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1、
大題沖關集訓(一)
1.(20xx高考安徽卷)設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.
解:(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
令f′(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,
x1<x2.
所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).
當x<x1或x>x2時,f′(x)<0;
當x1<x<x2時,f′(x)>0.
故f(x)
2、在(-∞,-1-4+3a3)和(-1+4+3a3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1-4+3a3,-1+4+3a3)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)因為a>0,所以x1<0,x2>0.
①當a≥4時,x2≥1.
由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.
所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.
②當0<a<4時,x2<1.
由(1)知,f(x)在[0,x2]上單調(diào)遞增,在[x2,1]上單調(diào)遞減.
所以f(x)在x=x2=-1+4+3a3處取得最大值.
又f(0)=1,f(1)=a,所以
當0<a<1時,f(x)在x=1處取得最小值
3、;
當a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;
當1<a<4時,f(x)在x=0處取得最小值.
2.(20xx大連市二模)設函數(shù)f(x)=ln x-cx(c∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≤x2恒成立,求c的取值范圍.
解:(1)∵f(x)=ln x-cx,
∴x∈(0,+∞),f′(x)=1x-c=1-cxx.
當c≤0時,f(x)單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)減區(qū)間;
當c>0時,f(x)單調(diào)增區(qū)間為(0,1c),f(x)單調(diào)減區(qū)間為(1c,+∞).
(2)∵f(x)≤x2恒成立,
即ln x-cx≤x2恒
4、成立,
∴c≥lnxx-x,當x∈(0,+∞)時恒成立.
設g(x)=lnxx-x,
∴g′(x)=1-lnx-x2x2,
∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴[g(x)]max=g(1)=-1,
∴c≥-1.即c的取值范圍為(-1,+∞).
3.(20xx涼州一診)已知函數(shù)f(x)=(ax-2)ex在x=1處取得極值.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[m,m+1]上的最小值;
(3)求證:對任意x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e.
(1)解:f′(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex.
由已
5、知得f′(1)=0,
即(2a-2)e=0,
解得a=1.
當a=1時,在x=1處函數(shù)f(x)=(x-2)ex取得極小值,
所以a=1.
(2)解:由(1)知f(x)=(x-2)ex,
f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
當m≥1時,f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞增,
[f(x)]min=f(m)=(m-2)em.
當0<m<1時,m<1<m+1,
f(x)在[m,1]上單調(diào)遞減,在[1,m+1]上單調(diào)遞增,
[f(x)]min=f(1)=-e.
當m≤0時
6、,m+1≤1,
f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞減,
[f(x)]min=f(m+1)=(m-1)em+1.
綜上,f(x)在[m,m+1]上的最小值
[f(x)]min=(m-2)em,m≥1,-e,0<m<1,(m-1)em+1,m≤0.
(3)證明:由(1)知f(x)=(x-2)ex,
f′(x)=(x-1)ex.
令f′(x)=0得x=1.
因為f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0,
所以當x∈[0,2]時,[f(x)]max=0,[f(x)]min=-e,
所以,對任意x1,x2∈[0,2],都有
|f(x1)-f(x2)|≤[f(x)]ma
7、x-[f(x)]min=e.
4.(20xx臨沂市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ln x.
(1)若直線y=x+m與函數(shù)f(x)的圖象相切,求實數(shù)m的值;
(2)證明曲線y=f(x)與曲線y=x-1x有唯一的公共點;
(3)設0<a<b,比較f(b)-f(a)2與b-ab+a的大小,并說明理由.
(1)解:f′(x)=1x,
設切點為(x0,y0),
則k=1x0=1,
∴x0=1,y0=ln x0=ln 1=0,
代入y=x+m,得m=-1.
(2)證明:令h(x)=f(x)-(x-1x)=ln x-x+1x,
則h′(x)=1x-1-1x2
=-x2+x-1x
8、2
=-(x-12) 2-34x2<0,
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又h(1)=ln 1-1+1=0,
∴x=1是函數(shù)h(x)唯一的零點,
故點(1,0)是兩曲線唯一的公共點.
