大學(xué)物理各章練習(xí)題：第二章 牛頓定律

第二章 牛頓定律2-1 在如圖2-1(a)所示的傾角為的斜面上，由一輕桿相連的二滑塊A、B質(zhì)量相同，mA = mB = 2.5 kg，與斜面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)分別為，求桿中的張力(或壓力)以及滑塊的加速度分析 應(yīng)用牛頓定律解力學(xué)問(wèn)題的基本步驟為：（1）根據(jù)題意選取研究對(duì)象；（2）分析研究對(duì)象的受力情況，并畫(huà)出示力圖；（3）選取坐標(biāo)系，將力或加速度沿坐標(biāo)軸分解為分量，根據(jù)牛頓第二定律列出各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程；（4）求解方程，先進(jìn)行文字運(yùn)算，再代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果在分析力的過(guò)程中，必須注意每個(gè)力是哪個(gè)物體施給它的，沒(méi)有施力物體的力是不存在的在涉及斜面的問(wèn)題中，斜面上物體所受到的作用力有重力、斜面壓力和摩擦力，而不存在上滑力或下滑力在連接體之間存在張力或壓力 y B FNB FfB FTA FNA a FfA a A B A O FTB mBg mAg x(a) (b) (c)圖2-1解 分別選取滑塊A、B為研究對(duì)象，受力分析分別如圖2-1（b）、（c）所示假設(shè)桿中為張力，由于輕桿質(zhì)量可以忽略，施加于A和B的張力大小應(yīng)相等，即取Oxy坐標(biāo)系如圖2-1所示，應(yīng)用牛頓第二定律，得滑塊A的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： (1)y方向： (2)滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： (3)y方向： (4)由(2)式得，摩擦力，代入(1)式得 (5)由(4)式得，摩擦力，代入(3)式得 (6)從(5)和(6)式消去FT，并注意到mA = mB = 2.5 kg，得代入(5)式，得上式中結(jié)果的負(fù)號(hào)表明，滑塊A所受輕桿的作用力方向與原假設(shè)相反，即受到沿斜面向下的推壓力，因此桿中出現(xiàn)的是壓力，量值為1.06 N FN FT2 Ff FT1 m1g m2g圖2-22-2 一金屬鏈條放置于水平桌面上，其縱向與桌子邊緣垂直，當(dāng)鏈條長(zhǎng)度的1/4部分垂掛于桌子邊緣時(shí)，此鏈條剛好能開(kāi)始在桌面上滑動(dòng)，求鏈條與桌面之間的摩擦系數(shù)為何值？分析 對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物質(zhì)，例如鏈條、繩和長(zhǎng)桿等，根據(jù)題意，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)，可以將其分割成各自獨(dú)立的部分作為研究對(duì)象，這些獨(dú)立部分可以視為質(zhì)點(diǎn)，作出示力圖，分析各部分的受力情況，于是原來(lái)是內(nèi)力的張力或壓力就變成了分割出的獨(dú)立部分所受到的外力，就可以應(yīng)用牛頓第二定律建立運(yùn)動(dòng)方程了解 設(shè)鏈條質(zhì)量為m，當(dāng)鏈條剛好能開(kāi)始在桌面上滑動(dòng)時(shí)，桌面上的鏈條質(zhì)量為，懸垂部分的鏈條質(zhì)量為分別以這兩部分為研究對(duì)象，作示力圖如圖2-2所示作用于桌面上鏈條的力有：重力m1g，桌面的正壓力FN，摩擦力Ff，懸垂部分對(duì)它的張力FT1作用于懸垂鏈條的力有：重力m2g，桌面部分對(duì)它的張力FT2不考慮桌面邊沿的形狀和摩擦，則鏈條兩部分中的張力大小應(yīng)相等，F(xiàn)T1= FT2= FT由于鏈條剛好能開(kāi)始在桌面上滑動(dòng)，摩擦力為最大靜摩擦力，此時(shí)鏈條加速度為零，可得由以上各式可解得2-3一物體沿傾角為30°的斜面向上滑動(dòng)，在斜面底部時(shí)其初速為12m/s，物體與斜面間摩擦系數(shù)為0.2，求(1)物體達(dá)到最高點(diǎn)所需要的時(shí)間，(2)返回底部時(shí)的速度，(3)摩擦系數(shù)為多大時(shí)，將使物體上升到速度為零后就不再往下滑動(dòng)分析 滑動(dòng)摩擦力始終與運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，因此物體在斜面上向上滑動(dòng)和向下滑動(dòng)時(shí)的摩擦力正好反向，則物體所受合外力不同，加速度也就不同通常取加速度方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，分別就向上滑動(dòng)和向下滑動(dòng)選取坐標(biāo)系建立運(yùn)動(dòng)方程由于牛頓第二定律建立的方程確定的是力和加速度之間的關(guān)系，因此，當(dāng)所討論的問(wèn)題涉及到速度、位移和運(yùn)動(dòng)時(shí)間等運(yùn)動(dòng)學(xué)的物理量時(shí)，還要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)中已經(jīng)獲得的相關(guān)公式求解解 (1) 在上滑過(guò)程中，物體受力如圖2-3(a)所示，摩擦力Ff1沿斜面向下，且選Oxy坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)加速度方向沿x軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律得上滑過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 由以上各式解得由初始條件：時(shí)，而到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為零，有則到達(dá)最高點(diǎn)所需時(shí)間為 y FN x FN O y a2 Ff2 a1 Ff1 O x mg mg(a) (b)圖2-3(2) 物體向下滑時(shí)，受力如圖2-3(b)所示，摩擦力Ff2沿斜面向上，且選Oxy坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)加速度方向沿x軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律得下滑過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 由以上各式解得 (1)物體上升時(shí)的位移為下滑過(guò)程由靜止開(kāi)始，到達(dá)底部時(shí)速率為(3) 令代入（1）式，則物體位于最高點(diǎn)時(shí)速度為零，又無(wú)向下加速度，即不再向下滑動(dòng)，可得2-4 細(xì)繩跨過(guò)輕滑輪連接著質(zhì)量分別為5kg和1kg的二物體，滑輪吊在彈簧稱下懸掛于升降機(jī)之中，如圖2-4(a)所示(1)當(dāng)升降機(jī)靜止不動(dòng)時(shí)，問(wèn)彈簧稱上的示重是多少？(2) 當(dāng)彈簧稱上的示重為58.8 N時(shí)，求升降機(jī)的加速度分析 物體的重量是物體施加在稱重儀器設(shè)備上的壓力或張力，其大小等于稱重儀器設(shè)備反作用在物體上的壓力或張力當(dāng)物體在地面上處于靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行稱重時(shí)，地球?qū)ξ矬w的引力和稱重儀器設(shè)備作用的壓力或張力等大而反向，物體的重量與重力的量值相等當(dāng)物體在地表附近有沿豎直方向的加速度時(shí)，物體的重量與重力的量值就不再相等了 FT a FT1 FT2 a a m2g m1g（a） （b）圖2-4牛頓定律只適用于慣性參考系，當(dāng)所討論的問(wèn)題中參考系本身也有加速度時(shí)，就要應(yīng)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度合成定理通?？梢赃x取地球（地面）作為靜止參考系，物體相對(duì)于地面的加速度等于物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參考系加速度與運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)于地面加速度的矢量和，即解 二物體質(zhì)量分別為m1 = 5 kg， m2= 1 kg二物體和滑輪的受力情況如圖2-4(b)所示對(duì)于細(xì)繩和輕滑輪，忽略繩和滑輪間的摩擦，應(yīng)有，和，因此有設(shè)升降機(jī)有一向上的加速度a，物體m1相對(duì)于升降機(jī)的加速度a，方向向下，物體m2相對(duì)于升降機(jī)的加速度a，方向向上如果假設(shè)對(duì)于地面參考系，物體m1的加速度方向向下，物體m2的加速度方向向上，并以它們各自加速度的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，則根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度合成定理，物體m1相對(duì)于地面的加速度為a-a，物體m2相對(duì)于地面的加速度為a+a由牛頓第二定律可得其運(yùn)動(dòng)方程分別為 (1) (2)(1) 當(dāng)升降機(jī)靜止時(shí)，由(1)和(2)式以及張力之間的關(guān)系，得彈簧稱上的示重為(2) 當(dāng)彈簧稱上的示重為時(shí)，由(1)和(2)式以及張力之間的關(guān)系，得升降機(jī)的加速度為2-5質(zhì)量均為m形狀相同、相互接觸的梯形木塊A、B放置在光滑的水平桌面上，如圖2-5(a)所示設(shè)兩木塊之間的接觸面是光滑的，斜面與水平面之間的夾角為，今以一水平力F作用在A上，求A、B之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)A、B對(duì)桌面的壓力 FNA y a FNB