【名校資料】人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：55 數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ [A組　基礎(chǔ)演練能力提升] 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b8＋a9＝(　　) A．24　　　　　　　　　 B．32 C．48 D．64 解析：依題意有，an＋an＋1＝bn，anan＋1＝2n，又a1＝1，故a2＝2，a3＝2，a4＝22，a5＝22，a6＝23，a7＝23，a8＝24，a9＝24，故b8＋a9＝(a8＋a9)＋a9＝a8＋2a9＝324＝48. 答案：C 2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，

2、其公比q≠1，若a4＝b4，a12＝b12，則(　　) A．a(chǎn)8＝b8 B．a(chǎn)8>b8 C．a(chǎn)8b8或a8 ＝ ＝b8. 答案：B 3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝(　　) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．1 解析：由題意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項(xiàng)都是正數(shù))，又bn＋1bn－1

3、＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2. 答案：C 4．(2013年高考遼寧卷)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題： P1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； P2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； P3：數(shù)列{}是遞增數(shù)列； P4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 解析：設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若a

4、n＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題． 答案：D[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 5．(2014年保定調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，若b＝，則a＋c的最大值為(　　) A. B．3 C．2 D．9[來(lái)源:] 解析：∵acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列， ∴2bcos B＝acos C＋ccos A， ∴cos B＝，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝，即3≥，當(dāng)

5、且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立， ∴a＋c≤2. 答案：C 6．若關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0與x2－x＋b＝0(a≠b)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a＋b的值是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)兩個(gè)方程的根分別為x1、x4和x2、x3. 因?yàn)閤1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝，x4＝，從而x2＝，x3＝. 則a＝x1x4＝，b＝x2x3＝，或a＝，b＝，∴a＋b＝＋＝. 答案：D 二、填空題 7．(2013年高考重慶卷)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：因?yàn)?/p>

6、{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 8．《九章算術(shù)》之后，人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來(lái)解決更多的問(wèn)題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))，共織390尺布”，則每天比前一天多織________尺布．(不作近似計(jì)算) 解析：由題意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝305＋d?d＝. 答案： 9．(2014年合肥模擬)已知數(shù)列{an}滿足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝

7、1，a2＝2，a3＝3，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝________.[來(lái)源:] 解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an，所以數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列，再令n＝1，求得a4＝4，每四個(gè)一組可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)＋a2 013＝10503＋1＝5 031. 答案：5 031 三、解答題 10．(2014年大同模擬)已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝21，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列． (1)求an； (2)設(shè){bn}是首

8、項(xiàng)為2，公差為－a1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，求不等式Tn－bn>0的解集． 解析：(1)∵4a1，a2，a2成等差數(shù)列，∴4a1＋a2＝3a2， 即4a1＝2a2，∴q＝2. 則S6＝＝21，解得a1＝，∴an＝. (2)由(1)得－a1＝－， ∴bn＝2＋(n－1)＝， Tn＝2n＋(n－1)＝， ∴Tn－bn>0，即－>0，解得10的解集為{n∈N*|1

9、nlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值． 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，∴a2＋a4＝20， ∴，解得或.又?jǐn)?shù)列{an}單調(diào)遞增，∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n. (2)由題意知bn＝2nlog2n＝－n2n，∴－Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，① ∴－2Sn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，② ∴①－②得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2， ∵Sn

10、＋n2n＋1>50，∴2n＋1－2>50，∴2n＋1>52，又當(dāng)n≤4時(shí)，2n＋1≤25＝32<52，當(dāng)n≥5時(shí)，2n＋1≥26＝64>52.故使Sn＋n2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5. 12．(能力提升)(2013年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 解析：(1)依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. (2)當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－

11、1)3－(n－1)2－(n－1)， 兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1， 故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，[來(lái)源:] 所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2. (3)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，＝1<； 當(dāng)n＝2時(shí)，＋＝1＋＝<； 當(dāng)n≥3時(shí)，＝<＝－，此時(shí) ＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<. 綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. [B組　因材施教備選練習(xí)] 1．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差數(shù)

12、列，則q的值為(　　) A. B. C. D.或 解析：∵a2，a3，a1成等差數(shù)列，∴a3＝a1＋a2，∴q2＝1＋q，∴q＝或q＝，等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴q＝不滿足題意，舍去，∴q＝. 答案：C[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] 2．(2014年成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝.若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(　　) A．0 B．－9 C．9 D．1 解析：由數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*可知該數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)題意可知只要該

13、數(shù)列中a5＝，數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和就能計(jì)算得到一個(gè)定值，又因?yàn)閒(x)＝sin 2x＋1＋cos x，則可令數(shù)列{an}的公差為0，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為S9＝(sin 2a1＋sin 2a2＋…＋sin 2a9)＋(cos a1＋cos a2＋…＋cos a9)＋9＝9sin 2a5＋9cos a5＋9＝9sin＋9cos ＋9＝9. 答案：C 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，不等式Tn>loga(1－a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

14、 解析：(1)∵點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上， ∴Sn＝n2＋n，① 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，② ①－②得an＝n. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝＋＝1，符合上式， ∴an＝n. (2)由(1)得＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋… ＋＋ ＝＝－. ∵Tn＋1－Tn＝>0，∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增． ∴(Tn)min＝T1＝. 要使不等式Tn>loga(1－a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，只要>loga(1－a)即可． ∵1－a>0，∴0a，即0