高考數學浙江理科一輪【第七章】不等式【下】 第七章 立體幾何

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1、 精品資料 中檔題目強化練——立體幾何 A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 以下關于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 (　　) A．球的三視圖總是三個全等的圓 B．正方體的三視圖總是三個全等的正方形 C．水平放置的各面均為正三角形的四面體的三視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓 答案　A 解析　畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全等的圓． 2． 設α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是(　　)

2、 A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ B．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，則m∥β D．若α∥β，m?β，m∥α，則m∥β 答案　D 解析　對于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A錯；對于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可以平行，可以相交，也可以異面，B錯；對于C，若α⊥β，m⊥α，則m可以在平面β內，C錯；易知D正確． 3． 設α、β、γ為平面，l、m、n為直線，則m⊥β的一個充分條件為 (　　) A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥α C．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ D．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

3、 答案　B 解析　如圖①知A錯；如圖②知C錯；如圖③在正方體中，兩側面α與β相交于l，都與底面γ垂直，γ內的直線m⊥α，但m與β不垂直，故D錯； 由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，則m⊥β，故B正確． 4． 如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB1、BC1的中點， 則下列結論不成立的是 (　　) A．EF與BB1垂直 B．EF與BD垂直 C．EF與CD異面 D．EF與A1C1異面 答案　D 解析　連接B1C，AC，則B1C交BC1于F， 且F為B1C的中點， 又E為AB1的中點，所以EF綊AC， 而B1B⊥平面ABCD

4、，所以B1B⊥AC， 所以B1B⊥EF，A正確； 又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B正確； 顯然EF與CD異面，C正確；由EF綊AC，AC∥A1C1， 得EF∥A1C1.故不成立的選項為D. 5． 若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是 (　　) A．2 B. C．3 D. 答案　A 解析　由三視圖知原幾何體可理解為三個部分拼接而成，其中一個棱長為1的正方體，另外兩個為正方體的一半．因此易得總體積為2. 二、填空題 6． 三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積等于_

5、_______． 答案　 解析　∵PA⊥底面ABC， ∴PA為三棱錐P－ABC的高，且PA＝3. ∵底面ABC為正三角形且邊長為2，∴底面面積為×22×sin 60°＝，∴VP－ABC＝××3＝. 7． 已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點E、F分別是棱PC、PD的中點，則 ①棱AB與PD所在直線垂直； ②平面PBC與平面ABCD垂直； ③△PCD的面積大于△PAB的面積； ④直線AE與直線BF是異面直線． 以上結論正確的是________．(寫出所有正確結論的編號) 答案?、佗? 解析　由條

6、件可得AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，故①正確； 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC， 得PB⊥平面ABCD，從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯； S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA， 由AB＝CD，PD>PA知③正確； 由E、F分別是棱PC、PD的中點， 可得EF∥CD，又AB∥CD， ∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯． 8． 三棱錐S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結論中： ①異面直線SB與AC所成的角為90°； ②直線SB⊥平面ABC； ③

7、平面SBC⊥平面SAC； ④點C到平面SAB的距離是a. 其中正確結論的序號是________． 答案?、佗冖邰? 解析　由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面 SBC⊥平面SAC，①②③正確；取AB的中點E，連接CE，(如圖)可 證得CE⊥平面SAB，故CE的長度即為C到平面SAB的距離a，④ 正確． 三、解答題 9． 如圖，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC， DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2. (1)求證：DB⊥平面B1BCC1； (2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使得D1E∥平面A1BD， 并說明理由

8、． (1)證明　在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，BD＝， 又∵BC＝，CD＝2， ∴∠DBC＝90°，即BD⊥BC. 又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B， ∴BD⊥平面BCC1B1. (2)解　DC的中點即為E點， 連接D1E，BE，∵DE∥AB，DE＝AB， ∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD綊BE. 又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1， ∴四邊形A1D1EB是平行四邊形．∴D1E∥A1B. ∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD， ∴D1E∥平面A1BD. 10．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′， C′D′的中點分

9、別是E，F，G，H，如圖所示． (1)求證：AD′∥平面EFG； (2)求證：A′C⊥平面EFG； (3)判斷點A，D′，H，F是否共面？并說明理由． (1)證明　連接BC′. 在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′， AB∥C′D′， 所以四邊形ABC′D′是平行四邊形， 所以AD′∥BC′. 因為F，G分別是BB′，B′C′的中點， 所以FG∥BC′，所以FG∥AD′. 因為EF，AD′是異面直線， 所以AD′?平面EFG. 因為FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG. (2)證明　連接B′C. 在正方體ABCD－A′B′C′D′中，A′B′

