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1、
專題02 函數(shù)
一.基礎(chǔ)題組
1. 【20xx上海,文3】設(shè)常數(shù),函數(shù),若,則 .
【答案】3
【考點(diǎn)】函數(shù)的定義.
2. 【20xx上海,文9】設(shè)若是的最小值,則的取值范圍是 .
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的最值問題..
3. 【20xx上海,文11】若,則滿足的取值范圍是 .
【答案】
【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì).
4. 【20xx上海,文8】方程=3x的實(shí)數(shù)解為______.
【答案】log34
5. 【20xx上海,文15】函數(shù)f(x)=x2-1(x≥0)的反函數(shù)為f-1(x),則f-1(2)的值是( )
A.
2、 B. C. D.
【答案】A
6. 【20xx上海,文6】方程4x-2x+1-3=0的解是__________.
【答案】log23
7. 【20xx上海,文9】已知y=f(x)是奇函數(shù),若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,則g(-1)=__________.
【答案】3
8. 【20xx上海,文13】已知函數(shù)y=f(x)的圖像是折線段ABC,其中A(0,0),B(,1),C(1,0).函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為__________.
【答案】
9. 【20xx上海,文3】若函數(shù)f(x)=2x+1的反
3、函數(shù)為f-1(x),則f-1(-2)=________.
【答案】
10. 【20xx上海,文14】設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù).若函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)閇-2,5],則f(x)在區(qū)間[0,3]上的值域?yàn)開_______.
【答案】[-2,7]
11. 【20xx上海,文15】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為( )
A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.
【答案】A
12. 【20xx上海,文9】 函數(shù)f(x)=log3
4、(x+3)的反函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________.
【答案】 (0,-2)
13. 【20xx上海,文17】若x0是方程lgx+x=2的解,則x0屬于區(qū)間 …( )
A.(0,1) B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)
【答案】D
14. (2009上海,文1)函數(shù)=x3+1的反函數(shù)f-1(x)=__________.
【答案】
15. 【2008上海,文4】若函數(shù)的反函數(shù)為,則 .
【答案】
16. 【2008上海,文9】若函數(shù)(常數(shù))是偶函數(shù),且它的值域?yàn)?,則該函數(shù)的解析式
5、 .
【答案】
17. 【2008上海,文11】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.如果
是圍成的區(qū)域(含邊界)上的點(diǎn),那么當(dāng)取到最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)
是 .
【答案】
18. 【2007上海,文1】方程的解是 .
【答案】
19.【2007上海,文2】函數(shù)的反函數(shù) .
【答案】
20. 【2007上海,文8】某工程由四道工序組成,完成它們需用時(shí)間依次為天.四道工序的先后順序及相互關(guān)系是:可以同時(shí)開工;完成后,可以開工;
6、完成后,可以開工.若該工程總時(shí)數(shù)為9天,則完成工序需要的天數(shù)最大是 .
【答案】3
21.【2007上海,文15】設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:“當(dāng)成立時(shí),總可推出成立”. 那么,下列命題總成立的是( )
A.若成立,則成立 B.若成立,則成立
C.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
D.若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立
【答案】D
22. 【2006上海,文3】若函數(shù)的反函數(shù)的圖像過點(diǎn),則.
【答案】
23. 【2006上海,文8】方程的解是_______.
【答案】5
24. 【2005上海,文1】函數(shù)的反函數(shù)=__________.
【答案】
25.
7、【2005上海,文2】方程的解是__________.
【答案】x=0
26.【2005上海,文13】若函數(shù),則該函數(shù)在上是( )
A.單調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值
C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值
【答案】A
二.能力題組
1. 【20xx上海,文20】(本題滿分14分)本題有2個(gè)小題,第一小題滿分6分,第二小題滿分1分.
設(shè)常數(shù),函數(shù)
(1) 若=4,求函數(shù)的反函數(shù);
(2) 根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
【答案】(1),;(2)時(shí)為奇函數(shù),當(dāng)時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)
8、且時(shí)為非奇非偶函數(shù).
【考點(diǎn)】反函數(shù),函數(shù)奇偶性.
2. 【20xx上海,文20】甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每一小時(shí)可獲得的利潤是元.
