五年高考真題高考數學 復習 第十章 第六節(jié) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 理全國通用

第六節(jié)第六節(jié) 離散型隨機變量的分布列、均值與方差離散型隨機變量的分布列、均值與方差 考點一 離散型隨機變量的分布列 1(20 xx廣東，4)已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數學期望E(X)( ) A.32 B2 C.52 D3 解析 由已知條件可知E(X)1352310311032，故選 A. 答案 A 2(20 xx安徽，17)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結果 (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產品需要費用 100 元，設X表示直到檢測出 2 件次品或者檢測出 3 件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數學期望) 解 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)A12A13A25310. (2)X的可能取值為 200，300，400. P(X200)A22A25110， P(X300)A33C12C13A22A35310， P(X400)1P(X200)P(X300)1110310610. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 110 310 610 E(X)200110300310400610350. 3(20 xx福建，16)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現 3 次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時，發(fā)現自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇 1 個進行嘗試若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定 (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數為X，求X的分布列和數學期望 解 (1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A， 則P(A)56453412. (2)依題意得，X所有可能的取值是 1，2，3. 又P(X1)16，P(X2)561516， P(X3)5645123. 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 16 16 23 所以E(X)11621632352. 4(20 xx重慶，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗設一盤中裝有 10 個粽子，其中豆沙粽 2 個，肉粽 3 個，白粽 5 個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個 (1)求三種粽子各取到 1 個的概率； (2)設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列與數學期望 解 (1)令A表示事件“三種粽子各取到 1 個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)C12C13C15C31014. (2)X的所有可能值為 0，1，2，且 P(X0)C38C310715，P(X1)C12C28C310715， P(X2)C22C18C310115. 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 715 715 115 故E(X)07151715211535(個) 5(20 xx天津，16)某大學志愿者協(xié)會有 6 名男同學，4 名女同學在這 10 名同學中，3名同學來自數學學院，其余 7 名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同) (1)求選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率； (2)設X為選出的 3 名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望 解 (1)設“選出的 3 名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)C13C27C03C37C3104960. 所以，選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率為4960. (2)隨機變量X的所有可能值為 0，1，2，3. P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3) 所以，隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 隨機變量X的數學期望E(X)0161122310313065. 6(20 xx四川，17)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得 10 分，出現兩次音樂獲得 20 分，出現三次音樂獲得 100 分，沒有出現音樂則扣除 200 分(即獲得200 分)設每次擊鼓出現音樂的概率為12，且各次擊鼓出現音樂相互獨立 (1)設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數減少的原因 解 (1)X可能的取值為：10，20，100，200.根據題意，有 P(X10)C13121112238， P(X20)C23122112138， P(X100)C33123112018， P(X200)C03120112318. 所以X的分布列為 X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18. 所以，“三盤游戲中至少有一次出現音樂”的概率為 1P(A1A2A3)118311512511512. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是511512. (3)X的數學期望為E(X)10382038100182001854. 這表明，獲得分數X的均值為負， 因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大 7(20 xx山東，18)乒乓球臺面被球網分隔成甲、乙兩部分如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點在C上記 3 分，在D上記 1 分，其他情況記 0分對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為12，在D上的概率為13；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為15，在D上的概率為35.假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響求： (1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率； (2)兩次回球結束后，小明得分之和的分布列與數學期望 解 (1)記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)， 則P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316； 記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)， 則P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515. 