浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第3講 平面向量選擇、填空題型

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1、 考 點(diǎn) 考 情 平面向量的概念及線性運(yùn)算 　1.對(duì)平面向量的概念及線性運(yùn)算主要考查線性運(yùn)算法則及其幾何意義以及兩個(gè)向量共線的條件，或以向量為載體求參數(shù)的值，如遼寧T3等． 2.對(duì)平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算的考查主要側(cè)重以下兩點(diǎn)： (1)以平面向量的基本定理為基石，利用一組基底表示相關(guān)向量；(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題，如山東T15等． 3.數(shù)量積的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容，主要涉及：(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算；(2)求向量的模；(3)求向量的夾角，如浙江T17等. 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 平面向量的數(shù)量積 平面向量的應(yīng)用 1．(20

2、xx·遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A.　　　　　　　 　B. C. D. 解析：選A　由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此與同方向的單位向量是＝. 2．(20xx·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A?。?2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||·＝＝＝. 3．(20xx·浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零

3、向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 解析：因?yàn)椋剑剑剑剑健?，當(dāng)且僅當(dāng)＝－時(shí)取得等號(hào)，故的最大值為2. 答案：2 4．(20xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝. 答案： 5．(20xx·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)

4、，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 答案： 1．平面向量的兩個(gè)重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 2．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb

5、(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的三個(gè)性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝ . (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝ . (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . 熱點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算 [例1]　(1)(20xx·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定單

6、位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　 　B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 (2)(20xx·合肥模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. [自主解答]　(1)顯然①②正確；對(duì)于③，當(dāng)μ＜|a|sina，b時(shí)，不存在符合題意的單位向量c和實(shí)數(shù)λ，③錯(cuò)；對(duì)于④，當(dāng)λ＝μ＝1，|a|＞2時(shí)，易知④錯(cuò)． (

7、2)依題意得＝＋＋＝＋－＝＋，＝＋＝＋；又＝λ＋μ，于是有＝λ＋μ＝＋；又與不共線，因此有由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝. [答案]　(1)B　(2) 平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn) (1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件． (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． (3) ＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A、B、C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1. 1．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP＝.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為(　　) A.

8、 B. C. D. 解析：選B　據(jù)已知||2＝(λ＋μ)2?2＝λ2＋3μ2，整理變形可得(λ＋μ)2－2λμ＝，由均值不等式，可得(λ＋μ)2－22≤，解得λ＋μ≤. 2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB＝3，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為(　　) A．1 B. C．2 D．3 解析：選C　如圖所示，因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線， 所以λ＋＝1，即λ＝. 在AB上取一點(diǎn)E使＝，在AC上取一點(diǎn)F使＝，由＝＋＝＋， 可知四邊形AEDF為平行四邊形，又∠BAD＝∠CAD＝30°，所以?AEDF為菱形．因?yàn)椋?，AB＝

9、3，所以菱形的邊長(zhǎng)為2.在△ADF中，＝，所以AD＝sin 120°·＝2. 熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積 [例2]　(1)(20xx·濟(jì)南模擬)△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3＋4＋5＝0，則·的值為(　　) A．－　 　　　　　　　 　B. C．－ D. (2)(20xx·重慶高考)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，則||的取值范圍是(　　) A. B. C. D. (3)(20xx·浙江高考)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒

10、有·≥·，則(　　) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC [自主解答]　(1)由已知得4＝－3－5?|4|2＝(－3－5)2，即16＝34＋30·，解得·＝－；同理3＝－4－5，兩邊平方得·＝－，因此·＝·(－)＝·－·＝－. (2)∵1⊥2，∴1·2＝(1－)·(2－)＝1·2－1·－·2＋2＝0， ∴1·2－1·－·2＝－2. ∵＝1＋2，

11、∴－＝1－＋2－， ∴＝1＋2－. ∵|1|＝|2|＝1， ∴2＝1＋1＋2＋2(1·2－1·－2·)＝2＋2＋2(－2)＝2－2. ∵||<，∴0≤|2|<，∴0≤2－2<， ∴<2≤2，即||∈. (3)設(shè)AB＝4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)．又P0是邊AB上一定點(diǎn)，P0B＝AB，所以P0(1,0)．設(shè)C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．·≥·恒成立?(2－x)·(

