤x<－1或1<x≤.] 2．D　[化簡得P＝{x<－1，或x>1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之間不存在包含關(guān)系， 所

22、以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要條件．] 3．D　[化簡得M＝{x|x<－1或x>2 009}， 由M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]可知N＝{x|－1≤x≤2 010}，即－1,2 010是方程x2＋ax＋b＝0的兩個根． 所以b＝－1×2 010＝－2 010，－a＝－1＋2 010，即a＝－2 009.] 4．C　[當(dāng)m＝－1時，不等式變?yōu)?x－6<0，即x<3，不符合題意． 當(dāng)m≠－1時，由題意知 化簡，得 解得m<－.] 5．B　[(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0， 即aix(aix－

23、2)<0，由于ai>0，這個不等式可以化為 x<0，即0<x<，若對每個都成立，則應(yīng)最小， 即ai應(yīng)最大，也即是0<x<.] 6．(－，) 解析　由題意知，(x－a)?(x＋a)<1 ?(x－a)(1－x－a)<1 ?x2－x－(a2－a－1)>0. 因上式對x∈R都成立， 所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0， 即4a2－4a－3<0.所以－<a<. 7．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　當(dāng)x>0時，由log2x>1，得x>2； 當(dāng)x≤0時，由x2>1，得x&l

24、t;－1. 綜上可知，x的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2) 解析　由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x<0時，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)； 當(dāng)x>0時，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 故不等式f(x2－6)>1等價于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2<x2－6≤0或0≤x2－6<3， 解得x∈(2,3)∪(－3，－2)． 9．解　<0?(x－a)(x－a2)<0，(2分) ①當(dāng)a＝0或a＝1時，原不等式的解集為?；(

25、4分) ②當(dāng)a<0或a>1時，a<a2，此時a<x<a2；(7分) ③當(dāng)0<a<1時，a>a2，此時a2<x<a.(10分) 綜上，當(dāng)a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|a<x<a2}； 當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為{x|a2<x<a}； 當(dāng)a＝0或a＝1時，原不等式解集為?.(12分) 10．解　由ax2＋bx＋c≥0的解集為 ，知a<0，(3分) 又×2＝<0，則c>0. 又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，(6分) ∴

26、－＝，即＝－. 又∵＝－，∴b＝－a，c＝－a.(8分) ∴不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)閤2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， ∴所求不等式的解集為.(12分) 11．解　(1)∵x∈R時，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， ∴－6≤a≤2.(4分) (2)當(dāng)x∈[－2,2]時，設(shè)g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)： ①如圖(1)，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方，滿足條件時， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分) ②如圖(2)，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈[－2，＋∞)時，g(x)≥0， 即 即? 解之，得a∈?.(10分) ③如圖(3)，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈(－∞，2]時，g(x)≥0，即 即? ?－7≤a≤－6.(13分) 綜合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)