【名校資料】浙江省中考數(shù)學復習 第四單元三角形第22課時銳角三角函數(shù)及其應用含近9年中考真題試題
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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第一部分 考點研究 第四單元 三角形 第22課時 銳角三角函數(shù)及其應用 命題點 1 特殊角的三角函數(shù)(杭州2016.11) 1.(2016杭州11題4分)tan60°=________. 命題點 2 直角三角形的邊角關系(杭州3考,溫州3考) 2. (2015溫州5題4分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則cosA的值是( ) A. B. C. D. 第2題圖 3. (2012寧波8題3分)如圖,在Rt△ABC
2、中,∠C=90°,AB=6,cosB=,則BC的長為( ) A. 4 B. 2 C. D. 第3題圖 4. (2015麗水8題3分)如圖,點A為∠α邊上的任意一點,作AC⊥BC于點C,CD⊥AB于點D,下列用線段比表示cosα的值,錯誤的是( ) A. B. C. D. 第4題圖 5. (2014金華6題3分)如圖,點A(2,t)在第一象限,OA與x軸所夾銳角為α,tanα=2,則t值為( ) A. 4 B. 3 C. 2
3、 D. 1 第5題圖 6. (2013杭州9題3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,則斜邊上的高等于( ) A. B. C. D. 命題點 3 銳角三角函數(shù)的實際應用 類型一 母子型(臺州2012.20,紹興3考) 7. (2012臺州20題8分)如圖,為測量江兩岸碼頭B,D之間的距離,從山坡上高度為50米的點A處測得碼頭B的俯角∠EAB為15°,碼頭D的俯角∠EAD為45°,點C在線段BD的延長線上,AC⊥BC,垂足為C,求碼頭B、D的距離(結果保留整數(shù)).
4、 第7題圖 8. (2016舟山19題6分)太陽能光伏建筑是現(xiàn)代綠色環(huán)保建筑之一.老張準備把自家屋頂改建成光伏瓦面,改建前屋頂截面△ABC如圖②所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后頂點D在BA的延長線上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面邊沿增加部分AD的長.(結果精確到0.1米) (參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73) 第8題圖 9. (2015紹興20題8分)如圖
5、,從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點P的仰角是45°,向前走6 m到達B點,測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°. (1)求∠BPQ的度數(shù); (2)求該電線桿PQ的高度(結果精確到1 m). (備用數(shù)據(jù):≈1.7,≈1.4) 第9題圖 10. (2016紹興20題8分)如圖①,某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度,在河的南岸邊點A處,測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向,然后向西走60 m到達C點,測得點B在點C的北偏東60°方向,如圖②. (1)求∠CBA的度數(shù); (2)求出
6、這段河的寬(結果精確到1 m,備用數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73). 第10題圖 類型二 背靠背型(臺州2016.20,紹興2考) 11. (2016臺州20題8分)保護視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應超過30 cm.圖①是一位同學的坐姿,把他的眼睛B,肘關節(jié)C和筆端A的位置關系抽象成圖②的△ABC.已知BC=30 cm,AC=22 cm,∠ACB=53°,他的這種坐姿符合保護視力的要求嗎?請說明理由. (參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3) 第11題圖 12. (2017紹興20題8分)如圖,
7、學校的實驗樓對面是一幢教學樓,小敏在實驗樓的窗口C測得教學樓頂部D的仰角為18°,教學樓底部B的俯角為20°,量得實驗樓與教學樓之間的距離AB=30 m. (1)求∠BCD的度數(shù); (2)求教學樓的高BD. (結果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 第12題圖 類型三 實物型(臺州2考,紹興2013.21) 13. (2015臺州19題8分)如圖,這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側面示意圖,已知頭枕上的點A到調(diào)節(jié)器點O處的距離為80 cm,AO與地面垂直.現(xiàn)調(diào)整靠背,把OA繞點O旋轉35°到OA′處