記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上” 由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3， 由事件的獨立性和互斥性， P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3) P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3) P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3) 1215131516351615310， 所以小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率為310. (2)由題意，隨機變量可能的取值為 0，1，2，3，4，6， 由事件的獨立性和互斥性，得 P(0)P(A0B0)1615130， P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1) 1315163516， P(2)P(A1B1)133515， P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3) 12151615215， P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3) 123513151130， P(6)P(A3B3)1215110. 可得隨機變量的分布列為： 0 1 2 3 4 6 P 130 16 15 215 1130 110 所以數學期望E()013011621532154113061109130. 8(20 xx重慶，18)一盒中裝有 9 張各寫有一個數字的卡片，其中 4 張卡片上的數字是1，3 張卡片上的數字是 2，2 張卡片上的數字是 3.從盒中任取 3 張卡片 (1)求所取 3 張卡片上的數字完全相同的概率； (2)X表示所取 3 張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望 (注：若三個數a，b，c滿足abc，則稱b為這三個數的中位數) 解 (1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為pC34C33C39584. (2)X的所有可能值為 1，2，3，且 P(X1)C24C15C34C391742， P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384， P(X3)C22C17C39112， 故X的分布列為 X 1 2 3 P 1742 4384 112 從而E(X)117422438431124728. 9(20 xx江西，21)隨機將 1，2，2n(nN N*，n2)這 2n個連續(xù)正整數分成A，B兩組，每組n個數A組最小數為a1，最大數為a2；B組最小數為b1，最大數為b2，記a2a1，b2b1. (1)當n3 時，求的分布列和數學期望； (2)令C表示事件“與的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)； (3)對(2)中的事件C，C表示C的對立事件，判斷P(C)和P(C)的大小關系，并說明理由 解 (1)當n3 時，的所有可能取值為 2，3，4，5. 將 6 個正整數平均分成A，B兩組，不同的分組方法共有 C3620 種，所以的分布列為 2 3 4 5 P 15 310 310 15 E()2153310431051572. (2)和恰好相等的所有可能取值為：n1，n，n1，2n2. 又和恰好相等且等于n1 時，不同的分組方法有 2 種； 和恰好相等且等于n時，不同的分組方法有 2 種； 和恰好相等且等于nk(k1，2，n2)(n3)時，不同的分組方法有2Ck2k種； 所以當n2 時，P(C)4623， 當n3 時，P(C)22122(2C )Cnkkknn. (3)由(2)知當n2 時，P(C)13，因此P(C)P(C) 而當n3 時，P(C)P(C)，理由如下： P(C)P(C)等價于 2214(2Cnnnk. 1當n=3 時，式左邊=4（2+12C）=4（2+2）=16， 右邊=C36C=20，所以式成立. 2假設 n=m(m3)時式成立， 22214(2C)CmKmKmk即成立 那么，當n=m+1 時， 左邊=1 2214(2Cmkkk 21122(1)22(1)14(2C )4CC+4Cmkmmmkmmmk （2m）！m！m！4（2m2）?。╩1）！（m1）！ （m1）2（2m）（2m2）！（4m1）（m1）！（m1）！ （m1）2（2m）（2m2）！（4m）（m1）?。╩1）！ Cm12（m1）2（m1）m（2m1）（2m1） Cm12（m1）右邊 即當nm1 時式也成立 綜合 1，2得：對于n3 的所有正整數，都有P(C)P(C)成立 10(20 xx天津，16)一個盒子里裝有 7 張卡片，其中有紅色卡片 4 張，編號分別為 1，2，3，4；白色卡片 3 張，編號分別為 2，3，4.從盒子中任取 4 張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同) (1)求取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列和數學期望 解 (1)設“取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片”為事件A，則P(A)C12C35C22C25C4767. 所以取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片的概率為67. (2)隨機變量X的所有可能取值為 1，2，3，4. P(X1)C33C47135， P(X2)C34C47435， P(X3)C35C4727， P(X4)C36C4747. 所以隨機變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 135 435 27 47 隨機變量X的數學期望E(X)11352435327447175. 11(20 xx北京，16)下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于 100 表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于 200 表示空氣重度污染某人隨機選擇 3月 1 日至 3 月 13 日的某一天到達該市，并停留 2 天 (1)求此人到達當日空氣重度污染的概率； (2)設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天數，求X的分布列與數學期望； (3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？(結論不要求證明) 解 設Ai表示事件“此人于 3 月i日到達該市”(i1，2，13) 根據題意，P(Ai)113，且AiAj(ij) (1)設B為事件“此人到達當日空氣質量重度污染”，則BA5A8. 所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213. (2)由題意可知，X的所有可能取值為 0，1，2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)413， P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)413， P(X0)1P(X1)P(X2)513. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 513 413 413 故X的期望E(X)0513141324131213. (3)從 3 月 5 日開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大 12(20 xx江西，18)小波以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊，游戲規(guī)則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)這 8 個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X.若X0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊 (1)求小波參加學校合唱團的概率； (2)求X的分布列和數學期望 解 (1)從 8 個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有 C2828 種， X0 時，兩向量夾角為直角共有 8 種情形， 所以小波參加學校合唱團的概率為 P(X0)82827. (2)兩向量數量積X的所有可能取值為2，1，0，1， X2 時，有 2 種情形；X1 時，有 8 種情形；X1 時，有 10 種情形 所以X的分布列為： X 2 1 0 1 P 114 514 27 27 E(X)(2)114(1)514027127314. 13.(20 xx湖南，18)某人在如圖所示的直角邊長為 4 米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過 1 米 (1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望 解 (1)所種作物總株數N1234515，其中三角形地塊內部的作物株數為 3，邊界上的作物株數為12.