10、⊥平面BCC′B′， BC′?平面BCC′B′， 所以A′B′⊥BC′. 在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′， 因為A′B′?平面A′B′C，B′C?平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′， 所以BC′⊥平面A′B′C. 因為A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C. 因為FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可證A′C⊥EF. 因為EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG＝F， 所以A′C⊥平面EFG. (3)解　點A，D′，H，F不共面．理由如下： 假設A，D′，H，F共面，連接C′F，AF，HF. 由(1)知，AD′∥BC′， 因為BC′?平面BCC′B

11、′，AD′?平面BCC′B′. 所以AD′∥平面BCC′B′. 因為C′∈D′H， 所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F. 因為AD′?平面AD′HF， 所以AD′∥C′F. 所以C′F∥BC′，而C′F與BC′相交，矛盾． 所以點A，D′，H，F不共面． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘) 1． 已知直線l1，l2與平面α，則下列結論中正確的是 (　　) A．若l1?α，l2∩α＝A，則l1，l2為異面直線 B．若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α C．若l1⊥l2，l1⊥α，則l2∥α D．若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2 答案　D

12、 解析　對于選項A，當A∈l1時，結論不成立；對于選項B、C，當l2?α時，結論不成立． 2． 已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題： ①α∥β?l⊥m；?、讦痢挺?l∥m； ③l∥m?α⊥β；?、躭⊥m?α∥β. 其中正確的命題有 (　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 答案　B 解析　①中，??l⊥m，故①正確； ②中，l與m相交、平行、異面均有可能，故②錯； ③中，??α⊥β，故③正確； ④中，α與β也有可能相交，故④錯誤． 3． 如圖所示，是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E、 F分別

13、為PA、PD的中點．在此幾何體中，給出下面四個結論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有 (　　) A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 答案　B 解析　對于①，因為E、F分別是PA、PD的中點， 所以EF∥AD.又因為AD∥BC， 所以EF∥BC.所以BE與CF共面．故①不正確． 對于②，因為BE是平面APD的斜線，AF是平面APD內與BE不相交的直線，所以BE與AF不共面．故②正確． 對于③，由①，知EF∥BC，所以EF∥平面PBC.

14、故③正確． 對于④，條件不足，無法判斷兩平面垂直． 4． 有一個內接于球的四棱錐P－ABCD，若PA⊥底面ABCD，∠BCD＝，∠ABC≠，BC＝3，CD＝4，PA＝5，則該球的表面積為________． 答案　50π 解析　由∠BCD＝90°知BD為底面ABCD外接圓的直徑，則2r＝＝5. 又∠DAB＝90°?PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD. 從而把PA，AB，AD看作長方體的三條棱，設外接球半徑為R，則(2R)2＝52＋(2r)2＝52＋52， ∴4R2＝50，∴S球＝4πR2＝50π. 5． 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90&#

15、176;，BC＝CD＝ ，AD＝BD，EC⊥底面ABCD，FD⊥底面ABCD，且有EC＝ FD＝2. (1)求證：AD⊥BF； (2)若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N，試求二面角B－MF －C的余弦值． (1)證明　∵BC⊥DC，且BC＝CD＝， ∴BD＝2且∠CBD＝∠BDC＝45°. 又AB∥DC，可知∠DBA＝∠CDB＝45°. ∵AD＝BD， ∴△ADB是等腰三角形，且∠DAB＝∠DBA＝45°. ∴∠ADB＝90°，即AD⊥DB. ∵FD⊥底面ABCD于D，AD?平面ABCD， ∴AD⊥DF.

16、 又DF∩DB＝D， ∴AD⊥平面BDF，∵BF?平面DBF， ∴AD⊥BF. (2)解　以點C為原點，直線CD、CB、CE方向為x，y，z軸建 系． 則D(，0,0)，B(0，，0)，F(，0,2)，A(2，，0)， ∵N恰好為BF的中點， ∴N(，，1)． 設M(0,0，z0)，∴＝(，，1－z0)． 由解得z0＝1. 故M為線段CE的中點． 設平面BMF的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 且＝(，－，2)，＝(0，－，1)， 由可得 取x1＝－1， 則得n1＝(－1,1，)． ∵平面MFC的一個法向量為n2＝(0,1,0)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 故所求二面角B－MF－C的余弦值為.