高考數(shù)學浙江理科一輪【第八章】立體幾何 8.5

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1、 精品資料 8.5　橢　圓 1． 橢圓的概念 在平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)： (1)若a>c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若ab>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質 范圍

2、－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸　　對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c的關系 c2＝a2－b2 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓． (　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，

3、F2構成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)． (　√　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． (　　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓． (　√　) 2． 已知橢圓的焦點在y軸上，若橢圓＋＝1的離心率為，則m的值是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由題意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝，∴＝，∴＝，∴m＝. 3． (2013廣東)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是

4、 (　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由題意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求橢圓方程為＋＝1. 4． 如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是__________． 答案　(0,1) 解析　將橢圓方程化為＋＝1， ∵焦點在y軸上，∴>2，即k<1，又k>0，∴0b>0)的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________． 答案?。? 解析　設過左焦點F1的

5、正三角形的邊交橢圓于A，則|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c， ∴e＝＝＝－1. 題型一　橢圓的定義及標準方程 例1　(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是 (　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 (2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為________． (3)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)、P2(－，－)，則橢圓的方程為________．

6、思維啟迪　(1)題主要考慮橢圓的定義； (2)題要分焦點在x軸和y軸上兩種情況； (3)可以用待定系數(shù)法求解． 答案　(1)B　(2)＋y2＝1或＋＝1 (3)＋＝1 解析　(1)點P在線段AN的垂直平分線上， 故|PA|＝|PN|， 又AM是圓的半徑， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|， 由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓． (2)若焦點在x軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)， ∵橢圓過P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3， 又2a＝32b，∴b＝1，方程為＋y2＝1. 若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過點P(3,0)．

7、∴＋＝1，即b＝3. 又2a＝32b，∴a＝9，∴方程為＋＝1. ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1或＋＝1. (3)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵橢圓經(jīng)過P1、P2點，∴P1、P2點坐標適合橢圓方程． 則 ①、②兩式聯(lián)立，解得 ∴所求橢圓方程為＋＝1. 思維升華　(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件． (2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了

8、解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． 　(1)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________． (2)已知P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，若∠F1PF2＝60，則△PF1F2的面積為________． 答案　(1)＋＝1　(2)12 解析　(1)方法一　橢圓＋＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4. 由橢圓的定義知，2a＝＋，解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4. 所以所求橢圓的標準方程為＋＝1. 方法二　因為所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2

9、＝25－9＝16. 設它的標準方程為＋＝1(a>b>0)． 因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ① 又點(，－)在所求橢圓上，所以＋＝1， 即＋＝1. ② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝20， ① 在△PF1F2中，由余弦定理， 得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60＝256. ② ①2－②得|PF1||PF2|＝48. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|si

10、n 60＝12. 題型二　橢圓的幾何性質 例2　(1)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一個橢圓通過A，B兩點，它的一個焦點為點C，另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率． (2)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別 是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求的最大 值和最小值． 思維啟迪　本題主要考查橢圓的幾何性質及其應用，解題(1)的關鍵是根據(jù)題意求出a，c的值；解題(2)的關鍵是表示出，根據(jù)橢圓的性質確定變量的取值范圍． 解　(1)設橢圓的焦半徑為c，設另一個焦點為F，如圖所示， ∵AB＝AC＝1，△ABC為直角三角形， ∴1＋1＋＝4a，則a

11、＝. 設FA＝x，∴ ∴x＝，∴1＋()2＝4c2， ∴c＝，e＝＝－. (2)設P點坐標為(x0，y0)．由題意知a＝2， ∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. 所求橢圓方程為＋＝1. ∴－2≤x0≤2，－≤y0≤. 又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)， ＝(2－x0，－y0)， ∴＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 當x0＝2時，取得最小值0， 當x0＝－2時，取得最大值4. 思維升華　(1)求橢圓的離心率的方法 ①直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值． ②構造a，c的齊次式，解出e.由已知

12、條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解． ③通過取特殊值或特殊位置，求出離心率． (2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0