A B F FTB F FTA O x mg mg（a） （b）圖2-5分析 在解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，隔離物體法是一個(gè)基本方法在有些求物體所受力的問(wèn)題中，往往碰到該物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)難以確定的情況，這時(shí)可以先求該物體對(duì)其他運(yùn)動(dòng)物體的反作用力，再利用牛頓第三定律確定所求力的大小和方向解 分別選取木塊A、B為研究對(duì)象，受力情況如圖2-5(b)所示根據(jù)題意，兩木塊加速度a相等，且沿外力F方向木塊之間相互作用的壓力大小相等，即選取如圖所示的Oxy坐標(biāo)系，應(yīng)用牛頓第二定律得其運(yùn)動(dòng)方程分別為木塊A的x方向： y方向： 木塊B的x方向： y方向： 解以上方程得根據(jù)牛頓第三定律，木塊A、B對(duì)桌面的壓力的大小分別等于桌面給予它們的反作用力FNA和FNA，方向向下2-6在一輕滑輪上跨有一輕繩，繩之兩端連接著質(zhì)量分別為1kg和2kg的物體A、B，現(xiàn)以50N的恒力F向上提滑輪的軸，如圖2-5(a)所示，A和B的加速度各為多少？不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦 F F y FT1 FT2 A B aA aB A B mAg mBg （a） （b）圖2-6分析 在物體和滑輪組合成系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，如果滑輪靜止，不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦的情況下，用細(xì)繩跨過(guò)滑輪連接的兩物體的速度和加速度的大小相等、方向相反然而，一旦滑輪本身具有加速度，如果以滑輪為運(yùn)動(dòng)參考系，那么細(xì)繩跨過(guò)滑輪連接的兩物體相對(duì)于滑輪的加速度大小相等、方向相反，但是它們對(duì)于地面參考系的加速度則必須根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度合成定理疊加計(jì)算通常當(dāng)不必求滑輪加速度時(shí)，可以先設(shè)定兩物體對(duì)地面的加速度方向，最后再根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確定實(shí)際加速度的方向解 以滑輪和物體A、B為研究對(duì)象，分別作出示力圖如圖2-6（b）所示取豎直向上為y軸正向，假設(shè)物體A、B的加速度aA和aB方向向上，由于不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦，繩中張力大小相等，即，應(yīng)用牛頓第二定律得滑輪的運(yùn)動(dòng)方程為物體A的運(yùn)動(dòng)方程為物體B的運(yùn)動(dòng)方程為聯(lián)立求解得2-7在光滑斜面上沿斜面傾斜方向放有一勻質(zhì)長(zhǎng)桿AB，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，斜面與水平面間夾角為，現(xiàn)沿斜面以恒力F拉桿，如圖2-7（a）所示，求桿內(nèi)各部分間的相互作用（張力）沿棒長(zhǎng)方向的變化規(guī)律分析 求質(zhì)量連續(xù)分布的桿或繩中的內(nèi)力，要采用隔離物體法，取其中一段作為研究對(duì)象分析受力情況，應(yīng)用牛頓定律建立方程計(jì)算結(jié)果通常與所選取的段長(zhǎng)有關(guān)，即為段長(zhǎng)的函數(shù) y F B F x FN a B L FNC FT A C A A mC g mg（a） （b）圖2-7解 取如圖2-7（b）所示的xy坐標(biāo)系，以長(zhǎng)桿AB為研究對(duì)象，加速度a沿斜面向上，根據(jù)受力情況，應(yīng)用牛頓第二定律得運(yùn)動(dòng)方程為再取長(zhǎng)為x的一段桿AC為研究對(duì)象，其質(zhì)量為，在C處桿內(nèi)張力FT對(duì)于AC部分成為外力，但AC仍具有與整個(gè)桿相同的加速度，應(yīng)用牛頓第二定律得AC部分的運(yùn)動(dòng)方程為于是可解得結(jié)果表明桿內(nèi)張力隨C點(diǎn)位置變化2-8 在如圖2-8所示的物體系統(tǒng)中，不計(jì)繩和滑輪的質(zhì)量，并忽略m與水平桌面、m與m1之間的摩擦力問(wèn)應(yīng)以多大的水平推力作用在m上，才能使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中m1和m之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)？此時(shí)m對(duì)桌面的壓力為多少？