全國通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含解析

【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題6 三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、選擇題1(20xx·河南八市質(zhì)檢)已知sincos ，則2sin cos()A B.C D.答案B解析2sin cos2sin sin 2sin，又由于sincos sin cos cos sin cos sin，又sincoscos12sin21，所以2sincos.方法點(diǎn)撥1.已知條件為角的終邊過某點(diǎn)時，直接運(yùn)用三角函數(shù)定義求解；已知條件為角的終邊在某條直線上，在直線取一點(diǎn)后用定義求解；已知sin、cos、tan中的一個值求其他值時，直接運(yùn)用同角關(guān)系公式求解，能用誘導(dǎo)公式化簡的先化簡2已知tan求sin與cos的齊次式的值時，將分子分母同除以cosn化“切”代入，所求式為整式時，視分母為1，用1sin2cos2代換3sincos，sincos，sincos知一求其他值時，利用關(guān)系(sin±cos)21±2coscos.要特別注意利用平方關(guān)系巧解題已知某三角函數(shù)式的值，求另一三角函數(shù)式的值時，關(guān)鍵是分析找出兩三角函數(shù)式的聯(lián)系恰當(dāng)化簡變形，再代入計(jì)算2(文)(20xx·洛陽市期末)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(，a)，若點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上，則sin ()A B.C D.答案D解析由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為y1，故A(，1)，所以sin.(理)(20xx·山東理，3)要得到函數(shù)ysin的圖象，只需將函數(shù)ysin 4x的圖象()A向左平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向右平移個單位答案B解析因?yàn)閥sin(4x)sin4(x)所以要得到y(tǒng)sin4(x)的圖象，只需將函數(shù)ysin 4x的圖象向右平移個單位故選B.3函數(shù)f(x)Asin(x)(其中A>0，>0，|<)的圖象如圖所示，為了得到g(x)sin3x的圖象，則只要將f(x)的圖象()A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度答案B解析由題知，函數(shù)f(x)的周期T4()，所以，解得3，易知A1，所以f(x)sin(3x)又f(x)sin(3x)過點(diǎn)(，1)，所以sin(3×)1，所以3×2k，kZ，所以2k，kZ，又|<，所以，所以f(x)sin(3x)sin3(x)，所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)g(x)sin3x的圖象，故選B.方法點(diǎn)撥1.已知正弦型(或余弦型)函數(shù)的圖象求其解析式時，用待定系數(shù)法求解由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定，由圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)來確定，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，否則的值不確定，解析式也就不唯一將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個點(diǎn)“第一點(diǎn)”(即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))為x002k(kZ)，其他依次類推即可2解答有關(guān)平移伸縮變換的題目時，向左(或右)平移m個單位時，用xm(或xm)代替x，向下(或上)平移n個單位時，用yn(或yn)代替y，橫(或縱)坐標(biāo)伸長或縮短到原來的k倍，用代替x(或代替y)，即可獲解4(文)已知R，sin2cos，則tan2()A. B.CD答案C解析本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系將sin2cos兩邊平方可得，sin24sincos4cos2，4sincos3cos2.將左邊分子分母同除以cos2得，解得tan3或tan，tan2.(理)(20xx·唐山市一模)已知2sin21cos2，則tan2()A B.C或0 D.或0答案D解析，或tan20或tan2.5(20xx·安徽理，10)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A，均為正的常數(shù))的最小正周期為，當(dāng)x時，函數(shù)f(x)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是()Af(2)f(2)f(0)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)答案A解析考查三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用及函數(shù)值的大小比較解法1：由題意， f(x)Asin(x)(A>0，>0，>0)，T，所以2，則f(x)Asin(2x)，而當(dāng)x時，2×2k，kZ，解得2k，kZ，所以f(x)Asin(2x)(A>0)，則當(dāng)2x2n，nZ，即xn，時，nZ，f(x)取得最大值要比較f(2)，f(2)，f(0)的大小，只需判斷2，2,0與最近的最高點(diǎn)處對稱軸的距離大小，距離越大，值越小，易知0,2與比較近，2與比較近，所以，當(dāng)k0時，x，此時|0|0.52，|2|1.47，當(dāng)k1時，x，此時|2()|0.6，所以f(2)<f(2)<f(0)，故選A.解法2：f(x)的最小正周期為，且在x時f(x)取最小值，在x時取到最大值f(2)f(2)，f(x)在，上單調(diào)遞減，f(2)>f(2)，即f(2)>f(2)，又2>0，f(x)圖象的一條對稱軸方程為x，f(2)<f(0)，即f(2)<f(0)，f(2)<f(2)<f(0)6(文)函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的圖象關(guān)于直線x對稱，它的最小正周期為，則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是()A(，1)B(，0)C(，0)D(，0)答案B解析由題意知T，2，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對稱，得2×k(kZ)，即k(kZ)又|<，f(x)Asin(2x)，令2xk(kZ)，則x(kZ)一個對稱中心為(，0)，故選B.