高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三章 3.6

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1、 精品資料 3.6　正弦定理、余弦定理及解三角形 1． 正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin

2、B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r. 3． 在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 4． 實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)

3、視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． (2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等． (3)方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B． (　√　) (2)若滿足條件C＝60，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(，2)． (　√　) (3)若△ABC中，acos

4、B＝bcos A，則△ABC是等腰三角形． (　√　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形． (　　) (5)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180. (　　) 2． (2013湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長分別為a，b，若2asin B＝b，則角A等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A

5、為銳角，∴A＝. 3． (2013陜西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為 (　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 答案　B 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0

6、析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2sin C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120－C) ＝2(sin C＋2sin 120cos C－2cos 120sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角， 由于0＜C＜120，且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值2. 5． 一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_

7、_____ km. 答案　30 解析　如圖所示，依題意有 AB＝154＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30 (km)． 題型一　正、余弦定理的簡單應(yīng)用 例1　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A等于 (　　) A．30 B．60 C．120 D．150 (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，則sin B＋sin C的最

8、大值為 (　　) A．0 B．1 C. D. 思維啟迪　(1)由sin C＝2sin B利用正弦定理得b、c的關(guān)系，再利用余弦定理求A. (2)要求sin B＋sin C的最大值，顯然要將角B，C統(tǒng)一成一個(gè)角，故需先求角A，而題目給出了邊角之間的關(guān)系，可對(duì)其進(jìn)行化邊處理，然后結(jié)合余弦定理求角A. 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b， ∴cos A＝＝＝＝， 又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝30. (2)已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C， 根據(jù)正弦定理，得2

9、a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝120. 故sin B＋sin C＝sin B＋sin(60－B)＝cos B＋sin B＝sin(60＋B)， 故當(dāng)B＝30時(shí)，sin B＋sin C取得最大值1. 思維升華　(1)在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不

10、明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到． (2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制． 　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C等于 (　　) A. B．－ C． D. (2)已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為________． 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由正弦定理＝， 將8b＝5c及C＝2B代入得＝， 化簡得＝， 則cos B＝， 所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2()

11、2－1＝，故選A. (2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝. 由正弦定理知：sin A＝＝， 又a

12、C＝0. 因?yàn)锽＝π－A－C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0

13、n C＋sin(B－A)＝sin 2A，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)∵c＝2，C＝， ∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積為，∴absin C＝，ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0， 當(dāng)cos A＝0時(shí)，∵0

14、 當(dāng)sin A－sin B＝0時(shí)，得sin B＝sin A， 由正弦定理得a＝b， 即△ABC為等腰三角形． ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 題型三　解三角形的實(shí)際應(yīng)用 例3　某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間． 思維啟迪　本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等，先設(shè)出所用時(shí)間t，找出等量關(guān)系，然后解三角

15、形． 解　如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120，設(shè)艦艇靠近漁 輪所需的時(shí)間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在 △ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 120，所以 212t2＝102＋92t2＋2109t，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所 以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為 h．此時(shí)AB＝14，BC＝6. 在△ABC中，根據(jù)正弦定理得＝， 所以sin∠CAB＝＝， 即∠CAB≈21.8或∠CAB≈158.2(舍去)． 即艦艇航行的方位角為45＋21.8＝66.8. 所以艦艇以66.8的

16、方位角航行，需 h才能靠近漁輪． 思維升華　求解測(cè)量問題的關(guān)鍵是把測(cè)量目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中，三角形可解，則至少要知道這個(gè)三角形的一條邊長．解題中注意各個(gè)角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來，注意不要把角的含義弄錯(cuò)，不要把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯(cuò)． 　在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂 端對(duì)于山坡的斜度為15，如圖所示，向山頂前進(jìn)100 m后，又從B 點(diǎn)測(cè)得斜度為45，設(shè)建筑物的高為50 m．求此山對(duì)于地平面的斜 度θ的余弦值． 解　在△ABC中，∠BAC＝15，∠CBA＝180－45＝135，AB＝100 m， 所以∠ACB＝30.