（m1> m2）分析 當(dāng)幾個(gè)物體構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)并以相同的速度平動(dòng)時(shí)，可以將這些物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)用牛頓定律建立合外力與加速度之間的關(guān)系，而不必考慮各部分之間的相互作用內(nèi)力但是當(dāng)這個(gè)系統(tǒng)的各部分之間有發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的可能性存在時(shí)，就仍然需要用隔離物體法，分析各部分的受力情況，分別建立運(yùn)動(dòng)方程，找到發(fā)生或不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的條件 FT m1 m1 FT m1g F”T FT m m2 y F x mg m2g（a） （b）圖2-8解 分別取m1、m2和m為研究對(duì)象根據(jù)題意，m1、m2和m組成系統(tǒng)以同一加速度a沿水平方向運(yùn)動(dòng)，因此連接m2的細(xì)繩將發(fā)生傾斜，與豎直方向夾角為，繩中張力的水平方向分量使m2獲得加速度a，各物體受力情況和坐標(biāo)選取如圖2-8(b)所示不計(jì)繩和滑輪的質(zhì)量，忽略摩擦，應(yīng)有，m1和m之間的壓力大小相等，應(yīng)用牛頓第二定律得m1的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： m2的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： m的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 聯(lián)立求解得m對(duì)桌面的壓力大小等于桌面對(duì)m的壓力，方向向下從上式可以看出該壓力量值上等于整個(gè)系統(tǒng)所受的重力，因?yàn)橄到y(tǒng)中各物體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在水平面內(nèi)，豎直方向無(wú)加速度和位移2-9如圖2-9(a)所示的滑輪組系統(tǒng)中，不計(jì)繩子與滑輪質(zhì)量，m1與桌面間無(wú)摩擦，求m1和m2的加速度以及繩中張力分析 在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，對(duì)于滑輪和物體組成的連接體問(wèn)題，往往忽略滑輪質(zhì)量以及繩與滑輪之間的摩擦，才使得跨過(guò)滑輪的繩中張力大小相等在第五章掌握了剛體的運(yùn)動(dòng)定律后，將不再忽略滑輪質(zhì)量，問(wèn)題的分析就更接近實(shí)際了當(dāng)存在動(dòng)滑輪時(shí)，動(dòng)滑輪的加速度和跨過(guò)滑輪的繩上連接物體的加速度之間的相互關(guān)系，要根據(jù)題意建立方程確立 FN1 a1 FT1 FT1 FT2 m1 m1 FT1 a2 m1g FT2 m2g m2 （a） （b）圖2-9解 分別以m1、m2和動(dòng)滑輪為研究對(duì)象，受力情況如圖2-9（b）所示m1的加速度a1向右，m2和動(dòng)滑輪的加速度a2向下不計(jì)繩子與滑輪質(zhì)量，應(yīng)有，因?yàn)槎贾蛔髦本€運(yùn)動(dòng)，可取各自的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，應(yīng)用牛頓第二定律，它們的運(yùn)動(dòng)方程分別為m1： m2： 動(dòng)滑輪： 因?yàn)槔K長(zhǎng)不變，當(dāng)m1位移為x時(shí)，m2位移為x/2，于是可得加速度a1和a2之間的關(guān)系：聯(lián)立以上各式，解得 2-10 在如圖所示的滑輪系統(tǒng)中，滑塊A的質(zhì)量為mA，與桌面間的摩擦系數(shù)為，B是起始質(zhì)量為mB的冰塊，因溶化使其質(zhì)量隨時(shí)間的減少率為k不計(jì)繩與滑輪質(zhì)量，求A、B由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后t時(shí)刻的速率分析 由于有了微積分的基礎(chǔ)，在大學(xué)物理中可以分析變力作用下的直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題因?yàn)榱κ菚r(shí)間的函數(shù)（有些問(wèn)題中也可能表示為位置的函數(shù)，即為時(shí)間的隱函數(shù)），應(yīng)用牛頓定律建立的運(yùn)動(dòng)方程就成為微分方程，解微分方程并利用初始條件可以獲得所需要的解在動(dòng)力學(xué)的其他幾章和電磁學(xué)中都會(huì)碰到這類應(yīng)用積分或求解微分方程的問(wèn)題，這對(duì)于鞏固高等數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)建立物理模型以便為今后工程技術(shù)實(shí)際應(yīng)用打下基礎(chǔ)，有著重要意義這些問(wèn)題對(duì)于初學(xué)者有一定的難度，但是通過(guò)一些習(xí)題的訓(xùn)練，是可以逐步掌握方法和技巧的 