從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有C13C11236 種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有 3328 種 故從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為83629. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列 因為P(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)， 所以只需求出P(Xk)(k1，2，3，4)即可 記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(k1，2，3，4)，則 n12，n24，n36，n43. 由P(Xk)nkN得 P(X1)215，P(X2)415， P(X3)61525， P(X4)31515. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 215 415 25 15 所求的數學期望為 E(Y)51215484154525421534649042546. 14(20 xx新課標全國，19)經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出 1 t該產品獲利潤 500 元，未售出的產品，每 1 t 虧損 300 元根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品，以X(單位：t，100X150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤 (1)將T表示為X的函數； (2)根據直方圖估計利潤T不少于 57 000 元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100，110)，則取X105，且X105 的概率等于需求量落入100，100)的頻率)，求T的數學期望 解 (1)當X100，130)時，T500X300(130X)800X39 000， 當X130，150時，T50013065 000. 所以T800X39 000，100X2)0.5； X1 對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 1 分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過 1 分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 2 分鐘， 所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49； X2 對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為 1 分鐘， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 法二 X所有可能的取值為 0，1，2. X0 對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過 2 分鐘， 所以P(X0)P(Y2)0.5； X2 對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為 1 分鐘， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； P(X1)1P(X0)P(X2)0.49. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 考點二 均值與方差 1(20 xx浙江，9)已知甲盒中僅有 1 個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m3，n3)，從乙盒中隨機抽取i(i1，2)個球放入甲盒中 (a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為i(i1，2)； (b)放入i個球后，從甲盒中取 1 個球是紅球的概率記為pi(i1，2)則( ) Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)，故選 A. 答案 A 2(20 xx湖北，9)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為 125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值E(X)( ) A.126125 B.65 C.168125 D.75 解析 由題意可知涂漆面數X的可能取值為 0，1，2，3. 由于P(X0)27125，P(X1)54125，P(X2)36125， P(X3)8125，故E(X)0271251541252361253812515012565. 答案 B 3(20 xx上海，9)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(x) ？ ！ ？ 請小牛同學計算的數學期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同據此，小牛給出了正確答案E()_. 解析 令“？”為a，“！”為b，則 2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2. 答案 2 4(20 xx浙江，15)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為23，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數若P(X0)112，則隨機變量X的數學期望E(X)_. 解析 P(X0)13(1p)2112， p12. 則P(X1)231212131212213， P(X2)2312122131212512， P(X3)23121216. 則E(X)0112113251231653. 答案 53 5(20 xx天津，16)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加現有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手 3 名從這 8 名運動員中隨機選擇 4 人參加比賽 (1)設A為事件“選出的 4 人中恰有 2 名種子選手，且這 2 名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的 4 人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望 解 (1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635. 所以，事件A發(fā)生的概率為635. (2) 隨機變量X的所有可能取值為 1，2，3，4. P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4) 所以隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 隨機變量X的數學期望E(X)1114237337411452. 6(20 xx山東，19)若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”(如137，359，567等)在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取 1 個數，且只能抽取一次得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被 5 整除，參加者得 0分；若能被5整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分 (1)寫出所有個位數字是 5 的“三位遞增數”； (2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數學期望E(X) 解 (1)個位數是 5 的“三位遞增數”有 125，135，145，235，245，345； (2)由題意知，全部“三位遞增數”的個數為 C3984， 隨機變量X的取值為：0，1，1，因此 P(X0)C38C3923， P(X1)C24C39114， P(X1)1114231142， 所以X的分布列為 X 0 1 1 P 23 114 1142 則E(X)023(1)11411142421. 