12、a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，∴AC＝BC. [答案]　(1)A　(2)D　(3)D 在本例(1)中，若＋＋＝0，則∠BAC的大小是多少？ 解：由已知可得＋＝，由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形OACB是四條邊均為外接圓半徑R的平行四邊形，故△OAC為等邊三角形，∠OAC＝2∠BAC＝60°，所以∠BAC＝30°.　　　　　 解決數(shù)量積運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn) (1)a·b＝0未必有a＝0或b＝0. (2)|a·b

13、|≤|a|·|b|. (3)a·(b·c)與(a·b)·c不一定相等． 3.如圖所示，P為△AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量＝a，＝b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量＝c.若|a|＝3，|b|＝2，則c·(a－b)的值為(　　) A．5 B．3 C. D. 解析：選C　設(shè)AB中點(diǎn)為D，c＝＝＋，所以c·(a－b)＝(＋)·＝·＋·＝·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝. 4．設(shè)G為△ABC的重心，若△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足＋2＋2

14、＝0，則的值等于________． 解析：取BC的中點(diǎn)D，由已知＋2＋2＝0得＝2(＋)＝4，說明P，A，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在BC邊中線的延長(zhǎng)線上，且||＝4||. 如圖所示，故||＝||，||＝||，因此＝×＝2. 答案：2 5．向量a，b，c，d滿足：|a|＝1，|b|＝，b在a方向上的投影為，(a－c)·(b－c)＝0，|d－c|＝1，則|d|的最大值為________． 解析：由投影公式可得＝b·a＝，∴|b＋a|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4，|b＋a|＝2.由(a－c)·(b－c)＝a·b－c·

15、;(a＋b)＋c2＝0，整理得＋|c|2＝|c|·|a＋b|·cos θ≤2|c|(θ＝〈c，a＋b〉)，解不等式＋|c|2－2|c|≤0，得|c|≤1＋，即|c|的最大值為1＋.又|d－c|＝1，即d終點(diǎn)的軌跡是以c的終點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，故|d|的最大值為|c|max＋1＝2＋. 答案：2＋ 熱點(diǎn)三 平面向量的綜合應(yīng)用 [例3]　(1)(20xx·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||＝||＝·＝2，則點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．

16、2 C．4 D．4 (2)已知點(diǎn)R(－3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(x，y)在直線PQ上，且2＋3＝0，·＝0，則4x＋2y－3的最小值為(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 [自主解答]　(1)由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝，又A，B是兩定點(diǎn)，可設(shè)A(，1)，B(0,2)，P(x，y)， 由＝λ＋μ，可得? 因?yàn)閨λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，當(dāng)，時(shí)，由可行域可得S0＝×2×＝，所以由對(duì)稱性可知點(diǎn)P所表示的區(qū)域面積S＝4S0＝4. (2)由2＋3＝0，得P，Q.由·＝0，得

17、83;＝0，即y2＝4x，所以4x＋2y－3＝y(tǒng)2＋2y－3＝(y＋1)2－4，因此，當(dāng)y＝－1時(shí)，4x＋2y－3取得最小值，最小值為－4. [答案]　(1)D　(2)A 兩類平面向量綜合問題的解決方法 (1)用向量解決平面幾何問題，主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐標(biāo)化，然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問題． (2)在平面向量與平面解析幾何的綜合問題中，應(yīng)先根據(jù)平面向量知識(shí)把向量表述的解析幾何問題的幾何意義弄明白，再根據(jù)這個(gè)幾何意義用代數(shù)的方法研究解決． 6．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若兩個(gè)非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈，且a°b和b°

18、a都在集合中，則a°b＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：選D　根據(jù)新定義，得a°b＝＝＝cos θ，b°a＝＝＝cos θ.又因?yàn)閍°b和b°a都在集合中，設(shè)a°b＝，b°a＝(n1，n2∈Z)，那么(a°b)·(b°a)＝cos2θ＝，又θ∈，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故a°b＝＝. 7．關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共線，則該方程的解的情況是(　　) A．至多有一個(gè)解 B．至少有一個(gè)解 C．至多有兩個(gè)解 D．可能有無數(shù)個(gè)解 解析：選A　由已知，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c都是非零平面向量)可化為c＝－x2a－xb，因?yàn)閍，b不共線且為非零平面向量，由平面向量基本定理，可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(m，n)，使得c＝ma＋nb， 所以即，整理得m＝－n2. 顯然，當(dāng)n≠0且m＝－n2時(shí)，方程組有唯一一組解，即原方程有一個(gè)解；當(dāng)n＝0或m≠－n2時(shí)，方程組無解，即原方程無解． 綜上，該方程至多有一個(gè)解.