17、 由正弦定理，得＝，即BC＝. 在△BCD中，因?yàn)镃D＝50，BC＝，∠CBD＝45，∠CDB＝90＋θ， 由正弦定理，得＝，解得cos θ＝－1. 因此，山對(duì)地面的斜度θ的余弦值為－1. 代數(shù)式化簡或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤 典例：(14分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 易錯(cuò)分析　(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形； (2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解； (3)結(jié)論表述不規(guī)范． 規(guī)范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A

18、＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos Bb2＝2cos Asin Ba2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B． [6分] 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. [10分] 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2

19、B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形． [14分] 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， [10分] ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC為等腰或直角三角形． [14分] 溫馨提醒　(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶尤缓笈袛?；注意不要輕易兩邊同除以一個(gè)式子． (2)在判斷三角形形狀時(shí)

20、一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響. 方法與技巧 1． 應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)． 2． 正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A，可以進(jìn)行化簡或證明． 3． 合理利用換元法、代入法解決實(shí)際問題． 失誤與防范 1． 在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論． 2．

21、利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制．  A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 在△ABC，已知∠A＝45，AB＝，BC＝2，則∠C等于 (　　) A．30 B．60 C．120 D．30或150 答案　A 解析　在△ABC中，＝，∴＝， ∴sin C＝，又AB

22、　依題意得0，于是有cos B<0，B為鈍角，△ABC是鈍角三角形． 3． (2012湖南)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負(fù)值舍去)． ∴BC

23、邊上的高為ABsin B＝3＝. 4． (2013遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B等于 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由條件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 依正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝， ∴sin(A＋C)＝，從而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 5． 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，則△AB

24、C的面積等于 (　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0， 即(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c. 又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4. ∴S△ABC＝bcsin A＝42 ＝. 二、填空題 6． (2013安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝ 5sin B，則角C＝________. 答案　 解析　由已知條件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a， 則a＝，c＝2a－b＝ cos C＝＝－，又0

25、，因此角C＝. 7． 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，則a＝________. 答案　2 解析　由tan A＝2得sin A＝2cos A. 又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝. ∵b＝5，∠B＝， 根據(jù)正弦定理，有＝， ∴a＝＝＝2. 8． 如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在點(diǎn)A的同側(cè)的河岸邊 選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105， 則A，B兩點(diǎn)的距離為________． 答案　50 m 解析　由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝50. 三、解答題 9． (2013北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠

26、B＝2∠A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理 ＝?＝＝， ∴cos A＝. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(2)2＋c2－22c 則c2－8c＋15＝0. ∴c＝5或c＝3. 當(dāng)c＝3時(shí)，a＝c，∴A＝C. 由A＋B＋C＝π，知B＝，與a2＋c2≠b2矛盾． ∴c＝3舍去．故c的值為5. 10．(2013江西)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大??； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 解　(1

27、)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0， 因?yàn)閟in A≠0，所以sin B－cos B＝0， 即cos B＝sin B. 因?yàn)?0， 所以cos B>0， 所以tan B＝， 即B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 因?yàn)閍＋c＝1，cos B＝， 所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32 ＝(a＋c)2＝， ∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． △A

28、BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則等于 (　　) A．2 B．2 C. D. 答案　D 解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a， ∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， ∴sin B＝sin A，∴＝＝. 2． 有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為(　　) A．1 B．2sin 10 C．2cos 10 D．cos 20 答案　C 解析　如圖，∠ABC＝20， AB＝1，

29、∠ADC＝10， ∴∠ABD＝160. 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AD＝AB＝＝2cos 10. 3． (2013浙江)在△ABC中，∠C＝90，M是BC的中點(diǎn)．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝________. 答案　 解析　因?yàn)閟in∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.如圖，在△ABM中，利用 正弦定理，得＝，所以＝＝＝. 在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM， 所以＝sin(∠BAC－∠BAM)． 化簡，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 所以＝1，解得tan∠BAC＝. 再結(jié)合s

30、in2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝. 4． (2012江西)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積． (1)證明　由bsin－csin＝a，應(yīng)用正弦定理，得sin Bsin－ sin Csin＝sin A， sin B－sin C ＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即sin(B－C)＝1. 由于0

31、n ，c＝＝2sin ， 所以△ABC的面積S＝bcsin A＝sin sin ＝cos sin ＝. 5． 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對(duì)的邊b＝，且函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期； (2)求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列， 所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， 所以B＝，即A＋C＝. 因?yàn)閒(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－ ＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x ＝2sin， 所以T＝＝π. 又因?yàn)閟in∈[－1,1]， 所以f(x)的值域?yàn)閇－2,2]． (2)因?yàn)閒(x)在x＝A處取得最大值， 所以sin＝1. 因?yàn)?