(3)解:lnb-lna2-b-ab+a=12ln ba-ba-1ba+1,
∵0<a<b,
∴ba>1.
構造函數(shù) (x)=12ln x-x-1x+1(x>1),
則′(x)=12x-x+1-(x-1)(x+1)2
=12x-2(x+1)2
=(x-1)22x(x+1)2>0,
∴ (x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
又當x=1時,
9、 (1)=0,
∴x>1時, (x)>0,
即12ln x>x-1x+1,
則有12ln ba>ba-1ba+1成立,
即lnb-lna2>b-ab+a.
即f(b)-f(a)2>b-ab+a.
5.(20xx湖北省八市聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)g(x)及二次函數(shù)h(x)滿足g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9,h(-2)=h(0)=1且h(-3)=-2.
(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)對于x1,x2∈[-1,1],均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成立,求a的取值范圍;
(3)設f(x)=g(x),x&
10、gt;0,h(x),x≤0,討論方程f[f(x)]=2的解的個數(shù)情況.
解:(1)∵g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9,①
g(-x)+2g(x)=e-x+2e-x-9,
即g(-x)+2g(x)=2ex+1ex-9, ②
由①②聯(lián)立解得g(x)=ex-3.
∵h(x)是二次函數(shù),且h(-2)=h(0)=1,
可設h(x)=ax(x+2)+1,
由h(-3)=-2,
解得a=-1.
∴h(x)=-x(x+2)+1=-x2-2x+1.
∴g(x)=ex-3,h(x)=-x2-2x+1.
(2)設φ(x)=h(x)+ax+5=-x2+(a-2)x+6,
F(x
11、)=ex-3-x(ex-3)=(1-x)ex+3x-3,
依題意知,當-1≤x≤1時,[φ(x)]min≥[F(x)]max.
∵F′(x)=-ex+(1-x)ex+3=-xex+3在[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴[F′(x)]min=F′(1)=3-e>0,
∴F(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,
∴[F(x)]max=F(1)=0,
∴φ(-1)=7-a≥0,φ(1)=a+3≥0,
解得-3≤a≤7,
∴實數(shù)a的取值范圍為[-3,7].
(3)f(x)的圖象如圖所示.
令T=f(x),則f(T)=2.
∴T1=-1,T2=ln 5,f(x)=-1有兩個解,f(x
12、)=ln 5有3個解.
∴f[f(x)]=2有5個解.
6.已知函數(shù)f(x)=ax-1-ln x(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,不等式f(x)≥bx-2對?x∈(0,
+∞)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)當x>y>e-1時,證明不等式exln(1+y)>eyln(1+x).
(1)解:函數(shù)的定義域是(0,+∞),
且f′(x)=a-1x=ax-1x.
當a≤0時,ax-1<0,從而f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當a>0時,若0<x<1a,則
13、ax-1<0,從而f′(x)<0;
若x≥1a,則ax-1≥0,從而f′(x)≥0,
所以函數(shù)f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減,在(1a,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:由(1)可知,函數(shù)的極值點是x=1a,
所以1a=1,則a=1.
若f(x)≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,即x-1-ln x≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,只需b≤1+1x-lnxx在(0,+∞)上恒成立.
令g(x)=1x-lnxx,則g′(x)=-1x2-1x2+lnxx2=lnx-2x2.
易知x=e2為函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)唯一的極小值點,也是最小值點,故[g(x)]min=g(e2
14、)=-1e2,即(1+1x-lnxx)min=1-1e2,故只要b≤1-1e2即可.
所以b的取值范圍是(-∞,1-1e2].
(3)證明:由題意可知,要證不等式exln(1+y)>eyln(1+x)成立,只需證ex+1ln(x+1)>ey+1ln(y+1).
構造函數(shù)h(x)=exlnx,則h′(x)=exlnx-exxln2x=ex(lnx-1x)ln2x,h′(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,
h′(x)>h′(e)>0,
則h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增.
由于x>y>e-1,所以x+1>y+1>e,
所以ex+1ln(x+1)>ey+1ln(y+1),
即exln(1+y)>eyln(1+x).
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