A FN a FT A FT B a B Ff mAg mBg (a) (b)圖2-10解 以滑塊A和冰塊B為研究對(duì)象，隔離物體并作受力分析如圖2-10(b)所示不計(jì)繩與滑輪質(zhì)量，繩中張力大小相等，即取二物體各自運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正向，作為連接體它們的加速度大小相等，均為a，應(yīng)用牛頓第二定律得其運(yùn)動(dòng)方程分別為滑塊A：冰塊B： 根據(jù)題意，其中t時(shí)刻冰塊質(zhì)量，作用于滑塊A的摩擦力，由以上各式可得因，則上式可寫(xiě)為分離變量：由于初始時(shí)，設(shè)t時(shí)刻滑塊和冰塊速率為v，上式兩邊積分得 2-11 質(zhì)量為0.5kg的物體沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，在沿x方向的力的作用下，t = 0時(shí)其位置與速度分別為x0 =5，v0 =2，求t = 1時(shí)該物體的位置和速度（其中F以N為單位，t以s為單位，x0以m為單位，v0以m/s為單位）分析 當(dāng)作用于物體的力是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，由建立的運(yùn)動(dòng)方程積分可以求得速度所求出的速度必定也是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)還需要計(jì)算t時(shí)刻該物體的位置時(shí)，就應(yīng)該利用速度的定義式，再積分求出位置的表示式解 由加速度的定義，應(yīng)用牛頓第二定律，可得分離變量：兩邊積分得由初始條件：t = 0時(shí)v=v0 =2，得，即 (1)因，上式可寫(xiě)為分離變量：兩邊積分得由初始條件：t = 0時(shí)x=x0 =5，得，即 (2)當(dāng)t = 1s時(shí)，由(1)和(2)式得，2-12物體與地面間的摩擦系數(shù)為0.20，以輕繩系于物體之一端，并通過(guò)滑輪以一水平力F = 8 N拉此物體,如圖2-12(a)所示設(shè)物體的質(zhì)量為2kg，(1)問(wèn)繩與水平方向的夾角為何值時(shí)，物體的加速度有最大值？(2)求此時(shí)的加速度以及地面對(duì)物體的作用力分析 若作用力的大小不變，但方向在不斷改變，則該作用力仍然是變力在力的分析過(guò)程中就要特別注意力的作用方向與物體運(yùn)動(dòng)方向間的關(guān)系求某一物理量的最大值或最小值，通常可以采用數(shù)學(xué)中的求極值的方法，即對(duì)該物理量的表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得到相關(guān)參量的方程，根據(jù)題意求解，得到取最大值或最小值的條件 F y FN F Ff x mg (a) (b)圖2-12解 恒力通過(guò)滑輪改變方向后作用于物體上，力F的作用方向與物體運(yùn)動(dòng)方向間的夾角隨物體位置變化，運(yùn)動(dòng)中物體受力情況如圖2-12(b)所示取圖中所示的坐標(biāo)系，應(yīng)用牛頓第二定律得運(yùn)動(dòng)方程為x方向: y方向: 其中摩擦力，聯(lián)立解得 (1) (2)(1) 當(dāng)時(shí)，加速度有極值，因此由(1)式得(2) 將上面的結(jié)果代入(1)和(2)式，得摩擦力為 2-13 質(zhì)量為1.5 kg的物體被豎直上拋，初速度為60 m/s，物體受到的空氣阻力數(shù)值與其速率成正比，求物體升達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間及上升的最大高度分析 在忽略空氣阻力的情況下，地面附近的拋體在重力作用下以恒定的重力加速度g運(yùn)動(dòng)但在實(shí)際問(wèn)題中，空氣阻力是不可忽略的，當(dāng)物體的速度較小時(shí)，空氣阻力的大小與速率成正比；對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的物體，空氣阻力的大小與速率的平方成正比下面將應(yīng)用解微分方程的方法，求解一些簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)情況下有空氣阻力存在時(shí)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題解一階微分方程可以用不定積分也可以用定積分方法如果采用不定積分，積分常數(shù)利用初始條件確定分離變量法則是通常采用的比較簡(jiǎn)捷的算法解 以豎直向上為y坐標(biāo)正向，應(yīng)用牛頓第二定律得物體運(yùn)動(dòng)方程為 (1)物體達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，初始條件：時(shí)，將上式分離變量并積分：得由于，代入(1)式，得根據(jù)始末條件，分離變量并積分：得2-14 