高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 選修系列學(xué)案76不等式選講

精品資料學(xué)案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式.3.會用兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值自主梳理1算術(shù)幾何平均不等式(1)如果a，b>0，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立(2)如果a，b，c>0，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立(3)對于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)等號成立2柯西不等式(1)二維形式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號成立(2)向量形式：設(shè)、是平面上的兩個(gè)向量，則_|，|，當(dāng)且僅當(dāng)，共線時(shí)等號成立3三角形不等式設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，那么.自我檢測1若x，y(0，)，且xys，xyp，則下列命題中正確的序號是_當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，s有最小值2；當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，p有最大值；當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值2；若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，p有最大值.2若x，yR，且滿足x3y2，則3x27y1的最小值是_3(2011湖南)設(shè)x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)的最小值為_4函數(shù)y33x(x<0)的最大值為_5若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍為_探究點(diǎn)一利用柯西不等式求最值例1 已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小值變式遷移1 若2x3y1，求4x29y2的最小值探究點(diǎn)二利用算術(shù)幾何平均不等式求最值例2 如圖(1)，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器(圖(2)當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長為多少時(shí)，容積最大，并求出最大容積變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)探究點(diǎn)三不等式的證明例3 (1)已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos2bsin2<c.求證：cos2sin2<.(2)設(shè)a、b、cR，求證：()(abc)227.變式遷移3 設(shè)a、b、cR，求證：(abc)().1從形式結(jié)構(gòu)上看，柯西不等式可簡記為“方和積大于積和方”，相比算術(shù)幾何平均不等式而言，不要求各項(xiàng)均是正數(shù)，從而使用更廣泛，在使用柯西不等式證明不等式和求最值時(shí)，要注意與柯西不等式的一般形式比較，根據(jù)需要，構(gòu)造“積和方”或“方和積”柯西不等式等號成立的條件比較特殊，要牢記2應(yīng)用算術(shù)幾何平均不等式求最值，要積極創(chuàng)造條件，合理拆添項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的前提在于“和定積最大，積定和最小”，注意滿足“一正二定三相等”三個(gè)條件，缺一不可3利用不等式解決實(shí)際問題，首先要認(rèn)真審題，分清題意，建立合理的不等式模型或函數(shù)模型，最終通過解不等式或算術(shù)幾何平均不等式實(shí)施解題(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1若x>1，則函數(shù)yx的最小值為_2函數(shù)y(x<0)的值域是_3函數(shù)yx2(2x)(0x)的最大值為_4設(shè)a>b>c，nN*，且恒成立，則n的最大值是_5若3x4y2，則x2y2的最小值為_6函數(shù)y的最大值為_7函數(shù)yloga(x3)1(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中m，n>0，則的最小值為_8設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x22y26，則p2xy的最大值是_二、解答題(共42分)9(12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)(a2b2c2)9abc.10(14分)設(shè)x、y均大于0，且xy1，求證：(x)2(y)2.11(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元，求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最小學(xué)案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用答案自主梳理1(1)(2)(3)a1a2an2(1)(acbd)2adbc(2)|自我檢測1解析x，y(0，)，xy2，又xys，xyp，當(dāng)s一定，即xy時(shí)，p有最大值；當(dāng)p一定，即xy時(shí)，s有最小值2.27解析3x27y121217，當(dāng)且僅當(dāng)“3x27y”即x3y且x3y2時(shí)，上式取“”，此時(shí)x1，y.39解析(x2)(4y2)54x2y2529，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2時(shí)“”成立432解析x<0，y33x3(3x)()32.