(理)已知函數(shù)f(x)cosxsin2x，下列結(jié)論中錯誤的是()Af(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)Bf(x)最大值是1Cf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱Df(x)的圖象關(guān)于直線x對稱答案B解析f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x)，f(x)為偶函數(shù)f(x2)cos(x2)sin2(x2)cosxsin2x，2是f(x)一個周期，故A選項(xiàng)正確f(x)cosxsin2xcos3xcosx，令tcosx則t1,1，g(t)t3t，g(t)3t21令g(t)0，則t±，易知f(x)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，在(，1上單調(diào)遞減，g(1)0，g()，g(t)max1，故B項(xiàng)錯誤7(文)給出下列四個命題：f(x)sin(2x)的對稱軸為x，kZ；函數(shù)f(x)sinxcosx最大值為2；函數(shù)f(x)sinxcosx1的周期為2；函數(shù)f(x)sin(x)在，上是增函數(shù)其中正確命題的個數(shù)是()A1B2C3D4答案B解析由2xk，kZ，得x(kZ)，即f(x)sin(2x)的對稱軸為x，kZ，正確；由f(x)sinxcosx2sin(x)知，函數(shù)的最大值為2，正確；f(x)sinxcosx1sin2x1，函數(shù)的周期為，故錯誤；函數(shù)f(x)sin(x)的圖象是由f(x)sinx的圖象向左平移個單位得到的，故錯誤(理)若f(x)2sin(x)m，對任意實(shí)數(shù)t都有f(t)f(t)，且f()3，則實(shí)數(shù)m的值等于()A1B±5C5或1D5或1答案C解析依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，于是x時，函數(shù)f(x)取得最值，因此有±2m3，m5或m1，選C.8(文)在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，則cosC的值是()A B.C.D答案B解析由tanA·tanBtanAtanB1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，則C，cosC，故選B.(理)(20xx·新課標(biāo)理，8)設(shè)(0，)，(0，)，且tan，則()A3B3C2D2答案C解析本題考查了誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換運(yùn)用驗(yàn)證法解法1：當(dāng)2時，2，所以tan.解法2：tan，sin()cossin()，、(0，)，(，)，(0，)，2.9(20xx·石家莊市二模)在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P，則sin()A.BC.D答案A解析由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin，cos)，即P(cos，sin)，2k，kZ.sin(2)sin(4k)sin，故選A.10(文)(20xx·河南六市聯(lián)考) 函數(shù)ycos(x)(>0,0<<)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，并且兩點(diǎn)間的距離為2，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸為()AxBxCx1Dx2答案C解析ycos(x)為奇函數(shù)，其圖象過原點(diǎn)，cos0，0<<，ycos(x)sinx，設(shè)周期為T，則由條件知()21(1)2(2)2，T4.，函數(shù)為ysin(x)令xk(kZ)得x2k1，x1為其一條對稱軸(理)(20xx·陜西理，3)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y3sink.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()A5B6C8D10答案C解析由圖象知，最小值為2，3k2，k5，最大值為3k8.故選C.二、填空題11(20xx·葫蘆島市一模)已知函數(shù)f(x)cosx·sincos2x，xR則f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值分別為_答案、解析f(x)sinxcosxcos2xcos2xsin2x(cos2x1)sin，當(dāng)x時，2x，sin.f(x).12(文)(20xx·陜西文，13)設(shè)0<<，向量a(sin2，cos)，b(1，cos)，若a·b0，則tan_.答案解析本題考查向量垂直、向量坐標(biāo)運(yùn)算等a·b0，sin2cos20，即cos(2sincos)0.又0<<，cos0，2sincos，tan.(理)如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合，那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù)給出下列四個函數(shù)：f(x)sinxcosx；f(x)(sinxcosx)；f(x)sinx；f(x)sinx.其中為“互為生成”函數(shù)的是_(填序號)答案解析首先化簡題中的四個解析式可得：f(x)sin(x)，f(x)2sin(x)，f(x)sinx，f(x)sinx，可知f(x)sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合，單純經(jīng)過平移不能完成，必須經(jīng)過伸縮變換才能實(shí)現(xiàn)，所以f(x)sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù)，同理f(x)sin(x)的圖象與f(x)2sin(x)的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合，而f(x)sinx的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位即可得到f(x)sin(x)的圖象，所以為“互為生成”函數(shù)三、解答題13(文)(20xx·甘肅三診)已知f(x)sinx2sin2(>0)的最小正周期為3.