高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三章 3.5

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1、 精品資料 3.5　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用 1． y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2． 用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)． 如下表所示. x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3． 函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋

2、φ)的圖象的步驟如下： 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)作函數(shù)y＝sin(x－)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，確定的五點(diǎn)是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)這五個(gè)點(diǎn)． (　　) (2)將y＝3sin 2x的圖象左移個(gè)單位后所得圖象的解析式是y＝3sin(2x＋)． (　　) (3)y＝sin(x－)的圖象是由y＝sin(x＋)的圖象向右移個(gè)單位得到的． (　√　) (4)y＝sin(－2x)的遞減區(qū)間是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z. (　　) (5)函數(shù)f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分

3、別為π，0. (　√　) (6)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為. (　√　) 2． 把函數(shù)y＝sin(x＋)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為 (　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 答案　A 解析　將y＝sin(x＋)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y＝sin(2x＋)；再將圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，x＝－是

4、其圖象的一條對(duì)稱軸方程． 3． (2013四川)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示， 則ω，φ的值分別是 (　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案　A 解析　T＝－，T＝π，∴ω＝2， ∴2＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－， 又φ∈，∴φ＝－，選A. 4． 設(shè)函數(shù)f(x)＝cos ωx (ω>0)，將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則ω的最小值等于 (　　) A． B．3 C．6 D．9 答

5、案　C 解析　由題意可知，nT＝ (n∈N*)， ∴n＝ (n∈N*)， ∴ω＝6n (n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，ω取得最小值6. 5． 已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)＝2sin (|φ|<)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為_(kāi)_________． 答案　6， 解析　由題意知1＝2sin φ，得sin φ＝，又|φ|<， 得φ＝；而此函數(shù)的最小正周期為T＝2π＝6. 題型一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換 例1　設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期為π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期

6、的閉區(qū)間上的圖象； (3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到． 思維啟迪　將f(x)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，由周期是π求ω，用五點(diǎn)法作圖要找關(guān)鍵點(diǎn)． 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)， 又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2. ∴f(x)＝2sin(2x＋)． ∴函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅為2，初相為. (2)令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象： x － X 0 π 2π y＝sin X 0

7、 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 (3)方法一　把y＝sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再把y＝sin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象，最后把y＝sin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 方法二　將y＝sin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到

8、y＝2sin的圖象． 思維升華　(1)五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象． (2)圖象變換：由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”． 　已知函數(shù)f(x)＝3sin，x∈R. (1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖； (2)將函數(shù)y＝sin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？ 解　(1)列表取值： x π π π π x－

9、 0 π π 2π f(x) 0 3 0 －3 0 描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖． (2)先把y＝sin x的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖象． 題型二　求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝ (2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0

10、，|φ|<，ω>0)的圖象的一部分如 圖所示，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)___________． 思維啟迪　(1)根據(jù)周期確定ω，據(jù)f(0)＝和|φ|<確定φ； (2)由點(diǎn)(0,1)在圖象上和|φ|<確定φ，再根據(jù)“五點(diǎn)作圖法”求ω. 答案　(1)D　(2)f(x)＝2sin 解析　(1)∵f(x)(ω>0，|φ|<)的最小正周期為π， ∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sin φ＝， 即sin φ＝(|φ|<)，∴φ＝. (2)觀察圖象可知：A＝2且點(diǎn)(0,1)在圖象上， ∴1＝2sin(ω0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝. 又∵π是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過(guò)

11、x軸形成的零點(diǎn)，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin. 思維升華　根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮： ①A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A＝； ②k的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即k＝； ③ω的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)來(lái)確定ω； ④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k最開(kāi)始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)確定φ. 　如圖為y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一段． (1)求其解析式； (2)若將y＝Asin(ωx＋φ)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得y

12、＝f(x)， 求f(x)的對(duì)稱軸方程． 解　(1)由圖象知A＝， 以M為第一個(gè)零點(diǎn)，N為第二個(gè)零點(diǎn)． 列方程組　解之得 ∴所求解析式為y＝sin. (2)f(x)＝sin ＝sin， 令2x－＝＋kπ(k∈Z)，則x＝π＋ (k∈Z)， ∴f(x)的對(duì)稱軸方程為x＝π＋ (k∈Z)． 題型三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如下圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當(dāng)x∈[－6，－]時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值． 思維