當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x時(shí)取等號當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y33x有最大值32.52，2解析由柯西不等式得，12(1)2(a2b2)(ab)2，(ab)220，2ab2，當(dāng)且僅當(dāng)“ba”時(shí)上式“”成立由得，或.課堂活動區(qū)例1 解題導(dǎo)引由于1，則可以構(gòu)造xy()2()2()2()2()2的形式，從而利用柯西不等式求出最值利用柯西不等式求最值，實(shí)際上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，但放縮時(shí)要注意等號成立的條件是否符合題意解x，y，a，bR，1，xy()2()2()2()2()2.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(xy)min()2.變式遷移1 解由柯西不等式得：(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.當(dāng)且僅當(dāng)2x13y1，即2x3y時(shí)取等號由得.4x29y2的最小值為.例2 解題導(dǎo)引運(yùn)用算術(shù)幾何平均不等式解決應(yīng)用問題的步驟是：(1)弄清量與量之間的關(guān)系，將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)的最值；(4)根據(jù)實(shí)際意義寫出正確答案解如圖，設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長為x(0<x<1)，則OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的邊長為1，得OA1A1A21，所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中，B1A1C160，則容器的高B1C1A1B1sin 60(1x)于是容器的容積為Vf(x)Sh(6x2)(1x)x2(1x)(0<x<1)則f(x)x2(1x)xx(22x)3.當(dāng)且僅當(dāng)x22x，即x時(shí)，Vmax.故當(dāng)正六棱柱容器的底面邊長為時(shí)，最大容積為.變式遷移2 解(1)設(shè)h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得：，消去h.解得：a(h>0)(2)由Va2h(h>0)，得：V，而h22.所以0<V，當(dāng)且僅當(dāng)h，即h1時(shí)取等號故當(dāng)h1米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米例3 證明(1)由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(bsin )2(cos2sin2)(acos2bsin2)<.(2)a，b，cR，abc3>0，從而(abc)29>0，又3>0，()(abc)23927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立變式遷移3 證明a，b，cR，(ab)(bc)(ca)3>0，3>0，(abc)().當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號成立課后練習(xí)區(qū)18解析yx28.當(dāng)且僅當(dāng)，即x2時(shí)等號成立23,0)解析y.x(x)()2.x11.0>3，即3y<0.原函數(shù)的值域?yàn)?,0)3.解析yx2(2x)xx(2x)，0x，2x0，y3.當(dāng)且僅當(dāng)xx2x，即x時(shí)，ymax.44解析2224，4，.又恒成立，又a>c，ac>0，4n，即n4.5.解析柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，x2y2取得最小值，解方程組得因此當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值為.6.解析函數(shù)的定義域?yàn)?,6y2()2(1)2()212()2()23515.y215.y.當(dāng)且僅當(dāng)1，即x時(shí)等號成立原函數(shù)的最大值為.78解析函數(shù)yloga(x3)1(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)A(2，1)則(2)m(1)n10,2mn1，m，n>0.()(2mn)4428，(m，n時(shí)取等號)即的最小值為8.8.解析(3x22y2)()2()2(2xy)2，(2xy)2611.2xy，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“”即或.x，y時(shí)，Pmax.9證明由算術(shù)幾何平均不等式可得：abc3，a2b2c23，相乘得(abc)(a2b2c2)9abc即為所證結(jié)論(12分)10證明方法一要證(x)2(y)2，只需證x2y24.(3分)xy1，即要證(12xy)，即要證4x3y315x2y24xy20，(5分)即要證(4xy1)(x2y24xy2)0，(8分)即要證4xy(xy)2(x2y24xy2)0，(10分)即要證(xy)2(x2y24xy2)0.(12分)x、y均大于0，xy1，故上式成立故所證不等式(x)2(y)2成立(14分)方法二xy1，xy()2，4.(4分)又(1212)(x)2(y)2(xy)2(8分)(xy)2(1)2(14)225.(12分)即2(x)2(y)225.(x)2(y)2.(14分)11解設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN*)天購買一次飼料，平均每天支付的費(fèi)用為y.飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少2000.036(元)，(2分)x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是：6(x1)6(x2)63x23x(元)(8分)從而有y(3x23x300)2001.83x357417.(14分)當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x10時(shí)，y有最小值417.即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最小(16分)