高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.8

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1、 精品資料 2.8　函數(shù)與方程 1． 函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 對(duì)于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的零點(diǎn)． (2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)__c__也就是

2、方程f(x)＝0的根． 2． 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 3． 二分法 (1)定義：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． (2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]

3、，驗(yàn)證f(a)f(b)<0，給定精確度ε； ②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c； ③計(jì)算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)； (ⅱ)若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))． ④判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)②③④. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)． (　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b

4、)<0. (　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)． (　√　) (4)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值． (　　) (5)函數(shù)y＝2sin x－1的零點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)． (　√　) (6)函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零點(diǎn)，則－1

5、＝0，則log0.5x＝x 由y＝log0.5x，y＝x的圖象知，在(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1， 令f(x)＝0得log2x＝x， 由y＝log2x，y＝x的圖象知在(1，＋∞)上有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(1，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，故選B. 3． (2013重慶)若a

6、 C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) 答案　A 解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A. 4． 在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 答案　C

7、 解析　易知f(x)為增函數(shù)． ∵f(－)＝e－4<0，f(0)＝e0＋40－3＝－2<0， f()＝e－2<0，f()＝e－1>0， ∴f()f()<0. 5． 方程(x－1)sin πx＝1在(－1,3)上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案　4 解析　當(dāng)x＝1時(shí)，顯然不成立， 所以本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝sin πx與函數(shù)y＝的交點(diǎn)問題． 由于兩圖象均關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以四個(gè)根之和為4. 題型一　函數(shù)零點(diǎn)的判斷和求解 例1　(1)(2012湖北)函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (

8、　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0)．當(dāng)a>1時(shí)，方程f(x)＝f(a)的實(shí)根個(gè)數(shù)為________． 思維啟迪　(1)函數(shù)零點(diǎn)的確定問題； (2)f(x)＝f(a)的實(shí)根個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝f(x)－f(a)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 答案　(1)C　(2)三 解析　(1)當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.又因?yàn)閤∈[0,4]， 所以0≤x2≤16.因?yàn)?π<16<， 所以函數(shù)y＝cos x2在x2取，，，，時(shí)為0， 此時(shí)f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6. (2)令g(x)＝f(x)－f(

9、a)， 即g(x)＝x2＋－a2－， 整理得：g(x)＝(x－a)(ax2＋a2x－2)． 顯然g(a)＝0，令h(x)＝ax2＋a2x－2. ∵h(yuǎn)(0)＝－2<0，h(a)＝2(a3－1)>0， ∴h(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，a)各有一個(gè)零點(diǎn)． 因此，g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解． 思維升華　函數(shù)零點(diǎn)的確定問題，常見的有①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定，②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定．解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判斷或數(shù)形結(jié)合法． 　(1)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

10、(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) (2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　　) A．多于4個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函數(shù)． 而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0， f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0， ∴f(－1

11、)f(0)<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上有零點(diǎn)． (2)由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)． 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如下： 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)， 即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn)． 題型二　二次函數(shù)的零點(diǎn)問題 例2　是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由． 思維啟迪　可將問題轉(zhuǎn)化為f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征轉(zhuǎn)化題中條件． 解　令f(x)

12、＝0，則Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8 ＝9(a－)2＋>0， 即f(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)f(3)≤0即可． f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0， ∴a≤－或a≥1. 檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1，所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠1. (2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，此時(shí)f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝

13、－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，a<－或a>1. 思維升華　解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系； (3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組． 　已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　方法一　設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1

14、， 即a2＋a－2<0，∴－20)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0， (*) 原方程有實(shí)根，即方程(*)有正根． 令f(t)＝t2＋

15、at＋a＋1. ①若方程(*)有兩個(gè)正實(shí)根t1，t2， 則解得－10)， 則a＝－＝－ ＝2－，其中t＋1>1， 由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)，故a≤2－2. 思維升華　對(duì)于“a＝f(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)y＝f(x)的值域來解決． 　已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿

16、足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)－1

17、函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)． (1)若y＝g(x)－m有零點(diǎn)，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 思維啟迪　(1)y＝g(x)－m有零點(diǎn)即y＝g(x)與y＝m的圖象有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖象求解； (2)g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根?y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以可利用它們的圖象求解． 規(guī)范解答 解　(1)方法一　∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號(hào)成立的條件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， [3分] 因而只需m≥2e，則y＝g(x)－m

18、就有零點(diǎn)． [7分] 方法二　作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖． [3分] 可知若使y＝g(x)－m有零點(diǎn)，則只需m≥2e. [7分] (2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同 的交點(diǎn)， 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖象如圖． [10分] ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其圖象的對(duì)稱軸為x＝e，開口向下， 最大值為m－1＋e2. [12分] 故當(dāng)m－1＋e2>2e， 即m>－e2＋2e＋1時(shí)，g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)