7(20 xx湖南，18)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有 4 個紅球、6 個白球的甲箱和裝有 5 個紅球、5 個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎 (1)求顧客抽獎 1 次能獲獎的概率； (2)若某顧客有 3 次抽獎機會，記該顧客在 3 次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望 解 (1)記事件A1從甲箱中摸出的 1 個球是紅球， A2從乙箱中摸出的 1 個球是紅球， B1顧客抽獎 1 次獲一等獎，B2顧客抽獎 1 次獲二等獎， C顧客抽獎 1 次能獲獎 由題意，A1與A2相互獨立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2. 因為P(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215， P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2) P(A1)P(A2)P(A1)P(A2) P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2) 251121251212. 故所求概率為 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512710. (2)顧客抽獎 3 次可視為 3 次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎 1 次獲一等獎的概率為15，所以XB3，15. 于是 P(X0)C0315045364125， P(X1)C1315145248125， P(X2)C2315245112125， P(X3)C331534501125. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X的數學期望為E(X)31535. 8(20 xx安徽，17)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽假設每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結果相互獨立 (1)求甲在 4 局以內(含 4 局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望) 解 用A表示“甲在 4 局以內(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5. (1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2321323223132325681. (2)X的可能取值為 2，3，4，5. P(X2)P(A1A2)P(B1B2) P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59， P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29， P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1) P(A2)P(B3)P(B4)1081， P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 E(X)25932941081588122481. 9(20 xx福建，18)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1 000 位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 (1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元，求： ()顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率； ()顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望； (2)商場對獎勵總額的預算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標有面值 10 元和 50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的 4 個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由 解 (1)設顧客所獲的獎勵額為X. ()依題意，得P(X60)C11C13C2412， 即顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率為12. ()依題意，得X的所有可能取值為 20，60. P(X60)12，P(X20)C23C2412， 即X的分布列為 X 20 60 P 12 12 所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)2012601240(元) (2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1. 對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2. 以下是對兩個方案的分析： 對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望為E(X1)201660231001660，X1的方差為D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003. 對于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為E(X2)40166023801660， X2的方差為D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案 2. 10(20 xx遼寧，18)一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立 (1)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個的概率； (2)用X表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 解 (1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個”，因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X可能取的值為 0，1，2，3，相應的概率為P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216. 分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72. 11(20 xx新課標全國，19)一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取 4 件作檢驗，這 4 件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n3，再從這批產品中任取4 件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；如果n4，再從這批產品中任取 1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗 假設這批產品的優(yōu)質品率為 50%，即取出的每件產品是優(yōu)質品的概率都為12，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立 (1)求這批產品通過檢驗的概率； (2)已知每件產品的檢驗費用為 100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望 解 (1)設第一次取出的 4 件產品中恰有 3 件優(yōu)質品為事件A1，第一次取出的 4 件產品全是優(yōu)質品為事件A2，第二次取出的 4 件產品是優(yōu)質品為事件B1，第二次取出的 1 件產品是優(yōu)質品為事件B2，這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2) P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2) 41611611612364. (2)X可能的取值為 400，500，800，并且 P(X400)14161161116， P(X500)116，P(X800)14. 所以X的分布列為 X 400 500 800 P 1116 116 14 E(X)400111650011680014506.25.