(1)當(dāng)x，時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)在ABC中，若f(C)1，且2sin2BcosBcos(AC)，求sinA的值解析f(x)sin(x)2·sin(x)cos(x)12sin(x)1，由3得，f(x)2sin(x)1.(1)由x得x，當(dāng)sin(x)時，f(x)min2×11.(2)由f(C)2sin(C)1及f(C)1，得sin(C)1，而C， 所以C，解得C.在RtABC中，AB，2sin2BcosBcos(AC)，2cos2AsinAsinA0，sin2AsinA10，解得sinA.0<sinA<1，sinA.(理)已知函數(shù)f(x)(2cos2 x1)sin2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解析(1)因?yàn)閒(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin(4x)所以f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)因?yàn)閒()，所以sin(4)1.因?yàn)?，)，所以4(，)，所以4，故.14已知函數(shù)f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解析(1)f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1sin(2x)cos(2x)sin(2x)·coscos(2x)·sinsin(2x)sin(2x)f(x)的最小正周期T.(2)由(1)可知f(x)sin(2x)當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時，函數(shù)f(x)sin(2x)是增函數(shù)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)方法點(diǎn)撥1.解答三角函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、周期性、最值等)問題時，通常是利用三角函數(shù)的有關(guān)公式，通過將三角函數(shù)化為只含一個函數(shù)名稱且角度唯一，最高次數(shù)為一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函數(shù)依次對所求問題作出解答2求三角函數(shù)的最值的方法：(1)化為正弦(余弦)型函數(shù)yasinxbcosx型引入輔助角化為一角一函(2)化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)15設(shè)函數(shù)f(x)2cos2x2sinxcosxm(xR)(1)化簡函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若x0，是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f(x)的值域恰為，？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由解析(1)f(x)2cos2x2sinxcosxm1cos2xsin2xm2sin(2x)m1，函數(shù)f(x)的最小正周期T.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，符合題意x0，2x，則sin(2x)，1，f(x)2sin(2x)m1m,3m又f(x)的值域?yàn)?，解得m.存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f(x)的值域恰為，方法點(diǎn)撥1.求值題一般先將三角函數(shù)式化簡，再求值2討論三角函數(shù)的性質(zhì)(求單調(diào)區(qū)間、求最值、求周期等)的題目，一般先運(yùn)用三角公式化簡函數(shù)表達(dá)式，再依據(jù)正弦型或余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論3三角變換的基本策略：(1)1的變換；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入輔助角；(5)角的變換與項(xiàng)的分拆16(文)(20xx·廣東文，16)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值分析考查：1.兩角和的正切公式；2.特殊角的三角函數(shù)值；3.二倍角的正、余弦公式；4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由兩角和的正切公式展開，代入數(shù)值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式變形，然后化切求解解析(1) tan3，(2) 1.(理)(20xx·福建文，21)已知函數(shù)f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移a(a>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù)g(x)的最大值為2.()求函數(shù)g(x)的解析式；()證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0.解析(1)因?yàn)閒(x)10sincos10cos25sin x5cos x510sin5.所以函數(shù)f(x)的最小正周期T2.(2)(i)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到y(tǒng)10sin x5的圖象，再向下平移a(a>0)個單位長度后得到g(x)10sin x5a的圖象又已知函數(shù)g(x)的最大值為2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sin x8.(ii)要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得10sin x08>0，即sin x0>.由<知，存在0<0<，使得sin 0.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x(0，0)時，均有sin x>.因?yàn)閥sin x的周期為2，所以當(dāng)x(2k0,2k0)(kZ)時，均有sin x>.因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)k，(2k0)(2k0)20>>1，所以對任意的正整數(shù)k，都存在正整數(shù)xk(2k0,2k0)，使得sin xk>.即，存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)>0.