19、， 即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)． [14分] 溫馨提醒　(1)求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時(shí)，可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解． (2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時(shí)易錯(cuò)．要注意函數(shù)最值的求法．  方法與技巧 1． 函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有 (1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0. 2． 研究方程f(x)＝g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)＝f(

20、x)－g(x)的零點(diǎn)． 3． 轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題． 失誤與防范 1． 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2． 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 方程log3x＋x－3＝0的解所在的區(qū)間是 (　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)

21、 D．(3,4) 答案　C 解析　設(shè)f(x)＝log3x＋x－3，則f(2)＝log32－1<0， f(3)＝log33＋3－3＝1>0， ∴f(x)＝0在(2,3)有零點(diǎn)， 又f(x)為增函數(shù)，∴f(x)＝0的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)． 2． 方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個(gè)數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　(數(shù)形結(jié)合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的圖象如圖， ∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)． 3． 若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)

22、不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2. 4． 已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(　　) A．a(chǎn)0， 且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)．

23、 故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1,0)． ∵g(2)＝0，∴g(x)的零點(diǎn)b＝2； ∵h(yuǎn)＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0， 且h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)， ∴h(x)的零點(diǎn)c∈，因此a

24、函數(shù)y＝ln x與y＝的圖象如圖所示． 由圖象易知，＞ln x1，從而ln x1－＜0， 故ln x1＋＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0. 二、填空題 6． 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 015x＋log2 015x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________． 答案　3 解析　函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 015x＋log2 015x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)f(x)在R上

25、的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3. 7． 已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　畫出f(x)＝的圖象，如圖． 由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象得：00 的解集是________． 答案　{x|－

26、－2x)>0， 即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3<0， 解集為{x|－

27、個(gè)實(shí)根． 設(shè)2x＝t (t>0)，則t2＋mt＋1＝0. 當(dāng)Δ＝0，即m2－4＝0， ∴m＝－2時(shí)，t＝1；m＝2時(shí)，t＝－1(不合題意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合題意． 當(dāng)Δ>0，即m>2或m<－2時(shí)， t2＋mt＋1＝0有兩正根或兩負(fù)根， 即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)． ∴這種情況不符合題意． 綜上可知，m＝－2時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 已知x1，x2是函數(shù)f(x)＝e－x－|ln x|的兩個(gè)零點(diǎn)，則 (　　) A.

28、10 D．e

29、數(shù)f(x)＝則函數(shù)F(x)＝xf(x)－1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　容易判斷x＝0不是函數(shù)F(x)＝xf(x)－1的零點(diǎn)， 所以問題等價(jià)于判斷函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行分段討論． ①當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝x，與g(x)＝有一個(gè)交點(diǎn)； ②當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝2－x，與g(x)＝有一個(gè)交點(diǎn)； ③當(dāng)2≤x<3，即0≤x－2<1時(shí)， f(x)＝f(x－2)＝x－1，與g(x)＝有一個(gè)交點(diǎn)； ④當(dāng)3≤x<4，即1≤x－2<2時(shí)， f(x)＝f(x－2)＝－x＋2，與g(x)＝有一

30、個(gè)交點(diǎn)； ⑤當(dāng)4≤x<5，即0≤x－4<1時(shí)， f(x)＝f(x－4)＝x－1，與g(x)＝有一個(gè)交點(diǎn)； ⑥當(dāng)5≤x<6，即1≤x－4<2時(shí)， f(x)＝f(x－4)＝－x＋，與g(x)＝有一個(gè)交點(diǎn)； ⑦當(dāng)6≤x<7，即0≤x－6<1時(shí)， f(x)＝f(x－6)＝x－，與g(x)＝?jīng)]有交點(diǎn)． 當(dāng)x≥6開始兩圖象無交點(diǎn)，所以共有6個(gè)零點(diǎn)． 3． 若方程＝k(x－2)＋3有兩個(gè)不等的實(shí)根，則k的取值范圍是________． 答案　(，] 解析　作出函數(shù)y1＝和y2＝k(x－2)＋3的圖象如圖所示，函 數(shù)y1的圖象是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓在x軸上方的半圓(包括 端點(diǎn))，函數(shù)

31、y2的圖象是過定點(diǎn)P(2,3)的直線，點(diǎn)A(－2,0)，kPA＝ ＝.直線PB是圓的切線，由圓心到直線的距離等于半徑得，＝2，得kPB ＝.由圖可知當(dāng)kPB時(shí)， 須使即 解得a≥1，∴a的取值范圍是[1，＋∞)．