(1)求證:生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為元;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
【答案】(1) 參考解析;(2) 甲廠應(yīng)以 6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn),可獲得最大利潤為457 500元
3. 【20xx上海,文21】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx),其中常數(shù)ω>0.
(1)令ω=1,判斷函數(shù)F(x)=f(x)+的奇偶性,并說明理
9、由;
(2)令ω=2,將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖像.對任意aR,求y=g(x)在區(qū)間[a,a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值.
【答案】(1) F(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);(2) 可能值為21或20
4. 【20xx上海,文20】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范圍;
(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),有g(shù)(x)=f(x),求函數(shù)y=g(x)(x∈[1,2])的反函數(shù).
【答案】(1) ;(2) y=3-10x ,x∈[0,lg 2]
10、
5. 【20xx上海,文21】海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn),以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度),則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處,如圖.現(xiàn)假設(shè):①失事船的移動路徑可視為拋物線;②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;③救援船出發(fā)t小時(shí)后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.
(1)當(dāng)t=0.5時(shí),寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).若此時(shí)兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向;
(2)問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案】(1) 北偏東弧度; (2) 時(shí)速至少是25海里才能追上失事船
6. 【20xx上海,文
11、21】已知函數(shù)f(x)=a2x+b3x,其中常數(shù)a,b滿足ab≠0.
(1)若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.
【答案】(1) 函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; (2) 參考解析
7. 【20xx上海,文19】已知0<x<,化簡:lg(cosxtanx+1-2sin2)+lg[cos(x-)]-lg(1+sin2x).
【答案】0
8. 【20xx上海,文22】若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b,證明
12、:a2b+ab2比a3+b3接近2ab;
(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明).
【答案】(1) (-2,2); (2)參考解析; (3)參考解析
9. (2009上海,文21)有時(shí)可用函數(shù)描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*),表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).
(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增長量f(x+1)-總是下降;
(2)根據(jù)
13、經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí),掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.
【答案】(1)參考解析; (2) 乙學(xué)科
10. 【2008上海,文17】(本題滿分13分)
如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處,小區(qū)里
有兩條筆直的小路,且拐彎處的轉(zhuǎn)角為.已知某人從沿走到用了10分鐘,從沿走到用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,求該扇形的半徑的長(精確到1米).
【答案】445
11. 【2008上海,文19】(本題滿分16分)本
14、題共有2個(gè)小題,第1小題滿分8分,第2小題滿分8分.
已知函數(shù).
(1)若,求的值;
(2)若對于恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1);(2)
12. 【2007上海,文18】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
近年來,太陽能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快.2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦,年生產(chǎn)量的增長率為34%. 以后四年中,年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%(如,2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%).
(1)求2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量(結(jié)果精確到0.1兆瓦);
(2)目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠(yuǎn)小
15、于生產(chǎn)量,2006年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦.假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在42%,到20xx年,要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平(即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%),這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到多少(結(jié)果精確到0.1%)?
【答案】(1)2499.8兆瓦;(2)
13.【2007上海,文19】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分.
已知函數(shù),常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),解不等式;
(2)討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
【答案】(1);(2)參考解析
14. 【2006上海,文22】(本題滿分18分)本題共
16、有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分
已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù),那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),求的值.
(2)設(shè)常數(shù),求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)當(dāng)是正整數(shù)時(shí),研究函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由.
【答案】(1)4;(2)參考解析;(3)參考解析
15. 【2005上海,文19】(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)A、B,(分別是與軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù).
(1)求的值;
(2)當(dāng)滿足時(shí),求函數(shù)的最小值.
【答案】(1)k=1,b=2;(2)-3
【解后反思】
17、要熟悉在其函數(shù)的定義域內(nèi),常見模型函數(shù)求最值的常規(guī)方法.如型.
16. 【2005上海,文20】(本題滿分14分)假設(shè)某市2004年新建住房面積400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,
(1)該市歷年所建中低價(jià)層的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4780萬平方米?
(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?
【答案】(1)20xx;(2)2009
17. 【2005上海,文22】(本題滿分18分)對定義域是、的函數(shù)、,規(guī)定:函數(shù).
(1)若函數(shù),,寫出函數(shù)的解析式;
(2)求問題(1)中函數(shù)的值域;
(3)若,其中是常數(shù),且,請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù),及一個(gè)的值,使得,并予以證明.
【答案】(1);(2);(3)