8、,求調(diào)整后點A′比調(diào)整前點A的高度降低了多少厘米(結果取整數(shù))? (參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70) 第13題圖 14. (2017臺州19題8分)如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖,汽車靠墻一側OB與墻MN平行且距離為0.8米.已知小汽車車門寬AO為1.2米,當車門打開角度∠AOB為40°時,車門是否會撞到墻?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64;cos40°≈0.77;tan40°≈0.54) 第14題圖 15. (2013紹興21題10
9、分)如圖,傘不論張開還是收緊,傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角∠BAC,當傘收緊時,動點D與點M重合,且點A,E,D在同一條直線上,已知部分傘架的長度如下: 單位: cm 傘架 DE DF AE AF AB AC 長度 36 36 36 36 86 86 (1)求AM的長; (2)當∠BAC=104°時,求AD的長(精確到1 cm). (備用數(shù)據(jù):sin52°≈0.788,cos52°≈0.6157,tan52°≈1.2799) 第15題圖 16. (2015金華16題5分)圖①是一張可以
10、折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖,此時點A,B,C在同一直線上,且∠ACD=90°,圖②是小床支撐腳CD折疊的示意圖,在折疊過程中,△ACD變形為四邊形ABC′D′,最后折疊形成一條線段BD″. (1)小床這樣設計應用的數(shù)學原理是________; (2)若AB∶BC=1∶4,則tan∠CAD的值是________. 第16題圖 17. (2011紹興20題8分)為倡導“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具,如圖①所示是一輛自行車的實物圖.車架檔AC與CD的長分別為45 cm,60 cm,且它們互相垂直,座桿CE的長為20 cm,點A,C,E在同一條直線上,且∠
11、CAB=75°,如圖②. (1)求車架檔AD的長; (2)求車座點E到車架檔AB的距離. (結果精確到1 cm. 參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.7321) 第17題圖 類型四 其他類型(臺州2014.21,溫州2考,紹興2012.19) 18. (2014麗水5題3分)如圖,河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),壩高BC=3 m,則坡面AB的長度是( ) A. 9 m B. 6 m C. 6 m
12、 D. 3 m 第18題圖 19. (2016寧波16題4分)如圖,在一次數(shù)學課外實踐活動中,小聰在距離旗桿10 m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60°,測角儀高AD為1m,則旗桿高BC為________m(結果保留根號). 第19題圖 20. (2012溫州21題9分)某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線l(如圖).救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況,發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號.他立即沿AB方向徑直前往救援,同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙.乙馬上從C處入海,徑直向B處游去.甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處,再向B處游去.若CD=40米
13、,B在C的北偏東35°方向,甲、乙的游泳速度都是2米/秒.問誰先到達B處?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43) 第20題圖 21. (2014臺州21題10分)如圖,某翼裝飛行運動員從離水平地面高AC=500 m的A處出發(fā),沿著俯角為15°的方向直線滑行1600米到達D點,然后打開降落傘以75°的俯角降落到地面上的B點,求他飛行的水平距離BC(結果精確到1 m). 第21題圖 22. (2017嘉興22題10分)如圖是小強洗漱時的側面示意圖,洗漱臺(矩形 AB
14、CD)靠墻擺放,高AD=80 cm,寬AB=48 cm.小強身高166 cm,下半身FG=100 cm,洗漱時下半身與地面成 80°(∠FGK=80°),身體前傾成 125° (∠EFG=125°) , 腳與洗漱臺距離GC=15 cm (點 D,C,G,K 在同一直線上) . (1)此時小強頭部E點與地面DK相距多少? (2)小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方,他應向前或后退多少?(sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,≈1.41,結果精確到0.1) 第22題圖 答案 1.