13、啟迪　(1)→→ 解　(1)由圖象知A＝2，T＝8， ∵T＝＝8，∴ω＝. 又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0. ∵|φ|<，∴φ＝. ∴f(x)＝2sin(x＋)． (2)y＝f(x)＋f(x＋2) ＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋) ＝2sin(x＋)＝2cos x. ∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－， ∴當(dāng)x＝－，即x＝－時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值； 當(dāng)x＝－π，即x＝－4時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2. 思維升華　利用函數(shù)的圖象確定解析式后，求出y＝f(x)＋f(x＋2)，然后化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，利用

14、整體思想(將ωx＋φ視為一個(gè)整體)求函數(shù)最值． 　(1)已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)(0<θ<π)，其圖象與直線y＝2的某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2，若|x2－x1|的最小值為π，則 (　　) A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ (2)如圖，單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離s cm和 時(shí)間t s的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋)，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需 的時(shí)間為 (　　) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 答案　

15、(1)A　(2)D 解析　(1)∵y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)，∴θ＝. ∵圖象與直線y＝2的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x1、x2、|x2－x1|min＝π， ∴＝π，ω＝2. (2)T＝＝1，∴選D. 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問(wèn)題 典例：(14分)已知函數(shù)f(x)＝2sin(＋)cos(＋)－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期． (2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 思維啟迪　(1)先將f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期； (2)將f(x)解析式中的x換

16、成x－，得g(x)，然后利用整體思想求最值． 規(guī)范解答 解　(1)f(x)＝2sin(＋)cos(＋)－sin(x＋π) ＝cos x＋sin x [3分] ＝2sin(x＋) [5分] 于是T＝＝2π. [6分] (2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋) [8分] ∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，] ∴sin(x＋)∈[－，1]， [10分] ∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2] [12分] 故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，

17、π]上的最大值為2，最小值為－1. [14分] 解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問(wèn)題的一般步驟： 第一步：將f(x)化為asin x＋bcos x的形式． 第二步：構(gòu)造f(x)＝(sin x＋cos x)． 第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)． 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)． 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)在第(1)問(wèn)的解法中，使用輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)(其中tan φ

18、＝)，在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注． (2)求g(x)的最值一定要重視定義域，可以結(jié)合三角函數(shù)圖象進(jìn)行求解． 方法與技巧 1． 五點(diǎn)法作圖及圖象變換問(wèn)題 (1)五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖要取好五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，注意曲線凸凹方向； (2)圖象變換時(shí)的伸縮、平移總是針對(duì)自變量x而言，而不是看角ωx＋φ的變化． 2． 由圖象確定函數(shù)解析式 由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象確定A、ω、φ的題型，常常以“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置．要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn)． 3． 對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與

19、x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，經(jīng)過(guò)該圖象上坐標(biāo)為(x，A)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸，這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰平衡點(diǎn)間的距離)． 失誤與防范 1． 由函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，如先伸縮，則平移時(shí)要把x前面的系數(shù)提出來(lái)． 2． 復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx＋φ看做一個(gè)整體．若ω<0，要先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 為得到函數(shù)y＝cos(2x＋)的

20、圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象 (　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　A 解析　y＝cos(2x＋)＝sin[＋(2x＋)] ＝sin(2x＋)． 故要得到y(tǒng)＝sin(2x＋)＝sin 2(x＋)的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度． 2． 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<)的部分圖象如圖所示，則 函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　) A．[－，] B．[－，－] C．[－，] D．[－，] 答案　D 解析　由

21、函數(shù)的圖象可得T＝π－π， ∴T＝π，則ω＝2. 又圖象過(guò)點(diǎn)(π，2)，∴2sin(2π＋φ)＝2， ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z， 取k＝0，即得f(x)＝2sin(2x－)， 其單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z，取k＝0，即得選項(xiàng)D. 3． 將函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象F向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖象F′，若F′的一個(gè)對(duì)稱中心為，則φ的一個(gè)可能取值是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　圖象F′對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝sin， 則＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z， 令k＝1時(shí)，φ＝，故選D. 4． 設(shè)ω>

