8、2＝R，所以點(diǎn)P(0,1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實(shí)數(shù)，直線l總經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P.
所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)．
(2)解 由平面幾何知識(shí)知過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時(shí)才最短，而此時(shí)點(diǎn)P(0,1)為弦AB的中點(diǎn)，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2.
思維升華 (1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系；
(2)勾股定理是解決有關(guān)弦問(wèn)題的常用方法．
(1)若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則P(
9、a，b) ( )
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
(2)直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系是 ( )
A．相離 B．相切或相交
C．相交 D．相切
(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．
答案 (1)B (2)C (3)(－13,13)
解析 (1)由<1，得>1，∴點(diǎn)P在圓外．
(2)圓x2＋y2－2y＝0的圓心是(0,1)，半徑r＝1，則圓心到直線l的距離d＝<1
10、.故直線與圓相交．
(3)根據(jù)題意知，圓心O到直線12x－5y＋c＝0的距離小于1，
∴<1，∴|c|<13，
∴c∈(－13,13)．
題型二 圓的切線與弦長(zhǎng)問(wèn)題
例2 已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程；
(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．
(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，求a的值．
思維啟迪 在求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程．若點(diǎn)在圓上，則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在
11、的切線．在處理直線和圓相交所得的弦的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，?？紤]幾何法．
解 (1)圓心C(1,2)，半徑r＝2，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.
由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，
此時(shí)，直線與圓相切．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由題意知＝2，解得k＝.
∴圓的切線方程為y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由題意得＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為，
∴()2＋()2＝4，解得a＝－.
思
12、維升華 (1)求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在的切線．
(2)求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)時(shí)，通?？紤]由弦心距垂線段作為直角邊的直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．
已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；
(2)求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．
解 (1)如圖所示，|AB|＝4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋
(y－6)2＝16，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為(－
13、2,6)，半徑r＝4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，
則CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：＝2，
得k＝.
故直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0.
∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，
則CD⊥PD，即＝0，
∴(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2
14、x－11y＋30＝0.
題型三 圓與圓的位置關(guān)系
例3 (1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是________．
(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．
思維啟迪 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程關(guān)鍵是尋找與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系，然后將等量關(guān)系用坐標(biāo)表示出來(lái)．
答案 (1)x－2y＋4＝
15、0 (2)2 (3)x＝
解析 (1)兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0.
(2)兩圓圓心距d＝<＋，
∴兩圓相交，故有2條切線．
(3)⊙O的圓心為(0,0)，半徑為，⊙O′的圓心為(4,0)，半徑為，設(shè)點(diǎn)P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質(zhì)得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化簡(jiǎn)得x＝.
思維升華 判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．
已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則以兩圓公
16、共弦為直徑的圓的方程是________________．
答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
解析 圓C1的圓心為(1，－5)，半徑為，圓C2的圓心為(－1，－1)，半徑為，則兩圓心連線的直線方程為2x＋y＋3＝0，由兩圓方程作差得公共弦方程為x－2y＋4＝0，兩直線的交點(diǎn)(－2,1)即為所求圓的圓心，由垂徑定理可以求得半徑為，即所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
高考中與圓交匯問(wèn)題的求解
一、圓與集合的交匯問(wèn)題
典例：(4分)設(shè)M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，則M∩N≠?時(shí)，a的最大值與最小值分
17、別為________、________.
思維啟迪 本題條件M∩N≠?反映了兩個(gè)集合所表示的曲線之間的關(guān)系，即半圓與圓之間的關(guān)系，因此可以直接利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
解析 因?yàn)榧螹＝{(x，y)|y＝，a>0}，
所以集合M表示以O(shè)(0,0)為圓心，半徑為r1＝a的上半圓．
同理，集合N表示以O(shè)′(1，)為圓心，半徑為r2＝a的圓上的點(diǎn)．
這兩個(gè)圓的半徑隨著a的變化而變化，但|OO′|＝2.如圖所示，
當(dāng)兩圓外切時(shí)，由a＋a＝2，得a＝2－2；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，由a－a＝2，得a＝2＋2.
所以a的最大值為2＋2，最小值為2－2.