將相同材料制作的半徑分別為R和2R的二小球在粘滯系數(shù)為的液體中無(wú)初速地釋放根據(jù)斯托克斯定律，半徑為r的小球速度為v時(shí)在液體中受到的粘滯阻力為試計(jì)算兩球的初始加速度之比和終極速度之比分析 由斯托克斯定律確定的流體粘滯阻力大小與物體的速率成正比，即為變力，為了求物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用到積分方法由于在例題2-5中已經(jīng)嚴(yán)格推導(dǎo)出了速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以及小球的運(yùn)動(dòng)方程，因此可以利用其結(jié)果進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算解 設(shè)球的密度為，液體的密度為，二小球質(zhì)量分別為和，作用于二小球的液體浮力分別為和，液體的粘滯阻力分別為和取豎直向下方向?yàn)閤軸的正方向，則二小球的運(yùn)動(dòng)方程分別為初始時(shí)刻，則，由以上二式及二小球?qū)?yīng)量間的關(guān)系，得由例題2-5的(2-27)式，知半徑為r的小球在液體中下落，足夠長(zhǎng)時(shí)間后的終極速度為，因此半徑分別為R和2R的二小球終極速度比為2-15 質(zhì)量為1000kg的船，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)速度為90km/h，水的阻力與船速成正比，F(xiàn)rkv，其中k = 100kg/s假設(shè)水面靜止不流動(dòng)，求(1)熄火后船速減小到45km/h所需要的時(shí)間；(2)熄火后1分鐘內(nèi)船的行程，以及船的最大航程分析 當(dāng)作直線運(yùn)動(dòng)的物體只受到一個(gè)與速率成正比的阻力作用時(shí)，用分離變量法解此一階微分方程比較簡(jiǎn)單解 船只受水的阻力Frkv作用，船的運(yùn)動(dòng)方程為初始條件為時(shí)，將上式分離變量并積分：得 (1)(1) 當(dāng)船速減小到時(shí)，由上式得(2) 由(1)式得初始條件為時(shí)，積分得 (2)當(dāng)時(shí)，由上式得當(dāng)時(shí)，由(2)式得船的最大航程為結(jié)果表明，熄火后1分鐘船已接近停止2-16 長(zhǎng)度不等的兩根細(xì)繩，各系一物體懸于同一點(diǎn)，使二物體在同一高度處作圓周運(yùn)動(dòng)，證明這樣的兩個(gè)圓錐擺周期相同分析 在忽略空氣阻力的情況下，如圖2-16(a)所示的圓錐擺繞豎直軸線回轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間為定值，稱為周期 y FT h x r mg (a) (b)圖2-16當(dāng)物體作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，必定存在法向加速度，在分析力和建立運(yùn)動(dòng)方程的過(guò)程中，通常選取指向圓心的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸之一的正向，將外力分解到該方向后，可以建立法向合外力與法向加速度之間的關(guān)系證 設(shè)物體回轉(zhuǎn)的水平位置距懸點(diǎn)的高度為h，回轉(zhuǎn)半徑為r，懸線與豎直方向夾角為，物體質(zhì)量為m，物體受重力與懸線張力作用，選豎直方向?yàn)閥軸正向，水平指向回轉(zhuǎn)圓心方向?yàn)閤軸正向，如圖2-16(b)所示，可得運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 因?yàn)槲矬w無(wú)切向加速度，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度，又由幾何關(guān)系得，于是可解得結(jié)果表明，擺動(dòng)周期T只與物體回轉(zhuǎn)高度有關(guān)，與物體質(zhì)量無(wú)關(guān)，與回轉(zhuǎn)半徑無(wú)關(guān)2-17在光滑水平面上固定著一半徑為R的圓環(huán)形圍屏，質(zhì)量為m的滑塊沿環(huán)形內(nèi)壁轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊與壁間摩擦系數(shù)為，如圖2-17（a）所示，(1)當(dāng)滑塊速度為v時(shí)，求它與壁間的摩擦力及滑塊的切向加速度，(2)求滑塊的速率v由變?yōu)関/3所需的時(shí)間。