人教A版理科數(shù)學高效訓練：72 空間幾何體的表面積和體積

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1、 精品資料 [A組　基礎演練能力提升] 一、選擇題[來源:] 1.一個空間幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個空間幾何體的表面積是(　　) A.　　　　 B.＋6 C．11π D.＋3 解析：這個空間幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知這個圓臺的上底面半徑是1，下底面半徑是2，高為，母線長是2，其表面積是兩個半圓、圓臺側(cè)面積的一半和一個軸截面的面積之和，故S＝π12＋π22＋π(1＋2)2＋(2＋4)＝＋3. 答案：D[來源:] 2．(2013年高考重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

2、何體的體積為(　　) A.　　　B.　　　C．200　　　D．240 解析：由三視圖可得該幾何體是上、下底面均為矩形，左、右側(cè)面均為等腰梯形的多面體，如圖所示，故體積V＝(2＋8)410＝200. 答案：C 3.(2013年高考廣東卷)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是(　　) A．4　　　　　 B. C.　　　　　 D．6 解析：由四棱臺的三視圖可知，臺體上底面積S1＝11＝1，下底面積S2＝22＝4，高h＝2，代入臺體的體積公式V＝(S1＋＋S2)h＝(1＋＋4)2＝. 答案：B 4.已知正三棱錐P－ABC的主視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球

3、的表面積為(　　) A．4π B．12π C. D. 解析：由主視圖得到正三棱錐的側(cè)棱長為4，由俯視圖得到正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，所以正三棱錐的高為2，所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為π，故選D. 答案：D 5.(2013年高考全國新課標卷Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．16＋8π B．8＋8π[來源:] C．16＋16π D．8＋16π 解析：根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成，其中上面部分為長方體，下面部分為半個圓柱，所以組合體的體積為224＋22π4＝16＋8π，選擇A. 答案：A 6．一個

4、幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．32 B．18 C．16 D．10 解析：由三視圖可知直觀圖如圖所示，則該幾何體可以看成正方體沿著某頂點削去了一半，所以體積為43＝32. 答案：A 二、填空題 7.(2013年高考陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體為半徑r＝1的半球體，表面積為底面圓面積加上半球面的面積，所以S＝πr2＋2πr2＝3π. 答案：3π 8．將邊長為a的正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的體積為________． 解析：該

5、幾何體是正方體截去兩個全等的三棱錐剩下的部分，所以其體積V＝a3－2(S△A1B1D1AA1)＝a3. 答案：a3 9．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，該三棱錐的外接球的半徑為2，則該三棱錐的體積為________． 解析：根據(jù)三視圖可以畫出直觀圖(如圖所示)，其中SA⊥AB，SA⊥AC，SA＝2，設AB＝AC＝x，外接球的半徑為r，由題意可知，＝2r＝4，∴x＝，所以三棱錐的體積為2＝2. 答案：2 三、解答題 10.(2014年鄭州檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩

6、個邊長為1的正方形拼成的矩形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的表面積S. 解析：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為， 所以V＝11＝. (2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形， S＝2(11＋1＋12)＝6＋2. 11.正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑． [來源:] 解析：過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，因△ABC是

7、正三角形，易知AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，作為正三棱錐的高PD通過球心，且D是三角形△ABC的重心，據(jù)此根據(jù)底面邊長為2，即可算出DE＝AE＝2＝， PE＝＝， 由△POF∽△PED，知＝， ∴＝，r＝－2. ∴S表＝S側(cè)＋S底＝32＋(2)2 ＝9＋6. 12．(能力提升)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示． (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D－ABC的體積． 解析：(1)證明：在圖1中，可得AC＝B

8、C＝2，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)由(1)可知BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ∴VB－ACD＝S△ACDBC＝22＝， 由等體積性可知幾何體D－ABC的體積為. [B組　因材施教備選練習] 1．(2014年大連雙基測試)SC為球O的直徑，A，B是該球球面上的兩點，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝，若棱錐A－SBC的體積為，則球O的體積為(　　) A.　　　B.　　　C．27π　　　D．4π 解析：設球的半徑為R，因為△S

9、OA為等腰三角形，且底角為，所以△SOA為等腰直角三角形．同理可得到△SOB為等腰直角三角形，所以推得SO⊥平面AOB，所以VA－SBC＝2VS－AOB＝2R＝，解得R＝2，所以球的體積為πR3＝. 答案：B 2．已知正三棱柱內(nèi)接于一個半徑為2的球，則正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時，其底面邊長為(　　) A. B. C. D. 解析：在如圖所示的正三棱柱A1B1C1－ABC中，設底面邊長為a，其高SE＝h，O為其外接球的球心．在Rt△OAE中，OA＝R，OE＝，AE＝a， ∴OA2＝OE2＋AE2，即R2＝2＋2， ∴4＝＋≥2，∴ah≤4， 當且僅當＝，即h＝時等號成立，此時正三棱柱的側(cè)面積最大，且其最大值為3ah＝34＝12，故有3a＝12，∴a＝. 答案：A 3.一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為________m2. 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正方體和一個四棱柱組成，其表面積S＝21＋1＋711＋31＝15＋(m2)． 答案：15＋