15、 2.D 【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,則AC==4,∴cosA==. 3.A 【解析】∵cosB=,∴=,∵AB=6.∴BC=×6=4. 4.C 【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦的定義解答即可.根據(jù)cosα=,得cosα==,又∵∠α=∠ACD,cos∠ACD=,∴cosα=. 5.A 【解析】如解圖,∵點A(2,t)在第一象限,∴AB=t,OB=2,又∵tanα===2,∴t=4. 第5題解圖 6.B 【解析】如解圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∴sinA==,∵AB=4,∴BC=,AC===,設斜邊上的高為h,則S△ABC=
16、AC·BC=AB·h,即×=4h,解得h=. 第6題解圖 7.解:∵AE∥BC, ∴∠ADC=∠EAD=45°,∠ABC=∠EAB=15°, 又∵AC⊥CD, ∴CD=AC=50(米), 又∵tan∠ABC==tan15°≈0.27, 即≈0.27, 解得BC≈185.2(米), ∴BD=185.2-50≈135(米). 答:碼頭B、D的距離約為135米.(8分) 8.解:在Rt△BDC中,∠BDC=90°,BC=10(米),sinB=, ∴CD=BC·sinB≈10×0.59
17、=5.9(米),(2分) 在Rt△BCD中,∠BCD=90°-∠B=90°-36°=54°, ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=54°-36°=18°,(4分) 在Rt△ACD中,tan∠ACD=, ∴AD=CD·tan∠ACD≈5.9×0.32=1.888≈1.9(米), 答:改建后南屋面邊沿增加部分AD的長約為1.9米.(6分) 9.解:(1)如解圖,延長PQ交直線AB于點C, ∴∠BPQ=90°-∠PBC=90°-60°=30°;(3分) 第
18、9題解圖 (2)如解圖,設PQ=x, ∵∠PBQ=∠PBC-∠QBC=60°-30°=30°, 由(1)知∠BPQ=30°, ∴∠PBQ=∠BPQ, ∴QB=QP=x,(4分) 在Rt△BCQ中,BC=QB·cos30°=x,QC=QB·sin30°=x,(5分) 在Rt△ACP中,∠PAC=45°, ∴∠APC=90°-∠PAC=45°, ∴CA=CP, ∵CA=AB+BC=6+x, CP=CQ+QP=x, ∴6+x=x,(6分) 解得x=2+6, ∴PQ
19、=2+6≈2×1.7+6≈9 m, 答:該電線桿PQ的高度約為9 m.(8分) 10.解:(1)由已知可得∠CAB=135°,∠BCA=30°, ∴∠CBA=180°-(135°+30°)=15°;(3分) (2)如解圖,過點B作BD⊥AC交CA的延長線于點D,設BD=x, 在Rt△CBD中,∠BCD=30°, 第10題解圖 ∴CD=BD= x, (5分) 同理,在Rt△ABD中,AD=BD=x, ∴AC=CD-AD=(-1)x,(6分) 由已知得(-1)x=60, 解得x==30(+1)
20、≈2.73×30≈82, ∴BD=82 m, 答:這段河的寬約為82 m.(8分) 11.解:他的這種坐姿不符合保護視力的要求.(2分) 理由如下:如解圖,過點B作BD⊥AC于點D, 第11題解圖 由題意可得,BC=30 cm,∠ACB=53°.(3分) 在Rt△BCD中, BD=BC·sin53°≈30×0.8=24 cm,(4分) DC=BC·cos53°≈30×0.6=18 cm,(5分) ∵AC=22 cm, ∴AD=AC-CD=22-18=4 cm,(6分) 利用勾股定
21、理可得AB== ≈24.3 cm,(7分) ∵24.3<30, ∴他的這種坐姿不符合保護視力的要求.(8分) 12.解:(1)如解圖,過點C作CE⊥BD于點E, 第12題解圖 則∠DCE=18°,∠BCE=20°, ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°;(4分) (2)由已知得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan20°≈30×0.36=10.80 m,(5分) 在Rt△CDE中,DE=CD·tan18°≈30
22、5;0.32=9.60 m,(6分) ∴數(shù)學樓的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4 m. 答:教學樓的高BD為20.4 m.(8分) 13.解:如解圖,過點A′作A′B⊥AO于點B,則A′O=AO=80 cm,∠A′OB=35°, ∴OB=A′O·cos35°≈80×0.82=65.6 cm,(5分) ∴AB=AO-BO=80-65.6=14.4≈14 cm, 答:調(diào)整后點A′比調(diào)整前點A的高度降低了約14 cm.(8分) 第13題解圖 14.解:車門不會撞到墻. 理由如下:如解圖,過點A作OB的垂線,垂足為C,在
