高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù)

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1、 精品資料 第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù) 一、選擇題 1．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過點，則f(2)＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．4 C. D. 解析 設(shè)f(x)＝xα，因為圖像過點，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝. 答案 C 2．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足＝3，則f()的值為(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析 設(shè)f(x)

2、＝xα，則由＝3，得＝3. ∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝. 答案 D 3．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為 (　　)． A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 解析　f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－

3、 D．3 解析　f(a)＋f(1)＝0?f(a)＋2＝0?或解得a＝ －3. 答案　A 5 .函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱．據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是(　　)． A．{1,2} B．{1,4} C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64} 解析　設(shè)關(guān)于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有兩根，即f(x)＝

4、t1或f(x)＝t2. 而f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象關(guān)于x＝－對稱，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的兩根也關(guān)于x＝－對稱．而選項D中≠. 答案　D 6．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，a為正整數(shù)，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個小于1的不等正根，則a的最小值是 (　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由題意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.當a越大，y＝f(x)的開口越小，當a越小，y＝f(x)的開口越大，而y＝f(x)的開口最大時，y＝f(x)過(0,1)，(1,1)，則c＝1，a＋b＋c＝1.

5、a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a為正整數(shù)，即a的最小值為5. 答案　C 二、填空題 7．對于函數(shù)y＝x2，y＝x有下列說法：①兩個函數(shù)都是冪函數(shù)；②兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；③它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱；④兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；⑤兩個函數(shù)都經(jīng)過點(0,0)、(1,1)；⑥兩個函數(shù)的圖像都是拋物線型． 其中正確的有________． 解析 從兩個函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進行比較． 答案 ①②⑤⑥ 8．若二次函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋c的值域為[0，＋∞)，則a，c滿足的條件是________． 解析　由已知得

6、? 答案　a>0，ac＝4 9．方程x2－mx＋1＝0的兩根為α、β，且α＞0,1＜β＜2，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　∵∴m＝β＋. ∵β∈(1,2)且函數(shù)m＝β＋在(1,2)上是增函數(shù)， ∴1＋1＜m＜2＋，即m∈. 答案　 10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時滿足條件： ①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0； ②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0， 則m的取值范圍是________． 解析　當x<1時，g(x)<0，當x>1時，g(x)>0，當x＝1時，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當m>0時，根

7、據(jù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性，一定存在區(qū)間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時不符合第①條的要求；當m<0時，如圖所示，如果符合①的要求，則函數(shù)f(x)的兩個零點都得小于1，如果符合第②條要求，則函數(shù)f(x)至少有一個零點小于－4，問題等價于函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點，其中較大的零點小于1，較小的零點小于－4，函數(shù)f(x)的兩個零點是2m，－(m＋3)，故m滿足或解第一個不等式組得－4

8、y＝f(x)的表達式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點.求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達式． 解　設(shè)在[－1,1)上，f(x)＝xn，由點在函數(shù)圖象上，求得n＝3. 令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期為2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)． 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4, 6]． (1)當a＝－2時，求f(x)的最值； (2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)[理]當a＝1時，求f(|x|)的單

9、調(diào)區(qū)間． 解 (1)當a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1， 又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸是x＝－a， 所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6 或a≥4. (3)當a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域為x∈[－6,6]， 且f(x)＝ ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間

10、是(0,6]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]． 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍． 解　不等式ax2－2x＋2>0等價于a>， 設(shè)g(x)＝，x∈(1,4)，則 g′(x)＝ ＝＝， 當10，當2， 因此實數(shù)a的取值范圍是. 14．已知函數(shù)f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)滿足f(2)0，使函

11、數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域為？若存在，求出q；若不存在，請說明理由． 解　(1)∵f(2)0，解得－10滿足題設(shè)，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點處取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝， g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2，∴存在q＝2滿足題意．