13、AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. 答案　(1)C　(2) 解析　(1)設P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)， ＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2 ＝2. ∵點P在橢圓上，∴0≤y≤1， ∴當y＝1時，|＋|取最小值2.故選C. (2)如圖，在△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，且cos∠ABF＝， 設|BF|＝m， 由余弦定理，得 62＝102＋m2－20m， ∴m2－16m＋64＝0，∴m＝8. 因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝|AB|＝5. 設橢圓右焦點為F′，連接B

14、F′，AF′， 由對稱性，|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14. ∴a＝7，因此離心率e＝＝. 題型三　直線與橢圓的位置關系 例3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e＝，直線l交橢圓于M，N兩點． (1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長． (2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式． 思維啟迪　直線與圓錐曲線的關系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，把方程組轉化成關于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解． 解　(1)由已知得b＝4，且＝，即＝， ∴＝，解得a2＝20，∴橢圓方程為＋＝

15、1. 則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立， 消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝， ∴所求弦長|MN|＝|x2－x1|＝. (2)橢圓右焦點F的坐標為(2,0)， 設線段MN的中點為Q(x0，y0)， 由三角形重心的性質知＝2， 又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2， 即得Q的坐標為(3，－2)． 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4， 且＋＝1，＋＝1， 以上兩式相減得＋＝0， ∴kMN＝＝－＝－＝， 故直線MN的方程為y＋2＝(x－3)， 即6x－5y－28＝0. 思維

16、升華　(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單． (2)設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝ ＝ (k為直線斜率)． 提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式． 　已知橢圓G：＋＝1(a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0)．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)． (1)求橢圓G的方程； (2)求△PAB

17、的面積． 解　(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2. 又b2＝a2－c2＝4， 所以橢圓G的方程為＋＝1. (2)設直線l的方程為y＝x＋m， 由消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ① 設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1

18、的距離 d＝＝. 所以△PAB的面積S＝|AB|d＝.  高考中求橢圓的離心率問題 典例：(8分)(1)如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1，上 頂點為B2，右頂點為A2，過點A2作x軸的垂線交直線F1B2于點 P，若|PA2|＝3b，則橢圓C的離心率為________． (2)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)、 F2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ________． 思維啟迪　橢圓的離心率利用方程思想，只需利用題目條件得到a，b，c的一個關系式即可．若得到的關系式含b，可利用a2＝b2＋

19、c2轉化為只含a，c的關系式． 答案　(1)　(2)(－1,1) 解析　(1)由題設知＝?＝＝， e＝. (2)依題意及正弦定理，得＝(注意到P不與F1F2共線)，即＝， ∴－1＝，∴＝＋1>， 即e＋1>，∴(e＋1)2>2. 又0

20、問題難點的根本方法.  方法與技巧 1． 求橢圓的標準方程時，應從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考．“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標軸上．“定式”就是根據(jù)“形”設出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n. 2． 討論橢圓的幾何性質時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種： (1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得； (2)列出關于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉化成關于e的方程(或不等式)求解． 失誤與防范 1． 判斷兩

21、種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大?。? 2． 注意橢圓的范圍，在設橢圓＋＝1 (a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因． A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為(　　) A．9 B．1 C．1或9 D．以上都不對 答案　C 解析　，解得a＝5，b＝3，c＝4. ∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝1. 2． 設F1、F2分

22、別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM| ＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為 (　　) A．4 B．3 C．2 D．5 答案　A 解析　由題意知|OM|＝|PF2|＝3， ∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝25－6＝4. 3． 已知橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于 (　　) A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不對 答案　C 解析　由，得2

23、＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 (　　) A. B. C. D.－2 答案　B 解析　由題意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c， 且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2＝|AF1||F1B|， 即4c2＝a2－c2，a2＝5c2， 所以e2＝，所以e＝. 5． 已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半徑為2，橢圓C：＋＝1的左焦點為F(－c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為

24、(　　) A. B．1 C．2 D．4 答案　C 解析　圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2， 則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)， ∴m＝－1，則圓心M的坐標為(1,0)． 由題意知直線l的方程為x＝－c， 又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2. 二、填空題 6． (2013福建)橢圓Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Г的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 答案?。? 解析　由直線方程為y＝(x＋c)，