答案 2＋2 2－2
溫馨提醒 本題主要
18、考查集合的運(yùn)算及圓與圓相切的相關(guān)知識(shí)，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解本題較為簡(jiǎn)捷，在求解時(shí)要注意對(duì)M∩N≠?的意義的理解，若題中未指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，例如A?B，則A＝?或A≠?兩種可能，應(yīng)分類討論．本題的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)就是將集合的關(guān)系與圓的位置關(guān)系較好地結(jié)合起來(lái)．
二、圓與線性規(guī)劃的交匯問(wèn)題
典例：(4分)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值為________．
思維啟迪 求解本題應(yīng)先畫出點(diǎn)P所在的平面區(qū)域，再畫出點(diǎn)Q所在的圓，最后利用幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值問(wèn)題，即可求出|P
19、Q|的最小值．
解析 由點(diǎn)P在平面區(qū)域上，畫出點(diǎn)P所在的平
面區(qū)域．由點(diǎn)Q在圓x2＋(y＋2)2＝1上，畫出點(diǎn)Q所在的圓，如圖
所示．
由題意，得|PQ|的最小值為圓心(0，－2)到直線x－2y＋1＝0的距離減去半徑1.
又圓心(0，－2)到直線x－2y＋1＝0的距離為＝，此時(shí)垂足(－1,0)在滿足條件的平面區(qū)域內(nèi)，故|PQ|的最小值為－1.
答案?。?
溫馨提醒 本題考查線性規(guī)劃及圓、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，并考查考生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本題的突出特點(diǎn)就是將圓與線性規(guī)劃問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，為我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)相互交匯的新天地，求解時(shí)既要注意使用線性規(guī)劃的基本思想，又要利
20、用圓上各點(diǎn)的特殊性．實(shí)際上是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的提升，即利用線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過(guò)作圖來(lái)解決最值問(wèn)題．
三、圓與不等式的交匯問(wèn)題
典例：(4分)(2012天津)設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是 ( )
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
思維啟迪 圓與不等式的交匯實(shí)質(zhì)上反映了圓的獨(dú)特性質(zhì)，即圓內(nèi)點(diǎn)、圓外點(diǎn)的性質(zhì)，直線與圓相交、相離的性質(zhì)，圓與圓的相交、相離的性質(zhì)等，這些問(wèn)題反映在代數(shù)上就是
21、不等式的形式．
解析 圓心(1,1)到直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距離為＝1，
所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，
所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
答案 D
溫馨提醒 直線與圓位置關(guān)系的考查，一般是已知位置關(guān)系求參數(shù)值，基本不等式的考查一般是給出參數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求最值或范圍．而本題卻以直線與圓的位置關(guān)系給出參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，利用基本不等式轉(zhuǎn)化，結(jié)合換元法把關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，從而求得m＋n的取值范圍，這一交匯命題新穎獨(dú)特，考查知識(shí)全面，難度中等，需要注意各知識(shí)應(yīng)熟練掌握才能逐一化解．
方法與技巧
1． 過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程
22、的求法
先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為－，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.
2． 過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法
(1)幾何方法
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程．
(2)代數(shù)方法
設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出．
3． 兩圓公共弦所在直線方程的求法
若兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得
23、到兩圓的公共弦所在的直線方程．
4． 圓的弦長(zhǎng)的求法
(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則2＝r2－d2.
(2)代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長(zhǎng)為
|AB|＝(k為直線斜率)．
失誤與防范
1． 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．
2． 過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況
24、，以防漏解．
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：40分鐘)
一、選擇題
1． 圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋(y－3)2＝1的內(nèi)公切線有且僅有 ( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
答案 B
解析 圓心距為3，半徑之和為2，故兩圓外離，內(nèi)公切線條數(shù)為2.
2． (2012重慶)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是 ( )
A．相離 B．相切
C．相交但直線不過(guò)圓心 D．相交且直線過(guò)圓心
答案 C
解析 ∵x2＋y2＝2的圓心(0,0)到直線y＝kx＋1的距離
d＝＝≤1，
25、又∵r＝，∴0
26、 ( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析 如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直線
AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
5． 已知直線y＝kx＋b與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)b＝
時(shí)，＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
故x1＋x2＝－，
27、x1x2＝，
從而＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝b2－1－＋b2＝－1＝1.
二、填空題
6． 若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．
答案 1－2≤b≤3
解析 由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．
∴曲線y＝3－是半圓，如圖中實(shí)線所示．
當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，
＝2.
∴b＝12.
由圖可知b＝1－2.
∴b的取值范圍是.