分析 通常將物體與平面間的滑動(dòng)摩擦力表示為，而這僅只是當(dāng)物體在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，豎直方向除重力外沒(méi)有受到其他外力作用的情況下桌面上產(chǎn)生的滑動(dòng)摩擦力準(zhǔn)確地說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力的大小與物體之間的正壓力成正比，即因此必須首先確定正壓力的量值，才能正確地計(jì)算出滑動(dòng)摩擦力作圓周運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)的物體受到法向和切向力作用時(shí)，將具有法向和切向加速度，通常選取隨物體一起運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)就在物體上，兩個(gè)坐標(biāo)軸方向分別指向法向和切向，稱之為自然坐標(biāo)系，從而可以應(yīng)用牛頓定律建立法向和切向運(yùn)動(dòng)方程 y R v FN Ff x(a) (b)圖2-17解 滑塊在光滑水平面上作圓周運(yùn)動(dòng)，圍屏作用于滑塊有摩擦力和正壓力，當(dāng)速度為v時(shí)，法向加速度為，取如圖2-17（b）所示的坐標(biāo)系，可得運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 則由于切向加速度，代入上式，分離變量積分：得 2-18 輕桿之一端系著一塊石頭，使石頭在豎直平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，如果測(cè)得桿中張力的最大值與最小值之差為4.9N，求石塊的質(zhì)量。 FT mg圖2-18分析 在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，物體所受重力為恒力，要維持勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，其他物體施予的張力或壓力大小和方向都要改變，且與重力的合力大小不變，方向始終指向圓心解 在石頭圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)桿與豎直方向夾角為時(shí)，受力情況如圖2-18所示于是法向運(yùn)動(dòng)方程為得顯然，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值，即得2-19 人造衛(wèi)星發(fā)射到半徑為R的環(huán)繞地球的圓形軌道上，另一衛(wèi)星發(fā)射到半徑為1.01R的軌道上，求二衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期之比分析 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)服從萬(wàn)有引力定律，除地球引力外，不受其他力作用的情況下，如果作圓周運(yùn)動(dòng)，速率不變，轉(zhuǎn)動(dòng)周期與角速度關(guān)系為解 設(shè)地球質(zhì)量為m0，二衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1和m2，繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期分別為和，向心加速度分別為和，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得運(yùn)動(dòng)方程分別為兩式相比，得2-20 若要把一人造衛(wèi)星發(fā)射到赤道正上方，使其成為相對(duì)于地球靜止不動(dòng)的同步衛(wèi)星，應(yīng)把它發(fā)射到距地面多高的地方？若衛(wèi)星軌道半徑的誤差為200m，求它在一年內(nèi)將向東或向西漂移的角度（地球半徑R = 6.37106 m）分析 同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，通常作為通訊衛(wèi)星使用由軌道半徑的誤差引起的位置漂移，要用到誤差理論中的誤差傳遞公式解 設(shè)地球質(zhì)量為m0，衛(wèi)星質(zhì)量為m，繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，距地面高度為h時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程為 (1)在地球表面，有 (2)由于，由(1)和(2)式可得 (3)由(3)可得繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為若衛(wèi)星軌道半徑的誤差 m時(shí)，根據(jù)誤差理論，引起的周期誤差為衛(wèi)星回轉(zhuǎn)一周的弧度為，所以一年內(nèi)漂移的角度為2-21 一水平圓盤(pán)的半徑r = 0.2 m，邊緣處放有一質(zhì)量m= 0.5 kg的滑塊，滑塊與圓盤(pán)間的靜摩擦系數(shù)= 0.2，光滑細(xì)繩的一端連接滑塊，另一端穿過(guò)圓盤(pán)中心的小孔懸掛質(zhì)量m =1.0kg的物體當(dāng)圓盤(pán)繞通過(guò)中心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若滑塊仍處在圓盤(pán)邊緣無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的最大值和最小值 FT FT mg圖2-21分析 