22、0，函數(shù)y＝sin(ωx＋)＋2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是 (　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　由函數(shù)向右平移個(gè)單位后與原圖象重合， 得是此函數(shù)周期的整數(shù)倍．又ω>0， ∴k＝，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝. 5． 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間[－，]上的最小值為－2，則ω的取值范圍是 (　　) A．(－∞，－]∪[6，＋∞) B．(－∞，－]∪[，＋∞) C．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D．(－∞，－]∪[，＋∞) 答案　D 解析　當(dāng)ω>0時(shí)，－ω≤ωx≤ω

23、， 由題意知－ω≤－，即ω≥； 當(dāng)ω<0時(shí)，ω≤ωx≤－ω， 由題意知－ω≥，即ω≤－. 綜上可知，ω的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)． 二、填空題 6．已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則ω＝____________. 答案　 解析　依題意，x＝＝時(shí)，y有最小值， ∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z)． ∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因?yàn)閒(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，所以－<，即ω<12，令k＝0， 得ω＝. 7． 若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f＝f，且f＝－3，則實(shí)數(shù)m的值等于___

24、_____． 答案?。?或－5 解析　依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，于是當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最值，因此有2＋m＝－3，解得m＝－5或m＝－1. 8． 某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫值為_(kāi)_______℃. 答案　20.5 解析　由題意得　∴ ∴y＝23＋5cos， x＝10時(shí)，y＝23＋5＝20.5. 三、解答題 9． (2013天津)已知函數(shù)f(x)＝－sin ＋6si

25、n xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝－sin 2xcos －cos 2xsin ＋3sin 2x－cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)的周期為. (1)求ω的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)設(shè)△

26、ABC的三邊a、b、c滿足b2＝ac，且邊b所對(duì)的角為x，求此時(shí)函數(shù)f(x)的值域． 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1) ＝sin(2ωx－)－， 由f(x)的周期T＝＝，得ω＝2， ∴f(x)＝sin(4x－)－， 由2kπ－≤4x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得－＋≤x≤＋(k∈Z)， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 [－＋，＋](k∈Z)． (2)由題意，得cos x＝≥＝， 又∵0

27、間：30分鐘) 1． 函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A，B是最高點(diǎn)， 點(diǎn)C是最低點(diǎn)．若△ABC是直角三角形，則ω的值為(　　) A. B. C. D．π 答案　A 解析　在函數(shù)圖象中，點(diǎn)A，B是最高點(diǎn)，點(diǎn)C是最低點(diǎn)， 根據(jù)對(duì)稱性知△ABC是一個(gè)等腰直角三角形， CA＝CB，點(diǎn)C到斜邊AB的距離為2，則|AB|＝4， 即函數(shù)的周期為T＝4，從而ω＝＝. 2． 函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 (　　) A. B.

28、 C. D. 答案　A 解析　函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最大值為1，最小值為－1，由該函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，可知－＝為半周期，則周期為π，ω＝＝＝2，此時(shí)原函數(shù)式為y＝sin(2x＋φ)，又由函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(，1)，代入可得φ＝，因此函數(shù)為y＝sin(2x＋)，令x＝0，可得y＝. 3． 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ≤)的圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2，且過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)解析式f(x)＝________________. 答案　sin 解析　據(jù)已知兩個(gè)相鄰最高及最低點(diǎn)距離為2，可得＝2

29、，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin. 4． 已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos 2x＋a(a∈R，a為常數(shù))． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的最小值． 解　(1)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos 2x＋a ＝sin 2x－cos 2x＋a＝2sin(2x－)＋a. ∴f(x)的最小正周期為＝π， 當(dāng)2kπ

30、－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， 故所求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位后得g(x)＝2sin[2(x＋m)－]＋a要使g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，只需2m－＝kπ＋(k∈Z)． 即m＝＋(k∈Z)，所以m的最小值為. 5． (2012湖南)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分圖 象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由題設(shè)圖象知，周期T＝2＝π， 所以ω＝＝2.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又因?yàn)?<φ<，所以<＋φ<. 從而＋φ＝π，即φ＝. 又點(diǎn)(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin ＝1，解得A＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.