25、 知∠MF1F2＝60，又∠MF1F2＝2∠MF2F1， 所以∠MF2F1＝30， MF1⊥MF2， 所以|MF1|＝c，|MF2|＝c 所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a. 即e＝＝－1. 7． 已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，的值等于________． 答案　3 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3. 8． 橢圓＋y2＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2為鈍角，則

26、點P的橫坐標的取值范圍是________． 答案　(－，) 解析　設橢圓上一點P的坐標為(x，y)， 則＝(x＋，y)，＝(x－，y)． ∵∠F1PF2為鈍角，∴<0， 即x2－3＋y2<0， ① ∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0， x2<2，∴x2<. 解得－b>0)的左、右焦點，A 是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2 ＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解　(1

27、)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c， 所以e＝. (2)方法一　a2＝4c2，b2＝3c2，直線AB的方程為 y＝－(x－c)， 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B， 所以|AB|＝＝c. 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin∠F1AB＝ac＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 方法二　設|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得，t＝a. 由S△AF1B＝aa＝a2＝40 知， a＝10，b＝5

28、. 10．設橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e. (2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程． 解　(1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)， 因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c. 整理得2()2＋－1＝0， 解得＝－1(舍)，或＝. 所以e＝. (2)由(1)知a＝2c，b＝c， 可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2， 直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點的

29、坐標滿足方程組 消去y并整理，得5x2－8cx＝0. 解得x1＝0，x2＝c. 得方程組的解 不妨設A(c，c)，B(0，－c)， 所以|AB|＝ ＝c. 于是|MN|＝|AB|＝2c. 圓心(－1，)到直線PF2的距離 d＝＝. 因為d2＋()2＝42， 所以(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0， 得c＝－(舍)，或c＝2. 所以橢圓方程為＋＝1. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘) 1． (2013四川)從橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB

30、∥OP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意可設P(－c，y0)(c為半焦距)， kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB， ∴－＝－，y0＝， 把P代入橢圓方程得＋＝1， 而2＝，∴e＝＝.選C. 2． 設P(x，y)是曲線 ＋ ＝1上的任意一點，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，則|PF1|＋|PF2|的值 (　　) A．小于8 B．大于8 C．不小于8 D．不大于8 答案　D 解析　如圖所示，長半軸長為4，短半軸長為3的橢圓

31、，其方程 為＋＝1. 將曲線 ＋＝1的方程化簡，即||＋||＝1，其表示的 是橢圓內部的四條線段，即點P是橢圓＋＝1內部一點，根據(jù)橢圓的定義，|PF1|＋ |PF2|≤2a＝8. 3． 在橢圓＋＝1內，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為 (　　) A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0 C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0 答案　A 解析　設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 由①－②，得 ＋＝0， 因所以＝－＝－， 所以所求直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋4y－5＝0. 4． 點P是橢圓

32、＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且△PF1F2的內切圓半徑為1，當P在第一象限時，P點的縱坐標為________． 答案　 解析　|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6， S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)1＝8 ＝|F1F2|yP＝3yP.所以yP＝. 5． 設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 答案　15 解析　|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|， |PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|， 易知M點在橢

33、圓外，連接MF2并延長交橢圓于P點， 此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|， 故|PM|＋|PF1|的最大值為 10＋|MF2|＝10＋＝15. 6． 已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點M(1，)． (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在過點P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足＝2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由． 解　(1)設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得 解得a2＝4，b2＝3. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設存在直線l1且由題意得斜率存在， 設滿足條件的方程為y＝k1(x－2

34、)＋1，代入橢圓C的方程得， (3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0. 因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B， 設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8) ＝32(6k1＋3)>0， 所以k1>－. 又x1＋x2＝，x1x2＝， 因為＝2， 即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝＝. 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝. 所以[－2＋4](1＋k) ＝＝，解得k1＝. 因為k1>－，所以k1＝. 于是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.