《湖北版高考數(shù)學(xué) 分項匯編 專題09 圓錐曲線含解析理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《湖北版高考數(shù)學(xué) 分項匯編 專題09 圓錐曲線含解析理(28頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
【備戰(zhàn)20xx】(湖北版)高考數(shù)學(xué)分項匯編 專題09 圓錐曲線(含解析)理
一.選擇題
1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】雙曲線離心率為2,有一個焦點與拋物線的焦點重合,則mn的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:拋物線的焦點為(1,0),∴得m=,n=,∴mn=,選A.
2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,為坐標原點,若且,則點的軌跡方程是 ( )
A.
2、 B.
C. D.
3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】雙曲線的左準線為,左焦點和右焦點分別為和;拋物線的準線為,焦點為與的一個交點為,則等于 ( )
A. B. C. D.
4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖所示,“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用2c1和2
3、c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長,給出下列式子:
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c1;④<.
其中正確式子的序號是( )
A. ①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】B
【解析】
試題分析:由焦點到頂點的距離可知②正確,由橢圓的離心率知③正確,故應(yīng)選B.
5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】已知雙曲線的準線過橢圓的焦點,則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是( )
A. B.
C.
4、 D.
6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】設(shè)集合,,則的子集的個數(shù)是( )
A.4 B.3 C .2 D.1
【答案】A
【解析】
試題分析:畫出橢圓和指數(shù)函數(shù)圖象,可知其有兩個不同交點,記為A1、A2,則的子集應(yīng)為共四種,故選A.
7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個頂點在拋物線上,另一個頂點是拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n,則( )
A. B. C. D.
5、
8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知,則雙曲線與的( )
A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D. 離心率相等
【答案】D
【解析】
試題分析:雙曲線的離心率是,雙曲線的離心率是,故選D.
9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是他們的一個公共點,且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B. C.3 D.2
所以.
所以橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之
6、和的最大值為,故選A.
考點:橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì),利用三角換元法求最值,難度中等.
10. 【20xx高考湖北,理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度,得到離心率為的雙曲線,則( )
A.對任意的, B.當(dāng)時,;當(dāng)時,
C.對任意的, D.當(dāng)時,;當(dāng)時,
二.填空題
1.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖,雙曲線的兩頂點為,,虛軸兩端點為,,兩焦點為,. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,切點分別為. 則:
A1 A2
y
7、
B2
B1
A
O
B
C
D
F1 F2 x
(Ⅰ)雙曲線的離心率 ;
(Ⅱ)菱形的面積與矩形的面積的比值 .
三.解答題
1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)A、B是橢圓上的兩點,點N(1,3)是線段AB的中點,線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.
(Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.
(此題不要求在答題卡上畫
8、圖)
【解析】 (Ⅰ)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為,整理得
①
設(shè)是方程①的兩個不同的根,
∴ ②
同理可得 ⑥
∵當(dāng)時,
假設(shè)存在>12,使得A、B、C、D四點共圓,則CD必為圓的直徑,點M為圓心.
點M到直線AB的距離為 ⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
計算可得,∴A在以CD為直徑的圓上.
又B為A關(guān)于CD的對稱點,∴A、B、C、D四點共圓.
(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD)
2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點,橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準線。
(Ⅰ)、求橢圓的
9、方程;
(Ⅱ)、設(shè)為右準線上不同于點(4,0)的任意一點,若直線分別與橢圓相交于異于的點,證明點在以為直徑的圓內(nèi)。
(此題不要求在答題卡上畫圖)
解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則-2
10、兩直線AP與BP的交點P在準線x=4上,
∴,即y2=
又點M在橢圓上,則,即
于是將、代入,化簡后可得-=.
從而,點B在以MN為直徑的圓內(nèi).
3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】在平面直角坐標系xOy中,過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2px(p>0)相交于A、B兩點.
(Ⅰ)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點,
求△ANB面積的最小值;
(Ⅱ)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)
11、
N
O
A
C
B
y
x
l
4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖,在以點O為圓心,|AB|=4為直徑的半圓ADB中,OD⊥AB,P是半圓弧上一點,
∠POB=30,曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡,且曲線C過點P.