靜摩擦力始終與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反，在達(dá)到最大靜摩擦力之前其量值與物體所受外力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)解 分別以滑塊和懸掛的重物為研究對(duì)象，受力情況如圖2-21所示，滑塊在豎直方向受重力和圓盤(pán)支承力的作用，水平方向所受的圓盤(pán)摩擦力方向可能與繩的張力方向相同，也可能相反，圖中都沒(méi)有畫(huà)出當(dāng)滑塊在圓盤(pán)邊緣無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，重物處于靜止?fàn)顟B(tài)，有設(shè)圓盤(pán)角速度為，物體隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的法向運(yùn)動(dòng)方程為對(duì)于光滑細(xì)繩，最大靜摩擦力，因此可得2-22 如圖2-22（a）所示的平板拖車(chē)上距車(chē)尾3m處放有一木箱，木箱質(zhì)量為5kg，與車(chē)廂板的摩擦系數(shù)為0.15，拖車(chē)起動(dòng)時(shí)，勻加速前進(jìn)，速度由零變?yōu)?0m/s用了10s，若車(chē)一起動(dòng)，木箱就開(kāi)始滑動(dòng)，求:(1)木箱相對(duì)于地面的加速度；(2)木箱到達(dá)車(chē)尾滑落之前所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；(3)木箱達(dá)地面時(shí)速度的水平分量 3m a 1m Ff （a） （b）圖2-22分析 摩擦力始終與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，但是從其他參考系觀察，可能摩擦力方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同應(yīng)用牛頓定律時(shí)，必須在慣性參考系中建立運(yùn)動(dòng)方程，即其中的加速度只能是物體對(duì)慣性參考系的加速度解 (1) 木箱滑落前只受摩擦力作用，方向與木箱相對(duì)汽車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相反，即指向汽車(chē)運(yùn)動(dòng)方向，如圖2-22(b)所示設(shè)木箱對(duì)地加速度為a，因，則運(yùn)動(dòng)方程為得(2) 汽車(chē)對(duì)地的加速度為應(yīng)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度合成定理，木箱對(duì)汽車(chē)的加速度為負(fù)號(hào)表示木箱相對(duì)于汽車(chē)向車(chē)尾方向加速運(yùn)動(dòng)木箱滑落所需時(shí)間為(3) 木箱離開(kāi)車(chē)廂后作平拋運(yùn)動(dòng)，達(dá)到地面時(shí)速度的水平分量與脫離車(chē)廂時(shí)的速度相同，則2-23 質(zhì)量m2 = 2.0 kg，長(zhǎng)L = 1 m的木板放在傾角的斜面上，木板上質(zhì)量m1 = 5.0 kg 的重物在沿斜面方向恒力F =100 N的作用下從木板下端由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，如圖2-23（a）所示重物與木板間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，木板與斜面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)求當(dāng)重物離開(kāi)木板時(shí)，木板的速度 分析 有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體之間的摩擦力和壓力成對(duì)出現(xiàn)，在各物體運(yùn)動(dòng)中起到不同的作用，采用隔離物體法，作出示力圖后，可以準(zhǔn)確地建立各物體的運(yùn)動(dòng)方程 FN2 a2 a1 y L FN1 x m2 F Ff1 F Ff1 FN1m1 m1g m2g Ff2 (a) (b)題2-23 圖解 分別以重物與木板為研究對(duì)象，受力情況如圖2-23（b）所示，m1和m2之間的摩擦力與壓力關(guān)系為及，取xy坐標(biāo)系如圖，重物對(duì)地加速度為a1，木板對(duì)地加速度為a2，應(yīng)用牛頓第二定律，重物的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 木板的運(yùn)動(dòng)方程為x方向： y方向： 由于，聯(lián)立以上各式，解得根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度合成定理，重物對(duì)木板的加速度為重物離開(kāi)木板前運(yùn)動(dòng)時(shí)間為重物離開(kāi)木板時(shí)木板速度為