7． 若過(guò)點(diǎn)A(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______________．
答
28、案 (－∞，－3)∪
解析 圓方程可化為(x－a)2＋y2＝3－2a，
由已知可得，解得a<－3或10)的公共弦長(zhǎng)為2，則a＝________.
答案 1
解析 方程x2＋y2＋2ay－6＝0與x2＋y2＝4.
相減得2ay＝2，則y＝.由已知條件 ＝，
即a＝1.
三、解答題
9． 已知以點(diǎn)C(t，)(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．
(1)求證：△OAB的面積為定值；
(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM＝ON，求圓C的方程．
(1
29、)證明 ∵圓C過(guò)原點(diǎn)O，∴OC2＝t2＋.
設(shè)圓C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝OAOB＝|||2t|＝4，
即△OAB的面積為定值．
(2)解 ∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
當(dāng)t＝2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，OC＝，
此時(shí)C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<，
圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點(diǎn)．
當(dāng)t＝－2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，OC＝，
此時(shí)C到直線y＝－2x＋4的距離d＝
30、>.
圓C與直線y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合題意，舍去．
∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
10．已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)P(2,0)，邊AB所在直線的方程為x－3y－6＝0，點(diǎn)
(－1,1)在邊AD所在的直線上．
(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；
(2)已知直線l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求證：直線l與矩形ABCD的外接 圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線l的方程．
解 (1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
點(diǎn)(－1,1)在邊AD所在的直線上，
∴AD所在直線的方程是y－1＝－3(x＋1)，
31、
即3x＋y＋2＝0.
由得A(0，－2)．
∴|AP|＝＝2，
∴矩形ABCD的外接圓的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)直線l的方程可化為
k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，
l可看作是過(guò)直線－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交點(diǎn)(3,2)的直線系，
即l恒過(guò)定點(diǎn)Q(3,2)，
由(3－2)2＋22＝5<8知點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，
所以l與圓P恒相交．
設(shè)l與圓P的交點(diǎn)為M，N，
則|MN|＝2(d為P到l的距離)，
設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d＝|PQ|sin θ＝sin θ，
當(dāng)θ＝90時(shí)，d最大，|MN|最短．
此時(shí)l的斜率為PQ的斜率的負(fù)倒數(shù)，即－，
32、故l的方程為y－2＝－(x－3)，x＋2y－7＝0.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：25分鐘)
1． 已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 設(shè)圓心為(a,0)，且a>0，
則(a,0)到直線3x＋4y＋4＝0的距離為2，
即＝2?3a＋4＝10?a＝2或a＝－(舍去)，則圓C的方程為(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.
2
33、． 圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)有 ( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
答案 C
解析 因?yàn)閳A心到直線的距離為＝2，
又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，
圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．
3． (2013江西)過(guò)點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于 ( )
A. B．－ C． D．－
答案 B
解析 ∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB≤.
當(dāng)
34、∠AOB＝時(shí)，
S△AOB面積最大．
此時(shí)O到AB的距離d＝.
設(shè)AB方程為y＝k(x－)(k<0)，
即kx－y－k＝0.
由d＝＝得k＝－.
(也可k＝－tan∠OPH＝－)．
4． (2012江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________．
答案
解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)．
由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值
35、是.
5． 已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}．若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案 m<－
解析 如圖，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直線x－y＋m＝0及其右下
方區(qū)域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圓x2＋y2＝1及其內(nèi)部，要使A∩B
＝?，則直線x－y＋m＝0在圓x2＋y2＝1的下方，即>1，故
m<－.
6． 已知圓O：x2＋y2＝4和點(diǎn)M(1，a)．
(1)若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程．
(2)若a＝，過(guò)點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，求|A
36、C|＋|BD|的最大值．
解 (1)由條件知點(diǎn)M在圓O上，
所以1＋a2＝4，則a＝.
當(dāng)a＝時(shí)，點(diǎn)M為(1，)，kOM＝，k切＝－，
此時(shí)切線方程為y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
當(dāng)a＝－時(shí)，點(diǎn)M為(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此時(shí)切線方程為y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切線方程為x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為d1，d2(d1，d2≥0)，
則d＋d＝OM2＝3.
又有|AC|＝2，|BD|＝2，
所以|AC|＋|BD|＝2＋2.
則(|AC|＋|BD|)2＝4(4－d＋4－d＋2)
＝4[5＋2]
＝4(5＋2)．
因?yàn)?d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d2＝時(shí)取等號(hào)，
所以≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4(5＋2)＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值為2.
高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.4