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.若△OEF的面積不小于2,求直線l斜率的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解法1:以O(shè)為原點,AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,則A(-2,0),B(2,0),D(
12、0,2),P(),依題意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4.
∴曲線C是以原點為中心,A、B為焦點的雙曲線.
設(shè)實平軸長為a,虛半軸長為b,半焦距為c,
則c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線C的方程為.
解法2:同解法1建立平面直角坐標系,則依題意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<
|AB|=4.
∴曲線C是以原點為中心,A、B為焦點的雙曲線.
設(shè)雙曲線的方程為>0,b>0).
則由 解得a2=b2=2,
∴曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1:依題意,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理得(
13、1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
設(shè)E(x,y),F(xiàn)(x2,y2),則由①式得x1+x2=,于是
|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d=,
∴S△DEF=
綜合②、④知,直線l的斜率的取值范圍為[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).
5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向直線作垂線,垂足分別為、。
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:⊥;
(Ⅱ)記、 、的面積分別為、、,是否存在,使得對任意的,都有
14、成立。若存在,求出的值;若不存在,說明理由。
6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線,都有?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。
7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之積等于非零常數(shù)的m的點的軌跡,加上兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓、或雙曲線。
15、 (Ⅰ)求曲線C的方程,并討論C的形狀與m值的關(guān)系;
(Ⅱ)當(dāng)m=-1時,對應(yīng)的曲線為;對給定的,對應(yīng)的曲線為。設(shè)是的兩個焦點。試問:在上是否存在點N,使得的面積。若存在,求的值,若不存在,請說明理由。
由①的,由②得,,
當(dāng),即或時,
存在點N使得,;
8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)是單位圓上的任意一點,是過點與軸垂直的直線,是直線與 軸的交點,點在直線上,且滿足. 當(dāng)點在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程,判斷曲線為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標;
(Ⅱ)過原點且斜率為的直線交曲線于,兩點,其中在第一象限,它在軸上的射影
16、為點,直線交曲線于另一點. 是否存在,使得對任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
【解析】(Ⅰ)如圖1,設(shè),,則由,
可得,,所以,. ①
因為點在單位圓上運動,所以. ②
將①式代入②式即得所求曲線的方程為.
9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖,已知橢圓與的中心在坐標原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標從大到小依次為,,,。記,和的面積分別為和。
(I)當(dāng)直線與軸重合時,若,求的值;
(II)當(dāng)變化時,是否存
17、在與坐標軸不重合的直線,使得?并說明理由。
第21題圖
【解析】(I),
解得:(舍去小于1的根)
10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標系中,點到點的距離比它到軸的距離多1,記點的軌跡為.
(I)求軌跡為的方程;
(II)設(shè)斜率為的直線過定點,求直線與軌跡恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.
【答案】(I);(II)當(dāng)時直線與軌跡恰有一個公共點; 當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有兩個公共點; 當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有三個公共點.
【解析】
試題分析
18、:(I)設(shè)點,根據(jù)條件列出等式,在用兩點間的距離公式表示,化簡整理即得;(II)在點的軌跡中,記,,設(shè)直線的方程為即當(dāng)時,直線與有一個共點,與有一個公共點.
當(dāng)時 ,直線與有兩個共點,與沒有公共點.
故當(dāng)時,故此時直線與軌跡恰有兩個公共點.
11. 【20xx高考湖北,理21】一種作圖工具如圖1所示.是滑槽的中點,短桿可繞轉(zhuǎn)動,長桿通過處鉸鏈與連接,上的栓子可沿滑槽AB滑動,且,.當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時,帶動繞轉(zhuǎn)動一周(不動時,也不動),處的筆尖畫出的曲線記為.以為原點,所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)動直線與兩定直線和分別
19、交于兩點.若直線總與曲線有且只有一個公共點,試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.
x
D
O
M
N
y
第21題圖2
第21題圖1
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在最小值8.
【解析】(Ⅰ)設(shè)點,,依題意,
第21題解答圖
,且,
所以,且
即且
由于當(dāng)點不動時,點也不動,所以不恒等于0,
于是,故,代入,可得,
即所求的曲線的方程為
當(dāng)時,.
因,則,,所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以當(dāng)時,的最小值為8.
綜合(1)(2)可知,當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時,的面積取得最小值8.
考點:橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系,最值.