23、Rt△AOC中, 第14題解圖 sin∠AOC=,(3分) ∴AC=AO·sin40°=1.2×0.64=0.768. ∵0.768<0.8, ∴車門不會碰到墻.(8分) 15.解:(1)由題意得,AM=AE+DE=36+36=72 cm, 故AM的長為72 cm;(4分) 第15題解圖 (2)∵AP平分∠BAC,∠BAC=104°, ∴∠EAD=∠BAC=52°. 如解圖,過點E作EG⊥AD于點G, ∵AE=DE=36 cm, ∴AG=DG,AD=2AG.(8分) 在△AEG中,∠AGE=90
24、°, ∴AG=AE·cos∠EAG=36×cos52°≈36×0.6157=22.1652 cm, ∴AD=2AG=2×22.1652≈44 cm, 答:AD的長約為44 cm.(10分) 16.(1)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性;(2). 【解法提示】∵AB∶BC=1∶4,∴設AB=x,DC=y(tǒng),則BC=4x,C″D″=y(tǒng),由圖形可得:BC″=4x,則AC″=3x,AD=AD″=3x+y,由AC2+DC2=AD2,即(5x)2+y2=(3x+y)2,解得y=x,則tan∠CAD===. 第16題解圖 17.解:
25、(1)∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=45 cm,DC=60 cm, ∴AD===75 cm, ∴車架檔AD的長是75 cm;(3分) 第17題解圖 (2)如解圖,過點E作EF⊥AB,垂足為點F. ∵AE=AC+CE=65 cm, ∴EF=AE·sin75°=65×sin75°≈62.7835≈63 cm, 答:車座點E到車架檔AB的距離約是63 cm. (8分) 18.B 【解析】∵迎水坡AB的坡比為1∶,∴=,∵BC=3 m,∴AC=3 m,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===6 m. 19.10+1
26、 【解析】如解圖,過點A作AE⊥BC,垂足為E,則AE=CD=10 m,在Rt△AEB中,BE=AE·tan60°=10×=10 m,于是BC=BE+AD=(10+1)m. 第19題解圖 20.解:由題意得∠BCD=55°,∠BDC=90°,(2分) ∵tan∠BCD=, ∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2(米).(4分) ∵cos∠BCD=, ∴BC==≈70.2(米),(6分) ∴t甲=+10=38.6(秒),t乙==35.1(秒), ∴t甲>t乙. 答:乙先到達B
27、處.(9分) 21.解:如解圖,過點D作DE⊥AC于點E,作DF⊥BC于點F, 第21題解圖 由題意得∠ADE=15°, ∠BDF=90°-75°=15°,AD=1600 m, AC=500 m, ∴在Rt△ADE中, AE=AD·sin∠ADE=AD·sin15°≈1600×0.26=416 m, DE=AD·cos∠ADE=AD·cos15°≈1600×0.97=1552 m,(5分) ∴DF=EC=AC-AE=500-416=84 m, 在Rt△
28、BDF中,BF=DF·tan∠BDF=DF·tan15°≈84×0.27=22.68 m, ∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575 m. 答:他飛行的水平距離BC約為1575 m.(10分) 22.解:(1)如解圖,過點F作FN⊥DK于點N,過點E作EM⊥FN交NF延長線于點M. 第22題解圖 ∵EF+FG=166 cm,F(xiàn)G=100 cm, ∴EF=66 cm, ∵∠FGK=80°, ∴FN=100·sin80°≈98 cm, 又∵∠EFG=125°, ∴∠EF
29、M=180°-125°-10°=45°, ∴FM=66·cos45°=33≈46.53 cm, ∴MN=FN+FM≈144.5 cm. ∴此時小強頭部E點與地面DK相距約144.5 cm;(4分) (2)如解圖,過點E作EP⊥AB于點P,延長OB交MN于點H, ∵AB=48,O為AB的中點, ∴AO=BO=24, ∵EM=66×sin45°≈46.53 cm, 即PH≈46.53 cm, GN=100×cos80°≈17,CG≈15 cm, ∴OH=24+15+17=56, ∴OP=OH-PH=56-46.53=9.47≈9.5 cm, ∴他應向前9.5 cm.(10分)
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