高考數學復習：第四章 ：第三節(jié)平面向量的數量積及平面向量的應用突破熱點題型

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1、 精品資料 第三節(jié)　平面向量的數量積及平面向量的應用 考點一 平面向量數量積的概念及運算 　 [例1]　(1)(2013湖北高考)已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ (2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________． [自主解答]　(1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)， ∴＝(2

2、,1)，＝(5,5)， 因此cos〈，〉＝＝， ∴向量在方向上的投影為||cos〈，〉＝＝. (2)以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設F(x，2)(0≤x≤)，由＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，＝(，1)(1－，2)＝. [答案]　(1)A　(2) 【互動探究】 在本例(2)中，若四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是AB上的動點，求的值及的最大值． 解： 以A點為原點，AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則正方形各頂點坐標分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)

3、、D(0,1)，設E(a，0)，0≤a≤1. ＝(a，－1)(0，－1)＝a0＋(－1)(－1)＝1. ＝(a，－1)(1,0)＝a＋(－1)0＝a≤1，故的最大值為1.　　　　　 【方法規(guī)律】 平面向量數量積的類型及求法 (1)平面向量數量積有兩種計算公式：一是夾角公式ab＝|a||b|cos θ；二是坐標公式ab＝x1x2＋y1y2. (2)求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡． 1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝________. 解析：∵a＝(1,1)，b＝(

4、2,5)， ∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又c＝(3，x)， ∴(8a－b)c＝18＋3x＝30， ∴x＝4. 答案：4 2．已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，則實數k的值為________． 解析：∵e1，e2的模為1，且其夾角θ＝. ∴ab＝(e1－2e2)(ke1＋e2) ＝ke＋e1e2－2ke1e2－2e ＝k＋(1－2k)cos－2 ＝2k－. 又∵ab＝0，∴2k－＝0，即k＝. 答案： 高頻考點 考點二 平面向量的夾角與模的問題　　　 1．平面向量的夾角與

5、模的問題是高考中的常考內容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個命題角度： (1)求兩向量的夾角； (2)兩向量垂直的應用； (3)已知數量積求模； (4)知模求模． [例2]　(1)(2013湖南高考)已知a，b是單位向量，ab＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為(　　) A.－1 B. C.＋1 D.＋2 (2)(2013安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． (3)(2013山東高考)在平面直角

6、坐標系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90，則實數t的值為________． (4)(2013天津高考)在平行四邊形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點．若＝1, 則AB的長為________．[來源:數理化網] [自主解答]　(1)建立如圖所示的直角坐標系，由題意知a⊥b，且a與b是單位向量， ∴可設＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)． ∴c－a－b＝(x－1，y－1)， ∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即點C(x，y)的軌跡是以M(1,1)為圓心，1為半徑的圓． 而|c|＝，∴|c|

7、的最大值為|OM|＋1，即|c|max＝＋1. (2)由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4ab，所以ab＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝－＝－. (3) ＝＋＝(1，－t)＋(2,2)＝(3,2－t)．[來源:] ∵∠ABO＝90，∴＝0，即23＋2(2－t)＝0， ∴t＝5. (4)法一：由題意可知，＝＋，＝－＋.因為＝1，所以(＋)＝1， 即2＋－2＝1. 因為||＝1，∠BAD＝60， 所以||＝，即AB的長為. 法二：以A為原點，AB為x軸建立如圖所示的直角坐標系，過D作DM⊥AB于點

8、M.由AD＝1，∠BAD＝60，可知AM＝，DM＝. 設|AB|＝m(m>0)，則B(m,0)，C，D. 因為E是CD的中點，所以E. 所以＝，＝. 由＝1，可得＋＝1， 即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或. 故AB的長為. [答案]　(1)C　(2)－　(3)5　(4) 平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略 (1)求兩向量的夾角．cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． (2)兩向量垂直的應用．兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?ab＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模．利用數量積求解長度問題的處理方法有： ①a2＝aa＝|a|2或|a|

9、＝. ②|ab|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. 1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于(　　) A．－ B. C. D. 解析：選C　2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)(a－b)＝9， |2a＋b|＝3，|a－b|＝3. 設所求兩向量夾角為α， 則cos α＝＝，又α∈[0，π]，故α＝. 2．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 解析：∵a與b是不共線的單

10、位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)(ka－b)＝0， 即ka2＋kab－ab－b2＝0. ∴k－1＋kab－ab＝0， 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ為a與b的夾角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0， 又a與b不共線， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. 答案：1 3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值為________． 解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2， 又α⊥(α－2β)， ∴α(α－2β)＝α2－2αβ＝1－2αβ＝0. ∴αβ＝. ∴(2α＋β)2＝4α2

11、＋β2＋4αβ＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝. 答案： 考點三 平面向量數量積的應用 　 [例3]　(2013江蘇高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [自主解答]　(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2. 又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b. (2)因為a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，

12、所以 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. [來源:] 【方法規(guī)律】 平面向量與三角函數的綜合問題的命題形式與解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解． (2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等. 設向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(s

13、in β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b. 解：(1)由a與b－2c垂直， 得a(b－2c)＝ab－2ac＝0， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， |b＋c|2＝sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＋16cos2β－32cos βsin β＋16sin2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β

14、，故最大值為32，所以|b＋c|的最大值為4.[來源:] (3)證明：由tan αtan β＝16，得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α4cos β－sin αsin β＝0，所以a∥b. ——————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個條件——兩個非零向量垂直的充要條件 　兩個非零向量垂直的充要條件為：a⊥b?ab＝0.[來源:數理化網] 2個結論——與向量夾角有關的兩個結論 (1)若ab>0，則a與b的夾角為銳角或0； (2)若ab<0，則a與b的夾角為鈍角或180. 4個注意點——向量運算中應注意的四

15、個問題 (1)在求△ABC的三邊所對應向量的夾角時，要注意是三角形的內角還是外角．如在等邊△ABC中，與的夾角應為120而不是60. (2)在平面向量數量積的運算中，不能從ab＝0推出a＝0 或b＝0成立．實際上由ab＝0可推出以下四種結論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b. (3)實數運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數量積的運算中，若ab＝ac(a≠0)，則不一定得到b＝c. (4)實數運算滿足乘法結合律，但平面向量數量積的運算不滿足乘法結合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．